第二十六章 二次函数（考点梳理对点练）-【千里马·单元测试卷】2026-2027学年九年级全一册数学(人教版·新教材)

第二十六章二次函数补 第二十六章 二次函数 考点4二次函数的概念、图象和性质 ⊙建议用时：40分钟答案P33 考点梳理 6.在同一平面直角坐标系中，一次函数y= 1.二次函数的相关概念T1,T8 -x+2与二次函数y=x2+k的图象可能是 2.二次函数的图象和性质T2,T4,T9,T10,T11, T12 3.二次函数图象与一次函数图象相结合T6 4.二次函数图象与系数a,b,c的关系T5,T7 5.二次函数解析式的确定T3 1.下列函数中，是二次函数的是 A.y=3x-1 B.y=3x3-x2 7.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如 1 C.y=1-x- D.y=x2+1 图所示，现给出下列结论：①abc>0;②9a+ 2.由二次函数y=3(x-2)2+1可知 3b+c=0;③b2-4ac<0;④2a+b<0.其中正 A.其图象的开口向下 确结论的个数是 B.其图象的对称轴为直线x=-2 C.其最大值为1 D.当x<2时，y随x的增大而减小 3.将抛物线y=(x+2)2-3先向右平移1个单 位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物 线的函数解析式为 () 7题图 A.y=(x+3)2-5 B.y=(x+3)2-1 A.1 B.2 C.3 D.4 C.y=(x+1)2-1 D.y=(x+1)2-5 4.已知点A(3,y1),B(5,y2),C(-4,y3)均在抛 8.二次函数y=3x- 方的二次项系数是 物线y=3x2-6x+m上，下列排序正确的是 ,一次项系数是 ,常数项是 ( A.y3>y1>y2 B.y3>y2>y1 C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2 9.抛物线y=-2x2-4x的开口向 ,对 5.抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a, 称轴是 顶点坐标是 ;当x b,c的符号为 ( 时，y随x的增大而增大；当x A.a<0,b>0,c<0 时，y随x的增大而减小 B.a<0,b<0,c>0 10.已知二次函数的解析式是y=x2-2x-1. C.a<0,b<0,c=0 ,顶点坐标 D.a<0,b>0,c=0 (1)与y轴的交点坐标是 5题图 是 -5 解千里马测试卷·九年级数学（全一册） (2)在平面直角坐标系中利用描点法画出此 12.在平面直角坐标系中，设二次函数y= 抛物线； 之（x-2m)P+3-am(m是实数)， (1)当m=2时，若点A(8,n)在该函数的图 象上，求n的值； 仪 (2)小明说该二次函数图象的顶点在直线y =-x+3上，你认为他的说法对吗？ 为什么？ 0 (3)已知点P(a+1,c),Q(4m-5+a,c)都在 该二次函数的图象上求证：c≤号 10题图 (3)结合图象回答：当-2<x<2时，函数值y 的取值范围是 山.已知函数y=++ 3 (1)将y=-++多用配方法化为)= a(x-h)2+k的形式； (2)求该函数图象与两坐标轴交点的坐标； (3)在平面直角坐标系中，画出该函数的 图象. ↑y 0 11题图 —6 第二十六章二次函数种 考点5二次函数与一元二次方程 ⊙建议用时：25分钟答案P34 考点梳理 (3)当x满足 时，y1<0. 1.判断一元二次方程根的情况T1,T5 2.求交点个数T2 4 3 3.一元二次方程的解（近似解）T3,T4 4.与方程、不等式结合6,7 1.若二次函数y=3x2+x-2m的图象与x轴有 -4-3201234龙 两个交点，则关于x的一元二次方程3x2+x= 2 -3 2m的根的情况是 () 6题图 A.有两个不相等的实数根 7.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图 B.有两个相等的实数根 所示。 C.没有实数根 (1)当x<1时，y随x的增大而 D.不能确定 (2)(与一元二次方程相关)写出方程ax2+bx 2.二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交点的 +c=0的解； 个数为 ( ) (3)(与不等式相关)写出不等式ax2+bx+c A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 <0的解集； 3.若抛物线y=x2+bx的对称轴是经过点(3,0) (4)(与直线交点相关)若方程ax2+bx+c+ 的直线，则关于x的方程x2+bx=-8的解为 =1没有实数根，直接写出k的取值范围； (5)已知抛物线y=(m-1)x2-2mx+m+1 A.x1=0,x2=6 B.x1=2,x2=4 (m≠1). C.x1=2,x2=-4 D.x1=-2,x2=-4 ①求证：该抛物线与x轴有两个交点； 4.下表给出了二次函数y=ax2+x+c(a≠0)的自 ②求出该抛物线与x轴的两个交点坐标 变量x与函数值y的部分对应值，那么方程ax (用含m的式子表示). +x+c=0的一个根的近似值可能是 ↑y 5 1.1 1.2 1.3 1.4 3 -1 -0.50.040.62 1.23 2 B.1.2 C.1.28 D.1.38 1 A.1.08 -5-4-3-2-,01245x 5.若关于x的二次函数y=x2-2x+k的图象与 x轴只有一个交点，则一元二次方程x2-2x+ 3 k=0有两个 的实数根，从而根据判 -4 别式可得k= -5 6.如图，二次函数y1=x2+2x与一次函数y2=x 7题图 +2的图象相交于两点，观察图象回答下列 问题： (1)当x满足 时，y1=Y2 (2)当x满足」 时，y1<y2 7 解千里马测试卷·九年级数学（全一册） 考点6实际问题与二次函数 ⊙建议用时：45分钟 答案P34 考点梳理 C.0=30(-2x+80) 1.面积问题T1,T8 D.0=x(-2x+50) 2.销售利润问题T3,T5,T7 4.如图，某公司的大门是一抛物线形建筑物，大 3.抛物线形间题T2,T4,T6:9 门的地面宽度和大门最高点离地面的高度都 1.一个直角三角形的两条直角边长的和为 是8m,公司想在大门两侧距地面6m处各安 20cm,其中一直角边长为xcm,面积为ycm2, 装一盏壁灯，则两盏壁灯之间的距离为 则y与x的函数解析式是 ( Ay=2×20x B.y=x(20-x） C.y=2x(20-) D.y=x(10-x) 2.某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种 喷泉，其中一支高度为1m的喷水管喷水的最 4题图 5.某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段 大高度为3m,此时喷水水平距离为)m,在 时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整 如图所示的平面直角坐标系中，这支喷泉的函 数)出售，可卖出(30-x)件，若使利润最大， 数解析式是 ) 则每件商品的售价应为 元 6.如图，某足球运动员在球门正前方9m处将球 射向空门（无守门员防守），当球飞行的水平 2 距离为6m时，球达到最高点A,此时球距离地 面3m. (1)求球飞行轨迹的抛物线的函数解析式； 0 (2)若球门高2.5m,问能否射中球门？ 2题图 y/m Ay=(s-2+3B.y=3x-2》°+1 Cy=-8x-2)+3D.y=-8(x++3 0 9m球门 x/m 3.已知某种产品的成本价为30元/kg,经市场调 6题图 查发现，该产品每天的销售量y(kg)与售价 x(元/kg)有如下关系：y=-2x+80.设这种产 品每天的销售利润为w(元)，则0与x之间的 函数解析式为 A.w=(x-30)(-2x+80) B.w=x(-2x+80) —8 第二十六章二次函数 7.某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据 :9.如图①所示是一座抛物线形拱桥的侧面示意 市场分析，在一个月内，售价定为25元时，可 图.水面宽AB与桥长CD均为24m,在距离点 卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件. D6m的点E处，测得桥面到桥拱的距离EF (1)当售价定为30元时，一个月可获利多 为1.5m,以桥拱顶点0为原点，桥面为x轴建 少元？ 立平面直角坐标系。 (2)当售价定为每件多少元时，一个月的获利 (1)求桥拱顶部0离水面的距离； 最大？最大利润是多少元？ (2)如图②，桥面上方有3根高度均为4m的 支柱CG,OH,DL,过相邻两根支柱顶端的 钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥 面的距离为1m. ①求出其中一条钢缆抛物线的函数解 析式； ②为庆祝节日，在钢缆和拱桥之间竖直装 8.如图，小明用铁栅栏及一面墙（墙足够长）围 饰若干条彩带，求彩带长度的最小值， 成一个矩形自行车场地ABCD,在AB和BC边 各有一个2宽的小门（不用铁栅栏），小明共 用铁栅栏40m,设矩形ABCD的边AD长为 xm,矩形的面积为Sm2. 9题图① 9题图② (1)写出S与x的函数解析式； (2)若要围成192m2的场地，则AD的长是 (3)当x取何值时，S有最大值？并求出最 大值 墙 D 8题图 9参考 九年级上册 第二十五章一元二次方程 考点1一元二次方程的概念及其解法 1.C2.A3.C 4.3x2-4x+2=03-4x25.x1=2,x2=-56.7 7.解：(1)x1=5,x2=-1. 47南3- (2),=3+7 4 (3)x1=1,x2=5.(4)y1=1,y2=-1. 8.解：(1)3-1 (2)x3=6x2+16x,x3-6x2-16x=0, .x(x2-6x-16)=0,x=0或x2-6x-16=0. 方程x2-6x-16=0, 移项，得x2-6x=16, 配方，得x2-6x+9=16+9, 即(x-3)2=25,x-3=±5，.x=8或-2. 综上，x1=0,2=8,=-2. (3)将方程√2x-6x+3=x-1的两边同时平方，得2x3-6x +3=(x-1)2, ∴.2x3-x2-4x+2=0,x2(2x-1)-2(2x-1)=0, .(x2-2)(2x-1)=0,.x2-2=0或2x-1=0, 1=万，m=-2,函=2 1 “V2x-6x+3=x-1≥0=-万和名=7均不合题意， .方程√2x3-6x+3=x-1的解为x=2. 考点2一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系 1.D2.B3.D4.A5416a>47.48-2 9.(1)证明：4=(-4)2+4m2=16+4m2>0, .该方程有两个不相等的实数根 (2)解：由根与系数的关系，得名1+2=4，x1名2=-m2, 则1+1=+名。4 有名名=m-1,解得m=±2. 10.解：(1)当m=2时，原方程为x2-8x+12=0, ∴.a=1,b=-8,c=12. 设关于x的一元二次方程2-8x+12=0的两个根分别为x1,x2, x1+x2=- =8，=g=12 e】 关于x的一元二次方程x2-8x+12=0的两个根分别是矩 形ABCD的两邻边长， ∴.矩形ABCD的对角线的长为 √/好+场=√/（名1+2）2-2xx2=82-2×12=2V√10. (2):关于x的一元二次方程x2-4mx+8m-4=0的两个根 分别是菱形ABCD的两邻边长， ∴.关于x的一元二次方程x2-4mx+8m-4=0有两个相等的 实数根，∴.4=(-4m)2-4×1×(8m-4)=0, 解得m1=m2=1,.原方程为x2-4x+4=0,即(x-2)2=0, 解得x1=2=2,∴菱形ABCD的周长为2×4=8. 考点3实际问题与一元二次方程 1.D2.B3.D 4.解：(1)(100+x)(10+x)(2)10x(500-10x) (3)(10+x)(500-10x)=8000(4)10或30 (5)10(6)10110 参考答案什 答案 5.解：设每轮传播中平均一台电脑传播x台电脑中了病毒， 根据题意，得1+x+x(1+x)=25, 解得1=4,2=-6（不合题意，舍去） 答：每轮传播中平均一台电脑传播4台电脑中了病毒。 6.解：设十位数字为x,则个位数字为(9-x). 由题意，得x(9-x)=9×2,解得x1=3,x2=6, 则9-x=6或3. 答：这个两位数是36或63 7.解：设进馆人次的日平均增长率为x, 根据题意，得100(1+x)2=121, 解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合题意，舍去). 答：进馆人次的日平均增长率为10%. 8.解：(1)(90-3x)(60-3x)[或(9x2-450x+5400)] (2)由(1)得9x2-450x+5400=4536, 解得x1=2,2=48(不合题意，舍去). 答：通道的宽度为2米. 9.解：(1)设y与x的函数解析式为y=kx+b(k≠0)， 将(60,300)，(63,288)分别代入y=x+b,得 {86四解得6 1b=540. ∴y与x的函数解析式为y=-4x+540. (2)根据题意，得(x-55)(-4x+540)=6300, 整理，得x2-190x+9000=0, 解得x1=90,x2=100. ,物价部门规定该商品的销售单价不能超过95元，∴.x=90. 答：商品的销售单价应为90元 (3)该商品平均每月的销售利润不可能是6500元. 理由如下： 根据题意，得(x-55)(-4x+540)=6500. 整理，得x2-190x+9050=0. :4=(-190)2-4×1×9050=-100<0, ∴.原方程没有实数根， ∴.该商品平均每月的销售利润不可能是6500元。 第二十六章二次函数 考点4二次函数的概念、图象和性质 1.C2.D3.D4.B5.C6A7.C8-号30 9.下直线x=-1(-1,2)<-1>-1 10.解：(1)(0，-1)(1，-2) (2)从左到右：-101232-1-2-12 描点、画出抛物线如答图. 0 10题答图 (3)-2≤y<7 解千里马测试卷·九年级数学（全一册） 1.解：(1)y=-7(x-1)2+2 (2)当x=0时=++子=， 六抛物线与y轴的交点坐标为(0，号） 当y=0时，-之(x-1)2+2=0,解得=3=-1， .抛物线与x轴的交点坐标为(3,0)，（-1,0). (3)画出该函数的图象如答图. ↑y :5升 2 -5-4-3-21.01 21 t-4--- ..5 11题答图 12.（1)解：当m=2时， y=-2(x-2x22+3-2=-(x-42+1 点A(8,n)在该函数的图象上， -分×(8-4)2+1=n,即m=-7. (2)解：小明的说法对.理由如下： y=-2(x-2m)2+3-m, ∴.二次函数图象的顶点为(2m,3-m), 当x=2m时，-2+3=-分×2m+3=-m+3, 顶点(2m,3-m)在直线y=-2x+3上， (3)证明：点P(a+1,c),Q(4m-5+a,c)都在该二次函数 的图象上， “二次函数图象的对称轴为直线x=a+1+4n-5+4=4+ 2 2m-2 由(2)知，该二次函数图象的顶点为(2m,3-m),， ∴.a+2m-2=2m,∴.a=2,∴.P(3,c), 将(3，e)代人二次函数的解析式，得c=-之×(3-2m)2+ 3-a-2m+5m-是-2(m-+号 (m-≥0-2(m-s0, m-5)2 =-2a-+号s号 考点5二次函数与一元二次方程 1.A2.B3.B4.B5.相等1 6.(1)x=-2或x=1(2)-2<x<1(3)-2<x<0 7.(1)解：减小 (2)解：方程ax2+bx+c=0的解为x=-1或x=3. (3)解：不等式ax2+bx+c<0的解集为-1<x<3. (4)解：k>5. (5)①证明：4=（-2m)2-4(m-1)(m+1)=4m2-4m2+4 =4>0, .方程(m-1)x2-2mx+m+1=0有两个不相等的实数根， ∴.该抛物线与x轴有两个交点. -3 ②解：令y=0,则(m-1)x2-2mx+m+1=0, m+1 解得x1=1,x=m-1’ 六该抛物线与x轴的两个交点坐标分别为1,0)，（网0 考点6实际问题与二次函数 1.C2.C3.A4.4m5.25 6.解：(1)设抛物线的函数解析式为y=a(x-6)2+3, 抛物线过点(0,0)， a(g-62+3=0a=7y=-7x-62+3. 1 (2)当x=9时，y=2<25 答：能射中球门. 7.解：(1)(30-20)×[105-5×(30-25)]=800（元）， 故当售价定为30元时，一个月可获利800元 (2)设售价定为每件x元时，一个月获利y元， 则y=(x-20)[105-5(x-25)]=-5x2+330x-4600 =-5(x-33)2+845, 故当售价定为每件33元时，一个月的获利最大，最大利润是 845元. 8.解：(1)AD+BC-2+AB-2=40,AD=BC=x, .AB=-2x+44, .S=AB·AD=(-2x+44)·x=-2x2+44x. (2)6m或16m (3).'S=-2x2+44x=-2(x-11)2+242, ∴，当x=11m时，S有最大值，最大值为242m2 9.解：(1)设拱桥所在抛物线的函数解析式为y=a1x2(a1≠0)， 由题意得F(6,-1.5), -15=36a4=-4n=-20 易知0D=之CD=12m, 1 则当x=12时，为=-24×122=-6，即BD=6m, .桥拱顶部0离水面的距离为6m. (2)①由题意得第一象限内的钢缆抛物线的顶点坐标为(6,1)， .可设第一象限内的钢缆抛物线的函数解析式为y2=2(x- 6)2+1(a2≠0). 04)4=40-62+1,4=7%=7x-62+1 同理，可得第二象限内的钢缆抛物线的函数解析式为 为=+62 以上两种函数解析式，求出其中任意一种即可. ②设彩带长度为hm, 则A=为-=立x-62+1-(-2女）g2-*+4 =g(x-42+2, .当x=4时，h取得最小值，最小值为2 ,∴.彩带长度的最小值是2m. 第二十七章反比例函数 考点7反比例函数的概念、图象和性质 1.D2.B3.D4.A5.C6.B7.C 8.y=59.210.x<-1或0<x<311.2 12.解：(1)函数y=k的图象经过点(1，-2)， -2==-2 (2)小：点(a,3)在这个图象上3=是，即a=-子