1.5.1全称量词与存在量词课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦全称量词与存在量词，涵盖意义理解、符号表示及命题真假判断。通过理发师悖论情境导入，引导学生讨论“所有的”等词语，衔接集合与逻辑用语基础，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以情境创设激发数学好奇心，通过问题探究引导学生用数学思维区分命题，符号化表示培养数学语言。例题结合正反例（如“所有素数是奇数”为假）提升推理能力，帮助学生发展抽象能力，教师可依托完整教学链提升效率。

1.5 课时1 全称量词与存在量词 第一章 集合与常用逻辑用语 1 1 理解全称量词与存在量词的意义，熟悉常见的全称量词和存在量词 了解含有量词的命题的含义， 学习目标 并能用数学符号表示含有量词的命题及判断命题的真假性. 1 2 创设情境 在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人理发技艺十分高超，誉满全城.我将为本城所有的不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸.我对各位表示热诚欢迎！” 组内讨论： （1）文中理发师说的“我讲给所有的不给自己刮脸的人刮脸”，对“所有的”这一词语，你能想到其他词语代替吗？ （2）上述词语都有什么含义？ 答：（1）“任意一个”、“一切”、“每一个”、“任给”、 “凡是”等. （2）表示某个范围内的整体或全部. 1 3 问题探究 思考：下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系? （1）x＞3； （2）2x+1是整数； （3）对所有的x∈R,x＞3； （4）对任意一个x∈Z,2x+1是整数. 关系：(3)在(1)的基础上,用短语“所有的”对变量x进行限定; 是 是 不是 不是 (4)在(2)的基础上,用短语”对任意一个”对变量x进行限定. 知识点1 全称量词与全称量词命题 1 4 知识梳理 短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词. 概念生成 表示：用符号“∀”表示 含有全称量词的命题，叫全称量词命题. 常见的全称量词还有“一切”、“每一个”、“任给”“全部的”、“凡是”、“只要是”等. 例如，命题 “对任意的n∈Z，2n+1是奇数” “所有的正方形都是矩形”都是全称量词命题． 1 5 通常，将含有变量x的语句用p(x) ，q(x) ，r(x) ，…表示,变量x的取值范围用M表示． 那么，全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为 “对任意的n∈Z，2n+1是奇数”可记为“∀n∈Z，2n+1是奇数” ∀ x∈M，p(x) 全称量词命题符号记法： 判断全称量词命题真假的思维过程 全称量词命题 经证明为真或与性质、定理等真命题相符 可举出反例 真命题 假命题 1 6 例1 判断下列全称量词命题的真假： （1）所有的素数都是奇数； （2）∀x∈R,|x|+1≥1. （3）对任意一个无理数x，x2也是无理数． （2）∀x∈R，总有|x|≥0，因而|x|+1≥1，所以，全称量词命题“ ∀x∈R,|x|+1≥1”是真命题； 解：（1）2是素数，但2不是奇数．所以，全称量词命题“所有的素数是奇数”是假命题； 例题分析 （3） 是无理数，但 =2为有理数，所以，全称量词命题“对任意一个无理数x，x2也是无理数”是假命题． 1 7 总结归纳 判断全称量词命题真假的方法： 如果对集合M中每一个x,p(x)都成立，那么“∀x∈M,p(x)”为真命题； 如果在集合M中存在一个x0，使得p(x0)不成立，那么“∀x∈M,p(x)”为假命题. 1 8 1.判断下列全称量词命题的真假： ①任何实数都有算术平方根； 练一练 ②∀x∈{y|y是无理数},x3是无理数. -4是实数，但是-4没有算术平方根，所以命题为假； 是无理数，但 是有理数，所以命题为假. 2.用符号“∀”表示下列全称量词命题: (1)自然数的平方大于或等于零; (2)所有的二次函数的图象的开口都向上. 解:(1)∀n∈N，n2≥0. (2)∀二次函数， 它的图象的开口都向上. 1 9 思考：下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系? （1）2x+1=3； （2）x能被2和3整除； （3）存在一个x∈R,使2x+1=3； （4）至少有一个x∈Z,x能被2和3整除. 知识点2 存在量词与存在量词命题 关系：(3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定,使(3)变成了可以判断真假的语句; 是 是 不是 不是 (4)在(2)的基础上,用“至少有一个”对变量x的取值进行限定,从而使(4)变成了可以判断真假的语句. 问题探究 1 10 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词. 概念生成 表示：用符号“∃”表示 含有存在量词的命题，叫存在量词命题. 常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”“有的”、“对部分”等. 例如，命题 “有的平行四边形是菱形” “有一个素数不是奇数”都是存在量词命题． 知识梳理 1 11 存在量词命题 “存在M中的元素x，p(x)成立 ”可用符号简记为 “至少有一个x∈Z，x能被2和3整除”可记为“∃x∈Z，x能被2和3整除” ∃ x∈M，p(x) 存在量词命题符号记法： 判断存在量词命题真假的思维过程 存在量词命题 可找到，使成立 找不到，使成立 真命题 假命题 1 12 例2 判断下列存在量词命题的真假： （1）有一个实数x，使x2+2x+3=0； （2）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线； （3）有些平行四边形是菱形． （2）由于平面内垂直于同一条直线的两条直线是互相平行的,因此不存在两个相交的直线垂直于同一条直线.所以,存在量词命题(2)是假命题. 解：（1）由于∆=22-4×3=﹣8＜0,因此使x2+2x+3=0的实数x不存在；所以,存在量词命题(1)是假命题. 例题分析 （3）由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题． 1 13 判断存在量词命题真假的方法： 如果在集合M中存在一个x0，使得p(x0)成立， 那么“∃x∈M,p(x)”为真命题； 如果对集合M中每一个x,p(x)都不成立， 那么“∃x∈M,p(x)”为假命题. 总结归纳 1 14 1.判断下列存在量词命题的真假： ①存在一个四边形的内角和是180°； 练一练 ②存在一个无理数x,x2是有理数. 所有四边形内角和为360°，所以命题为假； 2.用符号“∃”表示下列存在量词命题: (1)存在一个实数对(x，y)，使2x+3y+3<0成立; (2)有些整数既能被2整除，又能被3整除; (3)某个四边形不是平行四边形. 解: (1)∃(x，y)∈{(x，y)|x∈R，y∈R}，2x+3y+3<0. (2)∃x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除. (3)∃x∈{x|x是四边形}，x不是平行四边形. x= 是无理数，则x²=)² =2 ，2是有理数，所以命题为真. 1 15 全称量词命题与存在量词命题的区别 全称量词命题 存在量词命题 量词 量词符号表示 命题 含有 的命题叫全称量词命题 含有 的命题叫存在量词命题 命题形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”简记为： “存在M中的元素x，p(x)成立”简记为： 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 存在一个、至少有一个、有些、有的、有一个   全称量词   存在量词     归纳总结 1 16 课堂检测 1.判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，用量词符号“”“”表示，并判断真假. (1)所有实数都能使成立； (2)对所有实数方程恰有一个解； (3)一定有整数使得成立； (4)所有的有理数都能使是有理数. 解：(1)全称量词命题， (3)存在量词命题，真命题 (2)全称量词命题，恰有一个解，假命题 (4)全称量词命题，是有理数，真命题 1 17 2.设命题p:∀x∈{x|-2≤x≤-1}，x2-a≥0;命题q:∃x∈R，使x2+2ax-(a-2)=0. (1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围; (2)若命题p，q一真一假，求实数a的取值范围. 解 (1)令y=x2-a，x∈{x|-2≤x≤-1}，根据题意，当-2≤x≤-1时，1≤x2≤4， ∴a≤1. ∴实数a的取值范围为{a|a≤1}. 1 18 2.设命题p:∀x∈{x|-2≤x≤-1}，x2-a≥0;命题q:∃x∈R，使x2+2ax-(a-2)=0. (1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围; (2)若命题p，q一真一假，求实数a的取值范围. (2)由(1)可知，当命题p为真命题时，实数a满足a≤1. 当命题q为真命题，即方程有实数根时， 则有Δ=4a2-4(2-a)≥0，解得a≤-2或a≥1. 因为命题p与q一真一假. ①当命题p为真，命题q为假时， ②当命题p为假，命题q为真时， 综上可得-2<a<1，或a>1. ∴实数a的取值范围为{a|-2<a<1，或a>1}. 1 19 3.已知集合， （1）若命题是真命题，求的取值范围； （2）命题是真命题，求的取值范围. 解：（1）因为命题是真命题，所以， 当时，，解得； 当时，，解得. 综上，m的取值范围为. （2）因为是真命题，所以， 所以，即，所以， 所以只需满足即可，即. 故m的取值范围为. 1 20 回顾：本节课学习了那些知识点. （1）什么是全称量词和存在量词，用符号怎么表示？ （2）怎么判断全称量词命题和存在量词命题的真假？ 1 21 加油💪 1 22 得解得a>1. 得解得-2<a<1; $