第14章全等三角形【全等模型之手拉手（一）】2026--2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦等边三角形动态综合问题，通过多情境变式构建从静态性质到动态推理的知识逻辑链，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等边三角形动态综合|5道（含结论判断、证明、计算）|双等边三角形共线动态问题，考查全等判定、角度关系及线段性质|以等边三角形性质为基础，通过点位置变化（线段上/延长线）拓展全等推理及几何性质应用|

1. 如图所示，已知和均是等边三角形，点、、在同一条直线上，与交于点，与交于点，与交于点，连接、，则下列结论：①；② ；③；④，其中正确结论的个数（ ）． A F O D G B C E A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 已知 为等边三角形，点为直线 上一动点(点不与点，点重合)．以 为边作等边 三角形 ，连接． 图1 图2 （ 1 ）如图 ，当点在边 1 直接判断结论 上时． ＝ ＋ 是否成立（不需证明）． 2 求证： ≌ （ 2 ）如图，当点在边的延长线上时，其他条件不变，请写出，，之间存在的数量关系，并写出证明过程． 3. 如图，在等边中，是边上动点，以为边，向上作等边，连接． 1 学科网（北京）股份有限公司 （ 1 ）求证：． （ 2 ）若点运动到延长线上，其它条件不变，是否仍有？ 4. 已知为等边三角形，点为直线上的一动点（点不与、重合），以为边作等边 （顶点、、按逆时针方向排列），连接． （ 1 ） 如图，当点在边上时，求证：①；②． （ 2 ） 如图，当点在边的延长线上且其他条件不变时，结论是否成立？若不成立，请写出、、之间存在的数量关系，并说明理由． （ 3 ） 如图，当点在边的反向延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出、 、之间存在的数量关系． 5. 已知为等边三角形，为边所在的直线上的动点，连接，以为边在两侧作等边和等边（点在的右侧或上侧，点在左侧或下侧），连接、． （ 1 ）如图，若点在边上，请你通过观察、测量，猜想线段、和有怎样的数量关系？并证明你的结论． 图 （ 2 ）如图，若点在的延长线上，其他条件不变，线段、和有怎样的数量关系？请直接写出结论．（不需要证明） 图 （ 3 ）若点在的反向延长线上，其他条件不变，请在图中画出图形，探究线段、和 有怎样的数量关系，并直接写出结论．（不需要证明）图 $ 1. 如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正三角形和正三角形 ，与交于点，与交于点，与交于点，连结，以下六个结论： ①；②；③；④；⑤ ；⑥平分 ，恒成立的结论有 （把你认为正确的序号都填上）． ①②③⑤⑥ 如图： ∵ ∴ ∴在 和 ， 均为正三角形， ， ． 中， ， 和 ， ∴ ∴ ∵ ∴ 易得 （ ）， ，①正确， ， ， ， ， 1 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ， ， ∵ ， ∴ 为等边三角形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ，②正确， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ，③正确， ∴ ， ∴④不正确， ∵ ， ∴ , ∵ ， ∴ ， ∴⑤正确， 过点 作 于 ， 于 ，在 和 中， ， ∴ ， ∴ 又∵ ， ， ∴ 平分 ， ∴⑥正确． 【知识点】全等三角形实际生活中的应用 【知识点】SAS 2. 如图，点，，在同一直线上，在这条直线同侧作等边和等边，连接和 ，交点为 ，交于点，交于点．连接、，有个结论：①≌ ．②≌．③ ．④．请将所有正确结论的序号填在横线上： ． ①②④ ① 和 中， ， ∴ ②在 ∴在 ≌ ，故①正确． 中， 为等边三角形． ， 和 中， ， ∴ ≌ ，故②正确． ③条件不足，无法求 ． ④正确，∵ ， ∴ ． 【知识点】SAS 【知识点】全等三角形实际生活中的应用 3. 已知，如图等边和等边，连接并延长交于点，求的度数． ． ∵ 和 为等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ， ， ， ， ≌ ， ， ． 【知识点】SAS 4. 已知是等边三角形，点是直线上一点，以为一边在的右侧作等边． （ 1 ）如图，点在线段上移动时，直接写出和的大小关系． （ 2 ）如图，点在线段的延长线上移动时，猜想的大小是否发生变化．若不变请求出其大小；若变化，请说明理由． （ 1 ） （ 2 ） ． ，不发生变化． （ 1 ） ∵ 和 ∴ ∴ （ 2 ） ；理由： 是等边三角形， ， ． ，不发生变化；理由如下： ∵ 是等边三角形， 是等边三角形， ∴ ， ， ． ∴ ∴在 ， 和 ． 中， ， ∴ ∴ ∴ ≌ （ ）， ． ． 【知识点】全等三角形的对应边与角 5. 如图，已知等边和等边在线段同侧，则下面错误的是（ ）． A. ≌ B. ≌ C. D. C A 选项：可以利用 验证，正确； B 选项：可以利用 C 选项：可证 ． ∵ 验证，正确； ，若 ，则 为等边三角形，即 ， ∴ ， ∴ ． 与已知不符，错误； D 选项：可由 故选 C . ，两边同时加一个 得到，正确． 【知识点】等边三角形的手拉手模型 $ 1. 如图所示，已知和均是等边三角形，点、、在同一条直线上，与交于点，与交于点，与交于点，连接、，则下列结论：①；② ；③；④，其中正确结论的个数（ ）． A F O D G B C E A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 D 在 与 中， ， ∴ ∴ ≌ ， ，①正确， 在 与 中 ， ∴ ∴ ≌ ， ， ， 又∵ 所以 所以 、 为正三角形， ， ，②③正确， 过 分别向 作垂线，垂足分别为 、 ， 由全等三角形对应边上的高相等，可得 ， ∴ 平分 ，④正确， 综上正确项为①②③④． 1 学科网（北京）股份有限公司 A F N O G D M B C E 【能力】推理论证能力 【知识点】等边三角形的性质 【知识点】SAS 2. 已知为等边三角形，点为直线上一动点(点不与点，点重合)．以为边作等边三角形，连接． 图1 图2 （ 1 ）如图 ，当点在边 1 直接判断结论 上时． ＝ ＋ 是否成立（不需证明）． 2 求证： ≌ （ 2 ）如图，当点在边的延长线上时，其他条件不变，请写出，，之间存在的数量关系，并写出证明过程． （ 1 ）1 成立． 2 证明见解析． （ 2 ） ，证明见解析． （ 1 ）1 成立． 2 在 和 中， ， ∴ ≌ （ 2 ） ≌ ∴ ．证明： ， ，故证： ． 【知识点】全等三角形的对应边与角 【知识点】SAS 【知识点】对应边 【知识点】等边三角形的性质 3. 如图，在等边中，是边上动点，以为边，向上作等边，连接． （ 1 ）求证：． （ 2 ）若点运动到延长线上，其它条件不变，是否仍有 ？ （ 1 ）证明见解析． （ 2 ）仍有 ． （ 1 ）∵ ∴且 ∴ ∵在 、 ， 均为等边三角形， ， ， 和 ， 中， ， ∴ ∴ ∴ ∴ （ 2 ）同理可得： ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ≌ ， ， ， ． ≌ ， ， ， ， ， ． 【能力】推理论证能力 【知识点】全等三角形实际生活中的应用 【知识点】SAS 【知识点】平行线判定 4. 已知为等边三角形，点为直线上的一动点（点不与、重合），以为边作等边 （顶点、、按逆时针方向排列），连接． （ 1 ） 如图，当点在边上时，求证：①；②． （ 2 ） 如图，当点在边的延长线上且其他条件不变时，结论是否成立？若不成立，请写出、、之间存在的数量关系，并说明理由． （ 3 ） 如图，当点在边的反向延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出、 、之间存在的数量关系． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ）证明见解析． （ 3 ）画图见解析． （ 1 ）∵ 和 都是等边三角形， ∴ ， ， ． ∴ ，即 ． 在 和 中， （ 2 ） ∴ ≌ ， ∴ ． ∵ ， ， ∴ ． 不成立， 、 、 之间存在的数量关系是： ．理由：∵ 和 都是等边三角形， ∴ ， ， ． ∴ ， ∴ 在 和 中， ∴ ≌ ∴ ∴ ， ∴ ． （ 3 ） 补全图形（如图） 、 、 之间存在数量关系是： ． 理由：∵ 和都是等边三角形， ∴ ，， ． ∴ ， ∴ 在 和 中 ∴ ≌ ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． 5. 已知为等边三角形，为边所在的直线上的动点，连接，以为边在两侧作等边和等边（点在的右侧或上侧，点在左侧或下侧），连接、．【知识点】动点与线段-无数轴 （ 1 ）如图，若点在边上，请你通过观察、测量，猜想线段、和有怎样的数量关系？并证明你的结论． 图 （ 2 ） 如图，若点在的延长线上，其他条件不变，线段、和有怎样的数量关系？请直接写出结论．（不需要证明）图 （ 3 ）若点在的反向延长线上，其他条件不变，请在图中画出图形，探究线段、和 有怎样的数量关系，并直接写出结论．（不需要证明） 图 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） ． ． ． （ 1 ） ，如图 ． 图 ∵ ∴ ∴在 和 ， 是等边三角形， ， ． 中， ， 和 ， （ 2 ） （ 3 ） ∴ ≌ ， ∴ ． 同理： ≌ ， ∴ ， ∴ ． ， 如图 ，易证 ≌ 和 ≌ ， 图 ∴ ， ， ∴ ． 图 ． 如图 ，易证 ≌ 和 ≌ ． ∴ ， ， ∴ ． 【能力】分析和解决问题能力 【知识点】等边三角形的判定 【知识点】全等三角形的性质 【知识点】SAS $ 1. 如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正三角形和正三角形 ，与交于点，与交于点，与交于点，连结，以下六个结论： ①；②；③；④；⑤ ；⑥平分 ，恒成立的结论有 （把你认为正确的序号都填上）． 2. 如图，点，，在同一直线上，在这条直线同侧作等边和等边，连接和 ，交点为 ，交于点，交于点．连接、，有个结论：①≌ ．②≌．③ ．④．请将所有正确结论的序号填在横线上： ． 3. 已知，如图等边和等边，连接并延长交于点，求的度数． 4. 已知是等边三角形，点是直线上一点，以为一边在的右侧作等边． （ 1 ）如图，点在线段上移动时，直接写出和的大小关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 （ 2 ）如图，点在线段的延长线上移动时，猜想的大小是否发生变化．若不变请求出其大小；若变化，请说明理由． 5. 如图，已知等边和等边在线段同侧，则下面错误的是（ ）． A. ≌ B. ≌ C. D. $