4.3　4.3.2　对数的运算-2026-2027学年高一上学期数学必修一课件人教A版

该高中数学课件聚焦对数的运算性质与换底公式，通过课前自主学习问题链，从指数运算实例（如a^m=2,a^n=3求m+n）出发，引导学生逐步抽象出对数运算法则，再通过具体问题探究换底公式，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题驱动探究，结合数学抽象（从实例提炼法则）和数学运算（典例与定向训练），配套思维导图梳理知识结构，类题通法总结“拆”“收”等化简策略。例如典例2综合应用运算法则与换底公式，助力学生提升运算能力，教师可直接使用结构化资源提高教学效率。

4.3.2　对数的运算 素养目标 思维导图 1.理解对数的运算性质(数学抽象). 2.能够运用对数的运算性质进行计算和化简(数学运算). 课前自主学习 问题1.设am=2,an=3,如何求m+n? 提示:因为am=2,an=3,所以m=loga2,n=loga3,因此m+n=loga2+loga3; 或者因为am·an=am+n=2×3,所以m+n=loga(2×3). 问题2.设am=M,an=N,如何求m+n? 提示:因为am=M,an=N,所以m=logaM,n=logaN,因此m+n=logaM+logaN; 或者因为am·an=am+n=M·N,所以m+n=loga(M·N). 继续探究. 通过问题1,2你能发现什么? 提示: loga(M·N)=logaM+logaN. 问题3.假设=x,则log25=xlog23,即log25=log23x,从而有3x=5,将其化为对数式得x=log35,若将对数函数的底数2换成c(c>0且c≠1).=log35还成立吗? 提示:成立,证明如下:设=x,则logc5=xlogc3,即logc5=logc3x, 从而有5=3x,即x=log35,所以log35=(c>0且c≠1). 【核心概念】 1.对数的运算法则 如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么 (1)loga(MN)=____________. loga(N1N2…Nk)=_______________________(Ni>0,i=1,2,…,k). (2)loga=____________. (3)logaMn=nlogaM(n∈R). 2.换底公式 logab=(a>0,a≠1,b>0,c>0,c≠1) 特别地logab·logba=1. logaM+logaN logaN1+logaN2+…+logaNk logaM-logaN 课堂合作探究 探究点一　利用对数的运算法则化简求值 【典例1】(1)(多选题)下列命题正确的是(　　) A.若a>0,且a≠1,则∃x>0,y>0,log ax·log ay=log a(xy) B.∀a>0,b>0,ln (ab)=ln a+ln b C.若a>0,且a≠1,则∀x>0,y>0,log a(x+y)=log ax+log ay D.∀a>1,b>0,=b (2)2lg-lg 7=(　　) A.1 B.-1 C. D.- 【思维导引】(1)取特殊值可判断,A正确,C错误;根据运算公式知BD正确,得到答案. (2)根据对数的运算算出结果即可. 【解析】(1)选ABD.对于A,取x=y=1,则log ax·log ay=log a(xy)=0,正确;对于B,∀a>0,b>0, ln(ab)=ln a+ln b,正确;对于C,取x=y=1,得到log a2=0,不成立,错误;对于D,∀a>1,b>0,=b,正确. (2)选A.2lg-lg 7=lg-lg 16+lg(49×5)=lg=1. 【类题通法】 1.利用对数性质求值的解题关键是化异为同,先使各项底数相同,再找真数间的联系. 2.对于复杂的运算式,可先化简再计算;化简问题的常用方法:①“拆”:将积(商)的对数拆成两对数之和(差);②“收”:将同底对数的和(差)收成积(商)的对数. 提醒:对数式的化简求值一般是正用或逆用公式,对真数进行处理,选哪种策略化简,取决于问题的实际情况,一般本着便于真数化简的原则进行. 【定向训练】 (多选题)(2025·淄博高一检测)下列运算结果正确的有(　　) A.0.06-(-π)0+164+=π- B.lg 5(lg 8+lg 1 000)+(lg )2+lg +lg 0.6=1 C.lg +lg = D.0.02-(-)-2+(2+-(-1)0=-45 【解析】选CD.对于A,原式=-1+164+π-3=65 535-+π,故A错误; 对于B,原式=lg 5(3lg 2+3)+3(lg 2)2-lg 6+lg 0.6=3lg 5·lg 2+3lg 5+3(lg 2)2+lg =3lg 2(lg 5+lg 2)+3lg 5+lg =3lg 2+3lg 5-1=3(lg 2+lg 5)-1=2,故B错误; 对于C,原式=lg()+=lg =+1=,故C正确; 对于D,原式=(0.3-72+(-1=-49+-1=-45,故D正确. 探究点二　对数运算法则的综合应用 【典例2】(1)(2025·上海高一检测)已知m>0,n>0,若k=log3m=log9n=log27(9m+8n),则k=(　　) A.-2 B.2 C.- D. (2)已知log 189=a,18b=5,如何用a,b表示log 3645? 【思维导引】(1)结合对数的运算,化简可得k=log3m=log3=log3(9m+8n,得到并解出方程组即可. (2)根据对数的运算性质和换底公式求解. 【解析】(1)选B.由题可得:k=log3m=log3n=log3(9m+8n),即k=log3m=log3=log3(9m+8n, 所以解得所以k=2. (2)因为log 189=a,b=log 185,所以a+b=log 189+log 185=log 18(9×5)=log 1845, log 1836=log 18(18×2)=1+log 182=1+log 18=2-log 189=2-a, 所以log 3645==. 【类题通法】对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式,要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯,“lg 2+lg 5=1”在计算对数值时会经常用到,同时注意各部分变形要化到最简形式. 【定向训练】 1.标准的围棋棋盘共19行19列,361个格点,每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况,因此有3361种不同的情况.而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中,也讨论过这个问题,他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种,即10 00052,下列数据最接近的是(lg 3≈0.477)(　　) A.10-37　 B.10-36　 C.10-35　 D.10-34 【解析】选B.根据题意,对取常用对数得lg =lg 3361-lg 10 00052=361×lg 3-52×4≈-35.8,则≈10-35.8,选项B中的10-36与其最接近. 2.设x,y为正实数,已知lg=,则的值为(　　) A.7 B. C.3 D. 【解析】选A.由lg=,可得lg=lg xy,则=xy, 则=,则x+2+y=9,则=7. 探究点三　换底公式的综合应用 【典例3】(一题多问) 设x,y,z均为正数,且3x=4y=6z.回答下列问题. (1)试求x,y,z之间的关系; (2)求使2x=py成立,且与p最接近的正整数(即求与p的差的绝对值最小的整数); (3)比较3x,4y,6z的大小; (4)求log 2的值. 【问题解读】(1)令3x=4y=6z=t→利用指对数互化求出x,y,z→由对数的运算性质求出,,→由对数的运算性质化简与. (2)由换底公式求出p,由对数函数的性质判断p的取值范围,找出与它最接近的2个整数,利用对数的运算性质化简p与这2个整数的差. (3)由(1)得3x,4y,6z,由于3个数都是正数,利用对数、指数的运算性质化简它们的倒数的差,从而得到这3个数的大小关系. (4)对等式同取以2为底的对数,代换出x,y,z的基本关系,将x,z全部代换为y,结合对数运算和换底公式化简即可求解. 【解析】(1)设3x=4y=6z=t,由x,y,z均为正数得t>1. 故取以t为底的对数,可得xlog t3=ylog t4=zlog t6=1. 所以x=,y=,z=. =log t6-log t3=log t2=log t4=,所以x,y,z之间的关系为=. (2)p==·log t4=2·log 34=log 316. 由9<16<27,得log 39<log 316<log 327,从而2<p<3. 而p-2=log 316-log 39=log 3,3-p=log 327-log 316=log 3. 由÷=>1知>,所以p-2=log 3>log 3=3-p. 从而所求正整数为3. (3)因为3x-4y=3log 3t-4log 4t==()lg t=(lg 43-lg 34). 而lg t>0,lg 3>0,lg 4>0,lg 43<lg 34,所以3x<4y. 又因为4y-6z=2(2log 4t-3log 6t)=2()==, 而lg t>0,lg 4>0,lg 6>0,lg 62<lg 43,所以4y<6z.故有3x<4y<6z. (4)对3x=4y=6z同取以2为底的对数可得x·log 23=2y=zlog 26,即x=2y·log 32, z=2y·log 62,===2(log 62+log 62·log 23)= 2(log 62+log 63)=2,所以log 2=log 22=1. 【类题通法】在利用换底公式进行化简求值时,一般情况下是根据题中所给对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底,如果所给的对数式中的底数和真数互不相同,我们可以选择以10为底数进行换底. 【知识延拓】与换底公式密切相关的结论(各式均有意义): ①logab·logba=1;②logab·logbc·logcd=logad;③lobn=logab,还有logaan=n, lg 2+lg 5=1等. 【定向训练】 (1) (一题多解) 设3a=4b=36,求的值; (2)已知2x=3y=5z,且=1,求x,y,z. 【解析】(1)方法一:由3a=4b=36,得a=log336,b=log436, 由换底公式得=log363,=log364,所以=2log363+log364=log3636=1. 方法二:由3a=4b=36,两边取以6为底的对数,得alog63=blog64=log636=2, 所以=log63,=log64=log62,所以=log63+log62=log66=1. (2)令2x=3y=5z=k(k>0),所以x=log2k,y=log3k,z=log5k, 所以=logk2,=logk3,=logk5,由=1,得logk2+logk3+logk5=logk30=1, 所以k=30,所以x=log230=1+log215,y=log330=1+log310,z=log530=1+log56. 课堂练习 1.下列计算正确的是 (　　) A.=8 B.÷=2 C.=8 D.log318-log32=2 【解析】选D.因为3为奇数,所以=-8,故A不正确; ÷==20=1,故B不正确;=3,故C不正确; log318-log32=log3=log39=log332=2,故D正确. √ 2.2log510+log50.25= (　　) A.0　 B.1　 C.2　 D.4 【解析】选C.原式=log5100+log50.25=log525=2. √ 3.已知lg 2=a,lg 3=b,则用a,b表示lg 15为 (　　) A.b-a+1 B.b(a-1) C.b-a-1 D.b(1-a) 【解析】选A.lg 15=lg(3×5)=lg 3+lg 5=lg 3+lg =lg 3+1-lg 2=b-a+1. √ 4.log35log46log57log68log79=　　　　.  【解析】利用对数换底公式有:log35log46log57log68log79====3. 答案:3 谢 谢 $