5.2.1 专题练习：小船过河问题 关联速度问题 练习-2026-2027学年高一下学期物理人教版必修第二册

**基本信息** 聚焦小船过河与关联速度专项，按问题类型系统分类，提炼核心方法，强化运动合成与分解逻辑，渗透科学思维与物理观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |渡河时间最短|4题|船头垂直河岸，时间t=d/v船|基于运动独立性，垂直河岸分运动决定时间| |船速大于水速位移最短|4题|合速度垂直河岸，v合=√(v船²-v水²)|应用平行四边形定则，合成最小位移| |船速小于水速位移最短|3题|船速垂直合速度，s=d/sinθ|通过速度分解求最小位移，体现科学推理| |杆连接关联速度|4题|沿杆方向分速度相等，v1cosθ1=v2cosθ2|刚性杆约束下速度分解，模型建构应用| |绳连接关联速度|4题|沿绳方向分速度相等，v物=v拉/cosθ|不可伸长绳约束，分解实际速度|

专题练习：小船过河问题 关联速度问题 姓名：___________班级：___________ { 基础训练 } 【题型Ⅰ】过河时间最短问题 1．一小船渡河，河宽，水流速度，船在静水中速度，渡河的最短时间为__________。 2．如图所示，水速为v，消防武警驾驶冲锋舟，若采取冲锋舟最小速度和最短时间两种方案，沿与平直河岸成30°角的线路把被困群众从A处送到对岸安全地B处，则两种方案中冲锋舟最小速度v1和最短时间的冲锋舟速度v2之比为（　　） A．1∶2 B．1∶ C．2∶ D． ∶2 3．汽艇以18 km/h的速度沿垂直于河岸的方向匀速向对岸行驶，河宽500 m。如果河水流速是3.6 km/h，则汽艇靠岸的位置在（     ） A．正对岸处 B．正对岸上游0.1 km C．正对岸下游0.1 km D．正对岸下游0.5 km 4．如图所示，两岸平行的河流宽为200m，河流各处水流速度大小均为3m/s。小船从P点出发以船头始终指向正对岸方向（船身方向垂直于河岸）过河，到达对岸Q点（未画出）。已知小船在静水中的速度大小为4m/s，则小船过河所用的时间、P点到Q点的距离分别为（    ） A．、400m B．50s、350m C．40s、200m D．50s、250m 【题型Ⅱ】船速大于水速时最短过河位移问题 5．2026年5月中下旬，广东省多地遭遇了严重的洪涝灾害，一处河道河面宽d=300m，水流速度，救援队的小船在静水中航行速度。小船从P点出发要到对岸进行救援，则小船的最短渡河时间为___s；若小船以最短位移渡河，此时的渡河时间为_____s；若大暴雨导致水流速度增大到6m/s，小船渡河的最短时间将_________（选填“变大”、“变小”或“不变”）。 6．汽艇以恒定的速度沿垂直于河岸的方向匀速向对岸行驶。设河水的流动方向如图v的箭头所示，虚线为汽艇从河岸M驶向对岸N的实际航线，则其中正确的是（     ） A． B． C． D． 7．通过一次次抗洪抢险，抗洪精神早已刻入中华儿女血脉之中。我们把某次救人的情景简化为理想情境：河岸平直，河宽为，河水流速为，船在静水中的速度为，则（　　） A．船无法到达正对岸 B．船渡河的最短时间为 C．船在河水中的实际速度大小可能大于 D．若仅增大河水流动的速度，则船渡河的最短时间将变长 8．红河水系是玉溪境内重要的自然水系之一。如图所示，一艘小船需横渡位于元江县内的某一河段。已知此时河水的流速恒为v1=3 m/s。小船在静水中的航行速度恒定为v2=5 m/s。小船通过调整船头指向，恰好能沿垂直河岸方向的直线过河。下列说法正确的是（     ） A．小船实际航行速度大小为4 m/s B．小船实际航行速度大小为8 m/s C．船头指向正对岸方向，即可垂直过河 D．小船过河时间完全取决于河水流速v1 【题型Ⅲ】船速小于水速时最短过河位移问题 9．如图所示，一条小河，假设河水流速不变，一人划船过河，第一次划船速度为，以最短时间过河：第二次划船速度为，以最短位移过河，结果两次船航行在同一条路径上，已知路径与河岸夹角为。则两次划船速度的大小之比___________；两次过河时间之比___________。（已知） 10．某校科技节上，小明操控一艘遥控救援船进行“精准投递”挑战。如图所示，救援船从起点M驶向对岸。水流速度恒为，救援船在静水中的航速恒为（），M、N距离为L且与河岸垂直，下列判断正确的是（   ） A．救援船可能在N点到达对岸 B．救援船过河的最短时间为 C．救援船的最大速度为 D．若河水流速变大，则救援船过河的最短时间也会变大 11．如图所示，若小船渡河时船头指向③方向，则所用时间为100s。已知小船在静水中的速度为2m/s，②方向与河岸成60°角，河水的流速为4m/s，则（　　）。 A．河的宽度为400m B．在小船渡河过程中船头指向③方向时，小船到达对岸的位置与出发点间的距离为400m C．在小船渡河过程中船头指向②方向时，渡河的位移最小 D．在小船渡河过程中船头指向④方向时，船的实际速度可以达到3.5m/s 【题型Ⅳ】杆连接关联速度问题 12．一轻杆两端分别固定质量为和的两个小球A和B（可视为质点）。将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，如图所示，则两球_________（选填“沿杆”或“垂直于杆”）方向的速度相等。当轻杆到达位置2时球A与球形容器的球心等高，其速度大小为，已知此时轻杆与水平方向的夹角，B球的速度大小为，则_________（选填“＞”“＝”“＜”）。 13．起重机正进行吊装作业，吊绳使得刚性杆上端以速度沿竖直方向匀速上升。刚性杆下端始终与水平地面接触，某时刻刚性杆与水平地面的夹角为，此时端的速度为（     ） A． B． C． D． 14．如图所示，机械手臂由两根长度分别为和的刚性杆件、组成，、、处分别装有三个铰链，且处铰链固定在地面上，处铰链连接在可移动的木块上。木块沿水平方向以的速度向右匀速运动，某时刻杆与杆垂直，杆与水平面成角，下列说法正确的是（　　） A．速度方向水平向右 B．速度方向竖直向下 C．速度大小为 D．杆转动的角速度为 15．如图所示，一根长直轻杆AB在墙角沿竖直墙和水平地面滑动。当AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面滑动的速度大小为v2，则v1、v2的关系是（　　） A．v1=v2 B．v1=v2tanθ C．v1=v2cosθ D．v1=v2sinθ 【题型Ⅴ】绳连接关联速度问题 16．如图所示，汽车用跨过光滑定滑轮的轻绳牵引轮船，汽车与滑轮间的轻绳保持水平。已知汽车在平直路面上以速度v匀速运动，当牵引轮船的轻绳与水平方向成θ角时，此时轮船速度大小为______；在汽车做匀速运动的过程中，轮船做______运动（选填“加速”、“减速”或“匀速”）。 17．在没有起重机的年代，建筑工人可以利用如图所示的装置把建筑材料送到高处，则（     ） A．当绳与水平方向成时， B．当物块B匀速上升时，小车向左匀速运动 C．当小车匀速向左运动时，绳对B的拉力大于B对绳的拉力 D．当小车匀速向左运动时，物块B向上做加速运动 18．图甲为卷扬机，可以拽引重物。利用卷扬机将套在光滑竖直杆上的重物提升到某高度处。如图乙，当钢丝绳与竖直杆夹角为60°时，卷扬机缠绕钢丝绳的速度大小为v0=0.3m/s，重物的速度大小为（     ） A．0.15m/s B．0.3m/s C．0.6m/s D．m/s 19．如图所示，小物体P在水平桌面上向左做匀速直线运动，其通过一根跨过光滑定滑轮的轻质细线与小物体Q连接，Q始终没有接触定滑轮。某时刻P的速度大小为v1，细线与水平方向之间的夹角为θ，Q的速度大小为v2。下列说法正确的是（     ） A．Q向上做匀速直线运动 B．Q向上做减速运动 C．v2=v1sinθ D．v2=v1cosθ { 综合素质提升练 } 20．如图所示，物体通过轻质细绳拉光滑水平面上的物体，现用适当的外力作用在物体上，使物体沿光滑竖直杆以速度匀速下滑，某一时刻细绳与竖直杆间的夹角为，则以下说法正确的是（     ） A．此时物体的速度为 B．物体向右减速运动 C．物体的加速度逐渐减小 D．细绳对的拉力逐渐增大 21．某同学受斧子劈柴的启发，设计了如下实验，侧视图为直角三角形的物块A与梯形的物块B相接触，放置在水平面上，物块A左侧紧贴竖直墙壁。现以速度竖直向下推动物块A，物块B以水平速度向右运动，物块A的边与物块B的边始终贴合在一起，已知。则与的大小关系为（　　） A． B． C． D． 22．如图所示，匀质小球放置在斜面体与竖直墙壁间，斜面与竖直方向的夹角为，小球沿着墙壁下滑，斜面体沿着水平面向左运动。不计一切摩擦，某时刻小球与斜面、墙面未分离，小球的速度为，此时斜面体的速度大小为（　　） A． B． C． D． 23．如图，有一平行河岸，两岸间距。由于河床底部沉积状态不同，河岸中间形成了宽度相同、流速不同的两个区域Ⅰ和Ⅱ．区域Ⅰ的水速大小，区域Ⅱ的水速大小，方向均平行河岸向右。小船相对静水速度大小一直是。时刻，小船从点开始渡河，点为对岸上的点，且、连线与河岸垂直。下列说法正确的是（　　） A．小船能够沿直线从点运动到点 B．小船的最短过河时间为 C．若小船以最短位移过Ⅰ区域，则小船过Ⅰ区域的时间为 D．小船过Ⅱ区域的最短位移为 24．一艘观光小船在盘锦辽河上渡河，河宽为，小船在静水中的速度与时间t、河中某点的水流速度与该点到河岸距离d的关系分别如图甲、乙所示，下列说法正确的是（　　） A．若船头垂直河岸渡河，小船的实际渡河轨迹是偏下游的直线 B．若船头垂直河岸渡河，渡河时间与水流速度无关，此时渡河位移也最短 C．只要调整船头方向，小船一定能垂直到达正对岸 D．若小船以最短时间渡河，则小船沿河流方向的位移大小为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 2 3 4 6 7 8 10 11 13 14 答案 D C D D C A B C C C 题号 15 17 18 19 20 21 22 23 24 答案 B D C D C C A C D 1．30 【详解】当船头始终垂直于河岸时，渡河时间最短，最短时间 2．D 【详解】设冲锋舟以最小速度和最短时间的冲锋舟速度v2分别从A运动到B 冲锋舟速度方向与AB连线垂直时，速度有最小值，最小速度 最短时间的冲锋舟速度垂直于平直河岸，且 可得 故选D。 3．C 【详解】汽艇相对水的速度为 水流速度为 汽艇沿垂直于河岸方向过河所需时间为 汽艇沿水流方向的位移为 故靠岸位置在正对岸下游 故选C。 4．D 【详解】依题意，船头始终指向正对岸方向，则船的实际运动轨迹如图所示 设河宽，把船实际的运动分解到垂直河岸方向和沿河岸方向 在垂直河岸方向，有，其中 得小船过河所用的时间 设小船的实际速度大小为，有 得 则点到点的距离 故选D。 【点睛】 5． 60 75 不变 【详解】[1]当船头垂直河岸渡河时，时间最短，则小船的最短渡河时间为 [2]由于，当合速度方向垂直河岸时，渡河位移最短，则有 此时的渡河时间为 [3]若大暴雨导致水流速度增大到6m/s，由于渡河时间与水流速度无关，所以小船渡河的最短时间将不变。 6．D 【详解】汽艇相对水的速度与水流速度的合速度才是相对河岸的实际速度。实际航线为从到的直线，合速度应沿方向；水流速度向右，因此汽艇相对水的速度必须有向左的分量，使水平方向速度抵消，同时有指向对岸的分量。图D中船头偏向上游，实际航线沿。 故选D。 7．C 【详解】A．由于船在静水中的速度大于河水流速（），只要船头偏向上游适当角度，使得合速度方向垂直于河岸，船就可以到达正对岸，故A错误； B．当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，最短时间为，故B错误； C．船在河水中的实际速度大小为静水船速与水流速度的合速度，根据平行四边形定则可知，当两速度方向夹角为锐角时，实际速度大小大于，故C正确； D．船渡河的最短时间为，与河水流速无关，若仅增大河水流动的速度，船渡河的最短时间不变，故D错误。 故选C。 8．A 【详解】AB．小船恰好能沿垂直河岸方向的直线过河，小船实际航行速度大小为 A正确，B错误； C．小船沿垂直河岸方向过河，即合速度垂直河岸，船头（船速度）指向上游，与河岸夹角为，C错误； D．假设船头（船速度）与河岸夹角为，河宽为，则小船过河时间 即小船过河时间取决于船速和船速与河岸的夹角，D错误。 故选A。 9． 5：3 9：25 【详解】[1] 设河的宽度为，水速度的为，第一次划船速度为，以最短时间过河，则的方向垂直河岸A点指向对岸，根据速度的合成与分解规律，可得 第二次划船速度为，以最短位移过河，结果两次船航行在同一条路径上，说明 即的方向与虚线AB垂直斜向左上方，根据速度的合成与分解规律，可得 联立解得 [2]第一次渡河的时间 第二次渡河的时间 联立解得两次过河时间之比 10．B 【详解】A．因为救援船速度，根据矢量合成可知沿河流方向的合速度不可能为0，则不可能沿方向过河，故A错误； BD．船头垂直河岸过河时间最短，且与河水流速无关，则有，故B正确，D错误； C．当船头指向对岸下游方向，v2与v1成锐角，合速度大于，故C错误。 故选B。 11．C 【详解】A．当船头垂直指向对岸时，渡河时间最短，小船渡河时船头指向③方向，则所用时间为100s，则，故A错误； B．在小船渡河过程中船头指向③方向时，沿河岸的距离为 故小船到达对岸的位置与出发点间的距离为，故B错误； C．因为 若小船渡河位移最短，则船头的方向与合速度的方向垂直，设此时船头方向与河岸之间的夹角为θ，则 所以θ=60°，故C正确； D．当小船渡河过程中船头指向④方向时，船速方向与水流方向夹角小于90°，根据平行四边形定则可知，船的实际速度大于水速的4m/s，故D错误。 故选C。 12． 沿杆 ＝ 【详解】[1][2]球A与球形容器的球心等高，速度方向竖直向下，速度分解如图所示，有 球B此时速度方向与杆夹角，因此有 两球沿杆方向的速度相等，即有 联立解得 13．C 【详解】依题意，端速度竖直向上，端速度水平向右，根据关联速度关系，有 得 故选C。 【点睛】 14．C 【详解】AB．点绕固定点做圆周运动，其速度的方向垂直于杆。已知，且与水平面成角，根据几何关系可知杆与水平面成角，因此的方向与水平面成角（即沿杆方向），故AB错误； C．根据刚性杆的运动特性，杆两端点、沿杆方向的分速度相等。点速度水平向右，其沿杆方向的分速度为 由于且，可知的方向平行于杆，即的大小等于其沿杆方向的分速度。故有：，故C正确； D．杆转动的角速度满足 代入数据得：，故D错误。 故选C。 15．B 【详解】将A、B两端的速度分别沿杆方向和垂直杆方向分解： A端沿杆方向分速度： B端沿杆方向分速度： 由于轻杆不可伸长，两端沿杆方向的分速度大小相等： 整理得： 故选B。 16． 加速 【详解】[1]将船速度分解为沿绳方向分速度和垂直绳方向分速度，可知此时船的速度大小为 [2]船靠岸的过程中，增大，减小，汽车的速度不变，则船速v船增大，所以船做加速运动。 17．D 【详解】A．当绳与水平方向成时，小车沿绳方向的速度分量与物块B的速度大小相等，可得，故A错误； B．当物块B匀速上升时，小车向左运动，绳子与水平方向的夹角变小，可知减小，故B错误； C． 根据牛顿第三定律可得绳对B的拉力等于B对绳的拉力，故C错误； D．当小车匀速向左运动时，绳子与水平方向的夹角变小，可得物块B的速度变大，物块B向上做加速运动，故D正确。 故选D。 18．C 【详解】重物沿竖直杆的运动是实际运动（合运动），合速度方向竖直向上，将分解为沿钢丝绳方向的分速度和垂直钢丝绳方向的分速度，沿绳方向的分速度大小等于卷扬机收绳的速度 已知钢丝绳与竖直杆夹角，由几何关系得 解得 故选C。 19．D 【详解】因绳长不变，故沿绳方向的分速度相等，由关联速度可得v2=v1cosθ 当P向左匀速运动时θ减小，可知v2变大，则Q向上做加速直线运动。 故选D。 20．C 【详解】A．将A的合速度v分解为沿细绳方向和垂直细绳方向的分速度，由于细绳不可伸长，沿绳方向的分速度等于B的速度，因此，故A错误； B．A下滑过程中，细绳与竖直杆的夹角逐渐减小，逐渐变大，而A的速度v不变，因此​逐渐变大，B向右做加速运动，故B错误； CD．A匀速下滑，受力平衡，对A受力分析有 解得 而 A下滑时减小，增大，因此拉力逐渐减小，细绳对A、B的拉力都逐渐变小，对B分析，根据牛顿第二定律 可知B的加速度逐渐减小，故C正确，D错误。 故选C。 21．C 【详解】物块的速度沿垂直于接触面方向的分量为 物块的速度沿垂直于接触面方向的分量为 由接触面始终贴合得 解得 故选C。 22．A 【详解】小球的速度分解为垂直斜面方向和沿斜面方向，有， 设斜面体的速度为v，将斜面体的速度分解为垂直斜面方向和沿斜面方向，有， 由于小球和斜面体没有分离，所以垂直斜面方向的速度大小相等，也就是 整理有 解得 故选A。 23．C 【详解】A．由于，可知，沿河岸的分速度能够恰好与大小相等，方向相反，此时小船的合速度方向垂直于河岸，即小船在区域Ⅰ能够从点垂直于河岸运动。由于，可知，沿河岸的分速度大小小于，此时小船的合速度方向不可能垂直于河岸，即小船在区域Ⅱ不能够垂直于河岸运动，即小船不能够沿直线从点运动到点，故A错误； B．当船头指向垂直于河岸时，渡河时间最短，可知，故B错误； C．结合上述可知，小船在区域I内以最短位移过河时，船的合速度垂直河岸，大小为 渡河时间，故C正确； D．若小船能够从点运动到点，令船头指向与河岸夹角为，则小船在区域运动到河岸中间（虚线）位置进入区域Ⅱ的合速度方向一定指向点，根据速度合成规律，利用辅助圆，作出动态三角形，如图所示。当的方向与合速度方向垂直时，运动路程最短，根据几何关系： 解得，故D错误。 故选C。 24．D 【详解】A．若船头垂直河岸渡河，沿垂直河岸方向做匀速运动，沿平行河岸方向做变速运动，可知合运动不是直线运动，即小船的实际渡河轨迹不是直线，A错误； B．若船头垂直河岸渡河，渡河时间与水流速度无关，此时船沿平行河岸方向有位移，则渡河位移不是最短，B错误； C．因水流速度不断变化，则当船头方向一定时合速度方向不断变化，即即使调整船头方向，小船也不能垂直到达正对岸，C错误； D．若小船以最短时间渡河，则小船渡河的时间为 由图可知 可知水流的加速度 可知沿河流方向的位移大小为，D正确。 故选D。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $