第14章 全等三角形【全等模型之角含半角】 专题练习 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦图形旋转与全等构造，以正方形为基础逐步拓展至一般四边形及等边三角形，形成从特殊到一般的几何模型训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |正方形旋转综合|4题|含动态旋转、角平分线条件，证线段关系及周长|以正方形旋转为起点，构建“旋转构造全等”核心模型| |四边形拓展应用|2题|非正方形背景下的线段和差证明|从特殊到一般，延伸至任意四边形的旋转不变性应用| |等边三角形迁移|1题|含60°角的等腰三角形中线段关系探究|旋转模型在不同特殊图形中的迁移应用|

1. 为等边外一点，且，，点 ，分别在，上，若 ． （ 1 ） 度． （ 2 ）作出的高，并证明． （ 3 ）在第（）的基础上，求证： 平分． 2. 问题：如图（ ），点、分别在正方形的边、上，，试判断、 、之间的数量关系． （ 1 ）【发现证明】小聪把绕点逆时针旋转 至 ，从而发现 ， 请你利用图（ ）证明上述结论． （ 2 ）【类比引申】如图（ ），四边形中， ， ， ，点、分别在边、 上，则当 与 满足 关系 时，仍有 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 （ 3 ）【探究应用】如图（），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形．已知 米，，，，道路、上分别有景点、，且，米，现要在、之间修一条笔直道路．求这条道路的长（结果取整数，参考数据，，）． 3. 已知，正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交、 （或它们的延长线）于点 、，于点． （ 1 ）如图①，当绕点旋转到时，请你直接写出与的数量关系： ． A DN B M C H 图 （ 2 ）如图②，当绕点旋转到时，（ ）中发现的与的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由．如果成立请证明． （ 3 ） B M C 图 D H 如图③，已知，于点，且 ，，求的长． （可利用（）得到的结论）．图 4. 如图 ：在四边形 中， ， ， ．，分别是 ，上的点．且 ．探究图中线段 ， ， 之间的数量关系． 图 （ 1 ）小王同学探究此问题的方法是延长到点．使．连接，先证明≌ ，再证明≌ ，可得出结论，他的结论应是 ．探索延伸：如图 ，若在四边形中，，．，分别是，上的点，且 ，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 图 （ 2 ）实际应用：如图，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/时的速度前进． 小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． y x O 图 1. 已知四边形中，，，，，，的两边分别交、（或它们的延长线）于、． （ 1 ）当绕点旋转到时，如图，证明：． 图 （ 2 ）当绕点旋转到时，如图，上述结论是否成立？（不需证明） 图 （ 3 ）当绕点旋转到时，如图，第⑴问结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，，又有怎样的数量关系，请写出，不需证明． 图 2. 已知，在四边形 中， ， ， ， ， 、 分别交射线 、射线 于点 、 ． （ 1 ）如图，求证：. （ 2 ）如图，求证：. 3. 如图，在正方形中，、分别是、上的点，且，易证 ． A D F B E C 图 （ 1 ）如图，在四边形中，，，且， ，请直接写出、与三条线段之间的数量关系 ． DF A B E C 图 （ 2 ）如图，若点在延长线上，点在延长线上，（）中其它条件不变，请你直接写出 、与三条线段之间的数量关系 ． DA B C E 图 F （ 3 ）如图，在四边形中，，， ，请直接写出、与三条线段之间的数量关系 ． DA F B E C 图 （ 4 ）如图，在（）的条件下，若点在延长线上，点在延长线上，其它条件不变，请你判断、与三条线段之间的数量关系并证明． F A D B C E 图 4. 如图，在中， ，，，把绕点旋转，在整个 旋转过程中，过点 作 ，垂足为，直线 交 于 ． （ 1 ）如图①，当 在 内部时，求证： ． 图 （ 2 ）如图②，当在外部时，则线段、与的关系为 ． 图 （ 3 ）在（ ）的条件下，若，，求的长． $ 1. 为等边外一点，且，，点 ，分别在，上，若 ． （ 1 ） 度． （ 2 ）作出的高，并证明． （ 3 ）在第（）的基础上，求证： 平分． （ 1 ） （ 2 ）证明见解析． （ 3 ）证明见解析． （ 1 ）方法一：如图，将 顺时针旋转 ， ， 得到 ， ， 则 ∴ ∵ ∴ ， ， ， 在 和 中， ， ∴ ∴ ∴ 方法二：延长 ≌ ， ， ． 至点 ，使 ， ∵ 是等边三角形， ∴ ， 10 学科网（北京）股份有限公司 又∵ ， ， ∴ ． ∴ ． ∴ ≌ ． ∴ ， ． ∴ （ 2 ） ． 又∵ ， ∴ ≌ ． ∴ ． 的高 如图， ∵ ， ， ∴ ， 在等边 中， ， ∴ ， ∴ ， ， ， ， ∵ ， ， ∴ ． （ 3 ）∵ ， ， ， ∴ ≌ ∴ 平分 ． 【知识点】旋转型全等 2. 问题：如图（ ），点、分别在正方形的边、上，，试判断、 、之间的数量关系． （ 1 ）【发现证明】小聪把绕点逆时针旋转 至 ，从而发现 ， 请你利用图（ ）证明上述结论． （ 2 ）【类比引申】如图（ ），四边形中， ， ， ，点、分别在边、 上，则当 与 满足 关系 时，仍有 ． （ 3 ）【探究应用】如图（），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形．已知 米，，，，道路、上分别 有景点、，且， 米，现要在 、 之间修一条笔直道路．求 这条道路的长（结果取整数，参考数据， ， ）． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） （ 3 ） 的长约为 米． （ 1 ）如图（ ），∵ ≌ ， ∴ ， ， ， ， 又∵四边形 为正方形， ∴ ， ∴ 、 、 三点共线， 又∵ ，即 ， ∴ ， 在 和 中， ， （ 2 ） ∴ ≌ （ ）． ∴ ． 又∵ ， ∴ ， ∴ ． ． 理由如下：如图（ ），延长 至 ，使 ，连接 ， ∵ ， ， ∴ ， 在 中， ， ∴ ≌ （ ）， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ≌ （ ）， ∴ ， 即 ． （ 3 ）如图 ，把 绕点 逆时针旋转 至 ，连接 ，过 作 ，垂足为 ． ∵ ， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ 是等边三角形， ∴ 米． 根据旋转的性质得到： ，又∵ ， ∴ ，即点 在 的延长线上．易得， ≌ ， ∴ ， ， ， 又∵ ， ． 故 ， ∴ ． 从而 ． 又∵ ， ∴根据上述推论有： （米），即这条道路 的长约为米． 【思想】类比思想 【知识点】全等三角形的性质 【知识点】全等三角形的对应边与角 【知识点】旋转型全等 【知识点】SAS 【知识点】旋转性质综合应用 【知识点】旋转的性质 【知识点】正方形的性质 【能力】推理论证能力 【能力】运算能力 3. 已知，正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交、 （或它们的延长线）于点 、，于点． （ 1 ）如图①，当绕点旋转到时，请你直接写出与的数量关系： ． A DN B M C H 图 （ 2 ）如图②，当绕点旋转到时，（ ）中发现的与的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由．如果成立请证明． D H B M C 图 （ 3 ）如图③，已知，于点，且 ，，求的长． （可利用（）得到的结论）．图 （ 1 ） （ 2 ）成立，证明见解析． （ 3 ） 的长为 ． （ 1 ） （ 2 ）方法一：成立，理由如下： 如图，将 ∴旋转后 点与由旋转可知 ∴又 ∴ 绕点 旋转 ，由于 , 点对应， ≌ ， ， 点与 点对应． ， ， ． ∴ ． 在 和 中， ， ∴ ≌ ． 又 ， ， ∴ ，∴ ． 方法二：延长 至点 ，使 ，连接 ， ∵四边形 是正方形， ∴ ， ． ∴ ≌ ． ∴ ， ， 又 ， ∴ ． ． ∴ ． 在 和 中， ， ∴ ≌ ． 又 ， ， ∴ ，∴ ． （ 3 ）作 关于直线 的对称 ，作 关于直线 的对称 ， ∵ 是 的高， ∴ ， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． 延长 、 交于点 ，则四边形 是矩形，又∵ ， ∴四边形 是正方形， 由（ ）、（ ）知： ， ， 设 ∴在 解得 故 ，则 ， 中， ， 的长为 ． ， ， ， ， ， 【知识点】正方形与全等综合 4. 如图 ：在四边形 中， ， ， ．，分别是 ，上的点．且 ．探究图中线段 ， ， 之间的数量关系． 图 （ 1 ）小王同学探究此问题的方法是延长到点．使．连接，先证明≌ ，再证明≌ ，可得出结论，他的结论应是 ．探索延伸：如图 ，若在四边形中，，．，分别是，上的点，且 ，上述结论是否仍然成立，并说明理由． （ 1 ） （ 2 ） 仍然成立，证明见解析． 海里． （ 1 ）延长 至点 ，使得 ，连接 ， 图 （ 2 ）实际应用：如图，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/时的速度前进． 小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． y x O 图 ∵ ， ， ∴ ． 又 ， ， ∴ ≌ ， ∴ ， ． ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 又 ， ， ∴ ≌ ， ∴ ， ∴ ． （ 2 ）方法一：绕点 旋转 至 ，使 与 重合，连接 ． ∴ ， 在 中， ， ∴ ， ， ∵ ≌ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ≌ ， ∴ ， 又∵ （海里）， （海里）， ∴ （海里）． 方法二：由已知， ， 记与轴交点为 ， ， ，则 ， ，， 延长至点，使 ，连接 、 ， 则 ， ∴ ≌ ． ∴ ， ． ∴ 1. 已知四边形中，，，，，，的两边分别交、（或它们的延长线）于、． （ 1 ）当绕点旋转到时，如图，证明：．． ∴ ∴ ∴ ≌ ． ． （海里）． 【知识点】截长补短 图 （ 2 ）当绕点旋转到 时，如图，上述结论是否成立？（不需证明） 图 （ 3 ）当绕点旋转到时，如图，第⑴问结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，，又有怎样的数量关系，请写出，不需证明． 图 （ 1 ）证明见解析． （ 2 ）成立，理由同上． （ 3 ）不成立， ． （ 1 ）如图 ，延长 ≌ 至点 ，使得 ， ，连接 ， 可证 可得 ≌ ， ． 图 （ 2 ）成立，理由同上． 图 （ 3 ）不成立， 在 上截取 ； ，连接 ，同理可证 ≌ ， ≌ ． 图 【能力】推理论证能力 【知识点】SAS 【知识点】全等三角形的对应边与角 【知识点】对应边 【知识点】截长补短 2. 已知，在四边形中，，，，， 、 分别交射线、射线于点、． （ 1 ）如图，求证：. （ 2 ）如图，求证：. （ 1 ）证明见解析． （ 2 ）证明见解析． （ 1 ）如图 延长 到 点，使 ， ，连接 ， ， ， ， ， ， ， ∴在 和 中， ∴ ≌ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ，即 在 和 中， ， ≌ ， ， ， ． （ 2 ）如图： 在边 上截取 ， ， ， ， ， 在 和 中， ≌ ， ， ， ， ≌ ， ∴ ． 【知识点】全等三角形的对应边与角 3. 如图，在正方形中，、分别是、上的点，且，易证 ． A D F B E C 图 （ 1 ）如图，在四边形中，，，且， ，请直接写出、与三条线段之间的数量关系 ． DF A B E C 图 （ 2 ）如图，若点在延长线上，点在延长线上，（）中其它条件不变，请你直接写出 、与三条线段之间的数量关系 ． DA B C E 图 F （ 3 ）如图，在四边形中，，， ，请直接写出、与三条线段之间的数量关系 ． DA F B E C 图 （ 4 ）如图，在（）的条件下，若点在延长线上，点在延长线上，其它条件不变，请你判断、与三条线段之间的数量关系并证明． F A D B C E 图 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） ，证明见解析． （ 1 ）略． （ 2 ）略． （ 3 ）略． （ 4 ） ， 在 于是 ∴ ∴ ∴ 上截取 ，可证 ， ≌ ， ， ，可得 ． ， ≌ ， F A D B G C E 图 【知识点】截长补短 4. 如图，在中， ，，，把绕点旋转，在整个 旋转过程中，过点 作 ，垂足为，直线 交 于 ． （ 1 ）如图①，当 在 内部时，求证： ． 图 （ 2 ）如图②，当在外部时，则线段、与的关系为 ． 图 （ 3 ）在（ ）的条件下，若，，求的长． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） （ 3 ） ． （ 1 ）如图①，延长 到 ，使 ， 图 ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ． ， ∴ ， ∴ ， ∵在 和 中， ， ∴ ≌ （ ）， ∴ ， ∴ ， 即 ． （ 2 ）如图②，在 上截取 ， 图 ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ∴ ∴ ∵在 ， ， 和 ， 中， ， ∴ ∴ ∴即 故答案为： （ 3 ）∵ ∴ ≌ （ ）， ， ， ， ． ， ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【知识点】中点类辅助线 $ 1. 如图，正方形的边长为，点、分别在边、上，且，求的周长． 2. 如图，是正方形中边上的任意一点，以点为中心，把绕点顺时针旋转得到， 的平分线交边于点，求证：的周长等于正方形的周长的 一半． 3. 如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且 ．求证：． A DF B E C 4. 已知、分别是正方形的边、上的点，且，，为垂足，求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 5. 设、分别在正方形的边、上滑动且保持，于点． （ 1 ）求证：． （ 2 ）若，直接写出的周长． 1. 已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于，． （ 2 ）当绕点旋转到时（如图），猜想线段，，有怎样的数量关系，并证明你的猜想．图 图 图 （ 1 ）当 绕点旋转到 时（如图 ），求证： ≌ ． （ 3 ） 当绕点旋转到图这种情况下，猜想线段，，有怎样的数量关系，并证明你的猜想． 2. 问题： （ 1 ）如图，在四边形中， ，，，点 ，分别在 ，上，若 ，试探究线段 ，，有怎样的数量关系？ 请直接写出你的猜想，不用证明． 图 （ 2 ）如图，在四边形中，， ，点 ，分别在 ，的延长线上，若 仍然成立，请你进一步探究线段 ，， 又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明． 图 3. 如图，是边长为的等边三角形，是等腰三角形，且，以为顶点作一个角，使其两边分别交于点 ，交于点，连接 ，则的周长是多少？ $ 1. 如图，正方形的边长为，点、分别在边、上，且，求的周长．的周长为 ． ∵四边形 ，绕点 ， 为正方形， ∴ ∴把 ∴ 顺时针旋转 ， ， 可得到 ，如图， ， ， ∴ ∴点 ∵ ∴ ∴在 在 的延长线上， ， ， 和 ， 中， ， ∴ ∴而 ∴ ∴ ≌ （ ）， ， ， ， 的周长 ． 【知识点】旋转型全等 10 学科网（北京）股份有限公司 2. 如图，是正方形中边上的任意一点，以点为中心，把绕点顺时针旋转得到， 的平分线交边于点，求证：的周长等于正方形的周长的 一半． 证明见解析． ∵把 ≌ 的周长 绕点 顺时针旋转 ， ， 得到 ， 的平分线交 边于点 ， ∴ ∴ ∴ 正方形 的周长的一半． 【知识点】旋转型全等 3. 如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且 ．求证：． A DF B E C 证明见解析． 延长 到 ，使 ，连结 ． A D F B E C ∵ ∴ ∴ ∴ ∴又 ∴ ∴ ∵ ∴ ， ， ≌ （ ）． ， ． ． ． ， ≌ （ ）． ． ． ． 【知识点】构造旋转全等 4. 已知、分别是正方形的边、上的点，且，，为垂足，求证：．证明见解析． 延长 至 ，使 ，连结 ， 易证 再证 ≌ ≌ ， ， ， ． 全等三角形的对应高相等（利用三角形全等可证得），则有 ． 【知识点】正方形 5. 设、分别在正方形的边、上滑动且保持，于点． （ 1 ）求证：． （ 2 ）若，直接写出的周长． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） ． （ 1 ）方法一：将 绕点 按逆时针方向旋转 ，得 ， ∵ 即 、 、 在一条直线上， ∵ ， ， ， ∴ ≌ ， ∵ ， ， ， ∴ ，即 ． 方法二：延长 至点，使 ， ∵四边形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 是正方形， ， ． ≌ ． ， ． ． ． ≌ ． ． （ 2 ） ． 【知识点】旋转型全等 1. 已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于，． （ 2 ）当绕点旋转到时（如图），猜想线段，，有怎样的数量关系，并证明你的猜想．图 图 图 （ 1 ）当 绕点旋转到 时（如图 ），求证： ≌ ． （ 3 ） 当绕点旋转到图这种情况下，猜想线段，，有怎样的数量关系，并证明你的猜想． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） ． （ 3 ） ． （ 1 ） ∵ ， ， ∴ ， ∵在 和 中， ， ， ， ∴ ≌ （ ）． （ 2 ）猜想 ， 如图，将 顺时针旋转 ， ∵ ， ， ∴ 点与 点重合， ∴ ， ， ∵ ， ， ， ∴ ， 在 和 中， ， ， ， ∴ ≌ （ ）， ∴ ， ∴ ． （ 3 ）猜想 ， 如图，将 绕点 顺时针旋转 ， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴在 ， 点重合， ， ， 点与 ， ， ， ， ， ， 和 中， ， ∴ ∴ ∴ ≌ （ ）， ， ． 【知识点】旋转型全等 2. 问题： （ 1 ）如图，在四边形中， ，，，点 ，分别在 ，上，若 ，试探究线段 ，，有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明． 图 （ 2 ）如图，在四边形中，， ，点 ，分别在 ，的延长线上，若 仍然成立，请你进一步探究线段 ，， 又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明． 图 （ 1 ）猜想的结论： （ 2 ）猜想的结论： ． ． （ 1 ）如图， ∵ ∴梯形 ∴把 ， ， 是等腰梯形， ， 绕点 顺时针旋转 度数到 （或延长线段 ，并在延长上截取 ，连接 ）， ≌ ， 则 ∴ ∴ ∴点 ∵ ∴ ， ， ， ， ， 、 、 三点共线， ， ， ∴ ， 在 和 中， ∵ ， ∴ ≌ （ ）， ∴ ， 又∵ ， ∴ ． （ 2 ）猜想的结论： ． 在 截取 ，连结 ． ∵ ， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． ∵ ， ， ∴ ≌ ． ∴ ， ． ∴ ，即 ． ∵ ， ∴ ，即 ．又∵ ， ， ∴ ≌ ． ∴ ． ∵ ∴ ， ． 【知识点】全等三角形的对应边与角 $