1.5.1 全称量词与存在量词课件--2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦全称量词与存在量词，涵盖定义、命题判断、真假性及参数范围求解，从集合知识延伸至逻辑用语，通过“填一填”“判一判”搭建概念理解到易错辨析的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以“定义辨析—命题判断—真假推理—参数应用”为主线，结合数学思维的推理意识与数学语言的符号表达。如类型三例题将命题真假转化为集合关系，用符号构建不等式组，培养逻辑推理能力。课堂小结与当堂检测助学生形成知识网络，提升抽象能力，教师可借分层例题与方法总结优化教学，提高效率。

　第一章　集合与常用逻辑用语 1.5　全称量词与存在量词 1.5.1　全称量词与存在量词 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 学习目标 1.理解全称量词、全称量词命题的定义. 2.理解存在量词、存在量词命题的定义． 3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假． 基础知识 全称量词 全称量词 ∀ ∀x∈M，p(x) 【说明】　(1)从集合的观点看全称量词命题是陈述某集合中的所有的元素都具有某种性质的命题，全称量词表示的数量可能是有限的，也可能是无限的，由题目而定． (2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来，例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”． 存在量词 ∃ 存在量词 ∃x∈M，p(x) 判一判 (1)全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题．(　 　) (2)存在量词命题是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题．(　 　) (3)全称量词命题一定含有全称量词．(　 　) (4)在全称量词命题和存在量词命题中，量词都可以省略．(　 　) (5)一个全称量词可以包含多个变量．(　 　) √ √ × × √ 例题 类型一　全称量词命题与存在量词命题的判断　 1．下列命题是全称量词命题的是(　 　) A．存在一个实数的平方是负数 B．至少有一个整数x，使得x2＋3x是质数 C．每个五边形的内角和都是540° D．∃x∈R，x2＝x 解析　选项A、B、D中，分别有“存在”“至少”“∃”这样的存在量词，所以选项A、B、D都为存在量词命题，选项C中，因为有全称量词“每个”，所以命题为全称量词命题． C 2．下列命题中是存在量词命题的是(　 　) A．平行四边形的对边相等 B．同旁内角互补 C．任何实数都有相反数 D．存在实数没有倒数 解析　根据全称量词命题和存在量词命题的定义可知，A选项，“平行四边形的对边相等”是所有的平行四边形性质，是全称量词命题；B选项，“同旁内角互补”是所有的同旁内角都互补，是全称量词命题；C选项，“任何实数都有相反数”中的“任何”是全称量词，故其为全称量词命题；D选项，“存在实数没有倒数”中的“存在”为存在量词，故其为存在量词命题． D 3．(多选)下列命题中，是全称量词命题的有(　 　) A．至少有一个x∈R，使x2＋2x＋1＝0成立 B．对任意的x∈R，都有x2＋2x＋1＝0成立 C．对所有的x∈R，都有x2＋2x＋1＝0不成立 D．存在x∈R，使x2＋2x＋1＝0成立 解析　由全称量词命题的定义可知，B、C选项中的命题为全称量词命题，A、D选项中的命题不是全称量词命题． BC 方法总结 判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤： (1)判断语句是否为命题，若不是命题，则既不是全称量词命题也不是存在量词命题； (2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称量词命题，含有存在量词的命题是存在量词命题； (3)当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质． 类型二　全称量词命题与存在量词命题真假的判断 【例1】　判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假性． (2)存在实数x，使得x2－3x－4＝0； (3)存在实数对(x，y)，使得3x－4y－5>0； (4)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． [解]　(1)为全称量词命题，且为假命题，如取t＝1，则<t不成立． (2)为存在量词命题，且为真命题，因为判别式Δ＝b2－4ac＝25>0，所以x2－3x－4＝0有解，故存在实数x，使得x2－3x－4＝0. (3)为存在量词命题，且为真命题，如取实数对(2，0)，则3x－4y－5>0成立． (4)为全称量词命题，且为真命题，根据角平分线的性质可知，该命题为真命题． 方法总结 全称量词命题与存在量词命题的真假判断的技巧 (1)全称量词命题真假的判断：要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判断全称量词命题是假命题，只要能举出限定集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可．(这就是通常所说的“举出一个反例”) (2)存在量词命题真假的判断：要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题． [跟踪训练1]　用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假． (1)所有实数x都能使x2＋x＋1＞0成立； (2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解； (3)一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立； 解　(1)改写为∀x∈R，x2＋x＋1＞0. 因为判别式Δ＝1－4＝－3＜0，所以x2＋x＋1＞0恒成立，所以是真命题． (2)改写为∀a，b∈R，ax＋b＝0恰有一个解．因为a＝0，b≠0时，方程ax＋b＝0无解，所以是假命题． (3)改写为∃x，y∈Z，3x－2y＝10. 因为x＝4，y＝1时，3×4－2×1＝10，所以是真命题． 类型三　依据含量词命题的真假求参数的取值范围 【例2】　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅，若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围． [解]　由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，所以B⊆A，因为B≠∅，所以 即m的取值范围为{m|2≤m≤3}． 1．(变条件)把本例中命题p改为“∃x∈A，x∈B”，求m的取值范围． 解　由于p为真命题，则A∩B≠∅， 因为B≠∅，所以m≥2. 解得2≤m≤4. 2．(变条件)把本例中的命题p改为“∀x∈A，x∈B”，则是否存在实数m，使命题p是真命题？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由． 解　由于命题p：“∀x∈A，x∈B”是真命题，所以A⊆B，B≠∅， 所以不存在实数m，使命题p是真命题． 方法总结   依据含量词命题的真假求参数 取值范围的方法 (1)首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意． (2)其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围． [跟踪训练2]　已知p：∃x∈R，x2＋2x＋a＝0为真命题，则实数a的取值范围是(　 　) A．a≤1 B．a>1 解析　因为p：∃x∈R，x2＋2x＋a＝0为真命题，所以Δ＝22－4a≥0，解得a≤1. A 课堂小结 1．知识清单 (1)全称量词命题、存在量词命题的概念． (2)含量词命题的真假判断． (3)依据含量词命题的真假求参数的取值范围． 2．核心提示 (1)注意有些命题会省略量词，应先挖掘其隐含的量词；全称量词命题强调“整体、全部”，存在量词命题强调“个别、部分”． (2)方法归纳：定义法(如类型一)，转化法(如例2)． 当堂检测 1．下列命题中全称量词命题的个数是(　 　) ①任意一个自然数都是正整数；②有些偶数能被6整除；③n(n≥3，n∈N*)边形的内角和是(n－2)×180°. A．0　 B．1 C．2　 D．3 解析　命题①③为全称量词命题，命题②为存在量词命题． C 2．(2023·山西运城三中月考)下列命题中是真命题的为(　 　) A．∃x∈N，使4x<－3 B．∀x∈R，x2＋2>0 C．∀x∈N，2x>x2 D．∃x∈Z，使3x－2＝0 B 3．将命题“实数的平方大于等于零”表示为全称量词命题： ．(用符号语言表示) 解析　命题“实数的平方大于等于零”表示为全称量词命题，即∀x∈R，x2≥0. 4．若p：存在x<5，使2x＋a>0是真命题，则实数a的取值范围是 ． 解析　存在x<5，使2x＋a>0，即存在x<5，使a>－2x，所以a>－10. ∀x∈R，x2≥0 {a|a>－10} Thank you for watching. 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 填一填 1．全称量词与全称量词命题 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做 ，并用符号“ ”表示. (2)常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等． (3)全称量词命题：含有 的命题，叫做全称量词命题．通常，将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为 ． 2．存在量词与存在量词命题 (1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做 ，并用符号“ ”表示． (2)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等． (3)存在量词命题：含有 的命题，叫做存在量词命题．存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为 ． 【说明】　从集合的角度看，存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题． $