第三章 图形的相似 单元测试卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级数学上册“图形的相似”单元测试卷，全面覆盖相似图形判定、性质及应用，融合基础巩固与综合探究，适配单元复习，培养几何直观与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|成比例线段、相似三角形判定与性质、平行线分线段成比例|如第4题考查相似三角形面积比，夯实基础；第8题多条件相似判定，培养推理能力| |填空题|6/18|比例性质、相似条件添加、位似坐标、动点相似计算|如第12题开放添加相似条件，第15题动点相似分类讨论，发展问题解决能力| |解答题|8/72|相似证明、存在性探究、折叠变换、位似作图|如第18题线段上相似点存在性分析，第24题折叠后几何关系探究，体现创新应用，落实数学思维与空间观念|

第三章 图形的相似 单元测试卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册 测试时间：120分钟 满分：120分 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列长度的四组线段中，是成比例线段的是（　　） A．3cm，2cm，6cm，4cm B．5cm，6cm，7cm，8cm C．9cm，7cm，10cm，8cm D．1cm，2cm，3cm，4cm 2．如图，有三个矩形，其中是相似图形的是（　　） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙 3．如图，已知AB∥CD∥EF，BC：CE＝3：4，AF＝21，那么DF的长为（　　） A．9 B．12 C．15 D．18 4．已知△ABC∽△A1B1C1，相似比是3：1，则△ABC与△A1B1C1的面积比是（　　） A．1：3 B．3：1 C．9：1 D．3：9 5．如图所示，网格中相似的两个三角形是（　　） A．①与③ B．②与③ C．①与④ D．③与④ 6．如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD＝30m，在DC的延长线上找一点A，测得AC＝5m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于B，测出AB＝8m，则池塘的宽DE为（　　） A．32m B．36m C．48m D．56m 7．如图，在△ABC中，CD，BE是△ABC的两条中线，则的值为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，能满足△APC与△ACB相似的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，过点O作EF∥AD，分别交AB、CD于点E、F．下列结论不一定正确的是（　　） A． B．OE＝OF C． D．OA＝OD 10．如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE，AC，分别交BD于点M，N，设△BME的面积为S1，△AND的面积为S2，则S1：S2等于（　　） A．2：3 B．4：9 C．1：3 D．1：2 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．如果2a＝b，那么a：b＝　　. 12．如图，F是△ABC的边AB上的一点，连接CF，要使△CBF∽△ABC，还需要添加一个条件是 ）　 .（写出一个即可） 13．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为．若点A的坐标为（0，2），则点E的坐标是 　　 ． 14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，E为BC上一点，过点E作DE⊥AB，垂足为点D，并交AC的延长线于点F，联结AE，如果AE＝4，CE＝2，的值为　　 ． 15．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6，CD＝4，BD＝14．点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为　　 ． 16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E，作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当时，则的值为　　 ． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．如图，在四边形ABCD中，连接AC，BD，点E是BD上一点，且∠ACD＝∠BCE＝∠ABD．求证：AB•CD＝AC•DE． 18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，问：在线段AB上是否存在点P，使得以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似？若不存在，请说明理由；若存在，这样的P点共有几个？并求出AP的长． 19．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E是AC的中点，直线ED交AB的延长线于点F，求证：AB•AF＝AC•DF． 20．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（1，2），B（3，1）（每个方格的边长均为1个单位长度）． （1）将△OAB向右平移1个单位后得到△O1A1B1，请画出△O1A1B1； （2）请以O为位似中心画出△O1A1B1的位似图形，使它与△O1A1B1的相似比为2：1； （3）点P（a，b）为△OAB内一点，请直接写出位似变换后的对应点P′的坐标为 　　 ． 21．如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD． （1）求证：△ABC∽△DEC； （2）若S△ABC：S△DEC＝4：9，BC＝6，求EC的长． 22．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，过点D作DE⊥BC，△BDE边DE上的中线BF延长线交AC于点G． （1）求证：AD•BD＝CE•CB； （2）若AG＝FG，求证：BD＝2AD． 23．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB•AD，∠ADC＝90°，点E为AB的中点． （1）求证：△ADC∽△ACB． （2）CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由． （3）若AD＝4，AB＝6，则　　 ，CF＝　 ． 24．在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AP＝AB． 【初步感知】（1）如图1，点P在线段AC上，若OP＝2CP，AC＝6，求AB的长． 【深入探究】（2）如图2，点P在线段CD上，若CP＝DP，设AB长为x，AC长为y，求y与x之间的函数关系式． 【拓展运用】（3）如图3，点P在线段CD上，将△ADP沿直线AP折叠，若点D落在BC边上，求的值． 参考答案 第三章 图形的相似 单元测试卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册 测试时间：120分钟 满分：120分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．下列长度的四组线段中，是成比例线段的是（　　） A．3cm，2cm，6cm，4cm B．5cm，6cm，7cm，8cm C．9cm，7cm，10cm，8cm D．1cm，2cm，3cm，4cm 【解答】解：A．3：2＝6：4，所以A选项符合题意； B．5：6≠7：8，所以B选项不符合题意； C．9：10≠7：8，所以C选项不符合题意； D．1：2≠3：4，所以D选项不符合题意； 故选：A． 2．如图，有三个矩形，其中是相似图形的是（　　） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙 【解答】解：甲：邻边的比为3：2， 乙：邻边的比为2.5：1.5＝5：3， 丙：邻边的比为1.5：1＝3：2， 所以，是相似图形的是甲和丙． 故选：B． 3．如图，已知AB∥CD∥EF，BC：CE＝3：4，AF＝21，那么DF的长为（　　） A．9 B．12 C．15 D．18 【解答】解：∵AB∥CD∥EF，BC：CE＝3：4， ∴， ∴， 解得：DF＝12， 故选：B． 4．已知△ABC∽△A1B1C1，相似比是3：1，则△ABC与△A1B1C1的面积比是（　　） A．1：3 B．3：1 C．9：1 D．3：9 【解答】解：∵△ABC∽△A1B1C1，相似比是3：1， ∴△ABC与△A1B1C1的面积比是9：1， 故选：C． 5．如图所示，网格中相似的两个三角形是（　　） A．①与③ B．②与③ C．①与④ D．③与④ 【解答】解：根据网格的特点，①号三角形的三边长分别为 ，2，， ②号三角形的三边长分别为：2，，3， ③号三角形的三边长分别为：2，2，2， ④号三角形的三边长分别为：，3，， ∴， ∴①与③相似，故A选项正确，符合题意； 其他选项不正确， 故选：A． 6．如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD＝30m，在DC的延长线上找一点A，测得AC＝5m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于B，测出AB＝8m，则池塘的宽DE为（　　） A．32m B．36m C．48m D．56m 【解答】解：∵AB∥DE， ∴△ABC∽△DEC， ∴， ∴， ∴DE＝48m， 故选：C． 7．如图，在△ABC中，CD，BE是△ABC的两条中线，则的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵CD，BE分别是△ABC的边AB，AC上中线， ∴D是AB的中点，E是AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DEBC， ∴△DEF∽△CBF， ∴， 故选：D． 8．如图，在△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，能满足△APC与△ACB相似的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：根据题意知，∠BAC＝∠CAP， ∴∠ACP＝∠B，∠APC＝∠ACB时，△APC∽△ACB， 故①②符合题意； ∵AC2＝AP•AB， ∴AC：AB＝AP：AC， ∴△APC∽△ACB， 故③符合题意； AB•CP＝AP•CB，此两个对应边的夹角不是∠A，所以△APC与△ACB不相似， 故④不符合题意； 所以能满足△APC与△ACB相似的条件是①②③共3个． 故选：C． 9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，过点O作EF∥AD，分别交AB、CD于点E、F．下列结论不一定正确的是（　　） A． B．OE＝OF C． D．OA＝OD 【解答】解：∵AD∥BC，EF∥AD， ∴BC∥EF， ∴，故A选项不符合题意； ∴， ∵，， ∴OE＝OF，故B选项不符合题意； ∵EF∥AD， ∴， ∵EF∥BC， ∴， ∴，故C选项不符合题意； ∵，AE不一定等于DF， ∴OA不一定等于OD，故D选项符合题意． 故选：D． 10．如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE，AC，分别交BD于点M，N，设△BME的面积为S1，△AND的面积为S2，则S1：S2等于（　　） A．2：3 B．4：9 C．1：3 D．1：2 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，BN＝DN， ∴△ADM∽△EBM， ∴2， ∴4， ∵DM＝DN+MN， ∴DN+MN＝2BM＝2（BN﹣MN）＝2（DN﹣MN ）， ∴DN＝3MN， ∴S△ADN＝3S△AMN， ∴， ∴， 故选：C． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．如果2a＝b，那么a：b＝（ 　1　 ：　2　 ） 【解答】解：∵2a＝b， ∴a：b＝1：2， 故答案为：1，2； 12．如图，F是△ABC的边AB上的一点，连接CF，要使△CBF∽△ABC，还需要添加一个条件是 　∠BCF＝∠BAC（答案不唯一）　 .（写出一个即可） 【解答】解：可添加条件∠BCF＝∠BAC． ∵∠B＝∠B，∠B＝∠ACD， ∴△CBF∽△ABC． 故答案为：∠BCF＝∠BAC（答案不唯一）． 13．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为．若点A的坐标为（0，2），则点E的坐标是 　　 ． 【解答】解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为， ∴， ∵点A的坐标为（0，2）， 即OA＝2， ∴， ∵四边形ODEF是正方形， ∴． ∴E点的坐标为：． 故答案为：． 14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，E为BC上一点，过点E作DE⊥AB，垂足为点D，并交AC的延长线于点F，联结AE，如果AE＝4，CE＝2，的值为　　 ． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，AE＝4，CE＝2， ∴∠ECF＝180°﹣∠ACB＝90°，， ∴∠ECF＝∠ACB， ∵DF⊥AB于点D， ∴∠ADF＝90°， ∴∠F+∠BAC＝90°， ∵∠B+∠BAC＝90°， ∴∠F＝∠B， ∴△EFC∽△ABC， ∴， 故答案为：． 15．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6，CD＝4，BD＝14．点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为　8.4或2或12　 ． 【解答】解：设DP＝x，则BP＝BD﹣x＝14﹣x， ∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D， ∴∠B＝∠D＝90°， 当时，△ABP∽△CDP， 即， 解得：x， ∴BP＝148.4， 当时，△ABP∽△PDC，即； 整理得x2﹣14x+24＝0， 解得x1＝2，x2＝12， BP＝14﹣2＝12，BP＝14﹣12＝2， ∴当BP为8.4或2或12时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似． 故答案为：8.4或2或12． 16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E，作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当时，则的值为　　 ． 【解答】解：∵AE平分∠BAC， ∴∠FAH＝∠GAH， ∵DF⊥AE， ∴∠AHF＝∠AHG＝90°， 又∵AH＝AH， 在△AHF和△AHG中， ， ∴△AHF≌△AHG（ASA）， ∴AF＝AG， 如图1，过点O作OL∥AB交DF于L， 则∠AFG＝∠OLG． ∵AF＝AG， ∴∠AFG＝∠AGF， ∵∠AGF＝∠OGL， ∴∠OGL＝∠OLG， ∴OG＝OL， ∵OL∥AB， ∴△DLO∽△DFB， ∴， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BD＝2OD， ∴， ∴BF＝2OL， ∴BF＝2OG． 如图2，过点D作DK⊥AC于K， 则∠DKA＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠CDA＝90°， ∴∠DKA＝∠CDA， ∵∠DAK＝∠CAD， ∴△ADK∽△ACD， ∴， ∵，， 又∵BF＝2OG，， ∴， ∴， 设CD＝2x，则AC＝3x，AB＝2x， 在Rt△ACD中，由勾股定理得：， ∴． 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．如图，在四边形ABCD中，连接AC，BD，点E是BD上一点，且∠ACD＝∠BCE＝∠ABD．求证：AB•CD＝AC•DE． 【解答】证明：设AC交BD于点F， ∵∠ACD＝∠BCE， ∴∠ACD+∠ACE＝∠BCE+∠ACE， ∴∠DCE＝∠ACB， ∵∠ACD＝∠ABD， ∴∠EDC＝∠AFD﹣∠ACD＝∠AFD﹣∠ABD， ∵∠BAC＝∠AFD﹣ABD， ∴∠EDC＝∠BAC， ∴△DEC∽△ABC， ∴， ∴AB•CD＝AC•DE． 18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，问：在线段AB上是否存在点P，使得以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似？若不存在，请说明理由；若存在，这样的P点共有几个？并求出AP的长． 【解答】解：存在． ∵AD∥BC，∠A＝90°， ∴∠B＝90°， 当△PAD∽△PBC时， ， ∵AB＝AP+PB＝7，AD＝2，BC＝3， ∴AP①； 当△ADP∽△BPC时， ， ∵AB＝AP+PB＝7，AD＝2，BC＝3， ∴PA＝1或PA＝6②； 由①②可知，P点距离A点有三个位置：PA或PA＝1或PA＝6． 19．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E是AC的中点，直线ED交AB的延长线于点F，求证：AB•AF＝AC•DF． 【解答】证明：∵△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D， ∴△ABD∽△CBA， ∴， ∵E是AC中点， ∴ED＝EC＝AE， ∴∠C＝∠3＝∠4， ∵∠C＝∠1（同角的余角相等）， ∴∠1＝∠4， 又∠F为△FDB和△FAD的公共角， ∴△FDB∽△FAD， ∴， ∴， ∴AB•AF＝AC•DF． 20．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（1，2），B（3，1）（每个方格的边长均为1个单位长度）． （1）将△OAB向右平移1个单位后得到△O1A1B1，请画出△O1A1B1； （2）请以O为位似中心画出△O1A1B1的位似图形，使它与△O1A1B1的相似比为2：1； （3）点P（a，b）为△OAB内一点，请直接写出位似变换后的对应点P′的坐标为 　（2a+2，2b）或（﹣2a﹣2，﹣2b）　 ． 【解答】解：（1）如图，△O1A1B1即为所求作三角形； （2）如图，△O2A2B2即为所求作三角形； （3）点P（a，b）为△OAB内一点，位似变换后的对应点P′的坐标为（2a+2，2b）或（﹣2a﹣2，﹣2b）， 故答案为：（2a+2，2b）或（﹣2a﹣2，﹣2b）． 21．如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD． （1）求证：△ABC∽△DEC； （2）若S△ABC：S△DEC＝4：9，BC＝6，求EC的长． 【解答】证明：（1）∵∠BCE＝∠ACD． ∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE， ∴∠DCE＝∠ACB， 又∵∠A＝∠D， ∴△ABC∽△DEC； （2）∵△ABC∽△DEC； ∴（）2， 又∵BC＝6， ∴CE＝9． 22．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，过点D作DE⊥BC，△BDE边DE上的中线BF延长线交AC于点G． （1）求证：AD•BD＝CE•CB； （2）若AG＝FG，求证：BD＝2AD． 【解答】证明：（1）∵CD⊥AB， ∴△BCD是直角三角形． ∵DE⊥BC， ∴∠CDB＝∠DEC＝90°， 在△CDE和△CBD中， 又∵∠DCE＝∠DCB， ∴△CDE∽△CBD， ∴， ∴CD2＝CE•CB． ∵△ABC是直角三角形，CD⊥AB， ∴∠ACB＝∠ADC＝∠BDC＝90°， ∵∠ACD+∠A＝∠ACD+∠BCD＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∴△ACD∽△CBD， ∴， ∴CD2＝AD•BD， ∴AD•BD＝CE•CB； （2）过G作GP⊥DF交DF于P，连接DG， ∵∠ACB＝90°，DE⊥BC， ∴AC∥DE， ∴△BDF∽△BAG，△BFE∽△BGC， ∴，， ∴， ∵F是DE边中线， ∴DF＝EF， ∴AG＝CG， ∴G是△ADC边AC中点， ∵CD⊥AB， ∴AG＝DG＝CG． 又∵AG＝FG， ∴DG＝FG， ∴△DFG是等腰三角形， ∴GP是FD的中线，DP＝FP， ∵BF是中线， ∴， ∴PF：EF＝1：2， ∵EC⊥DE，GP⊥DE， ∴CE∥GP， ∴△GPF∽△BEF， ∴BF：GF＝EF：PF＝2：1； ∴BD：AD＝BF：GF＝2：1，即BD＝2AD． 23．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB•AD，∠ADC＝90°，点E为AB的中点． （1）求证：△ADC∽△ACB． （2）CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由． （3）若AD＝4，AB＝6，则　　 ，CF＝　　 ． 【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠CAB， ∵AC2＝AB•AD， ∴， ∴△ADC∽△ACB； （2）CE∥AD， 理由如下：∵△ADC∽△ACB， ∴∠ACB＝∠ADC＝90°， ∵点E为AB的中点， ∴CE＝AEAB， ∴∠EAC＝∠ECA， ∴∠DAC＝∠EAC， ∴∠DAC＝∠ECA， ∴CE∥AD； （3）由（2）得，CEAB＝3， ∵CE∥AD， ∴， ∴， ∵AC2＝AB•AD，AD＝4，AB＝6， ∴AC＝2， ∴AF2， ∴CF＝AC﹣AF， 故答案为：，． 24．在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AP＝AB． 【初步感知】（1）如图1，点P在线段AC上，若OP＝2CP，AC＝6，求AB的长． 【深入探究】（2）如图2，点P在线段CD上，若CP＝DP，设AB长为x，AC长为y，求y与x之间的函数关系式． 【拓展运用】（3）如图3，点P在线段CD上，将△ADP沿直线AP折叠，若点D落在BC边上，求的值． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形， AC＝6， ∴OC＝OA＝3， ∵OP＝2CP， ∴OP＝2， ∴AB＝AP＝OP+OA＝5； （2）过点P作PE⊥AC于点E， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴PE∥BD， ∵CP＝DP，AB＝x，AC＝y， ∴，，， ∴， 在Rt△PCE中，， 在Rt△PAE中，， 即， 整理得， 即，（舍去）． ∴y与x之间的函数关系式为（x＞0）； （3）如图，设AP交BD于点F，将△ADP沿直线AP折叠，使点D落在BC边上的D′，连接PD′，AD′， 则AD＝AD′＝AP＝AB，∠D′AP＝∠DAP， 又∠ABD′＝∠ADP， ∴∠ADP＝∠APD＝∠APD′＝∠AD′P＝∠AD′B＝∠ABD′， ∴∠DAP＝∠D′AP＝∠BAD′， ∵AB∥CD， ∴∠APD＝∠PAB＝2∠DAP． ∵∠PDA+∠APD+∠DAP＝180°， ∴5∠DAP＝180°， ∴∠DAP＝36°，∠APD＝∠ADP＝72°， ∴， ∴∠PDF＝∠DAP＝∠ADF， ∴∠DPF＝∠DFP＝72°， ∴DF＝AF＝PD． 又∠DPF＝∠APD， ∴△PDF∽△PAD． ∴． ∴DP2＝AP•FP， 设DP＝m，DC＝n， 则AP＝n，FP＝n﹣m， ∴m2＝n（n﹣m）， ∴m2+mn﹣n2＝0， 即， ∴或（舍去）， ∴． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/7/30 6:58:50；用户：陈老师；邮箱：dzcjh@qq.com；学号：1374551 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $