专题 26.3 二次函数与一元二次方程（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数与一元二次方程的核心关联，系统梳理二者关系、根的判别式双向对应规律、图像法解不等式等知识点，通过基础概念到拓展应用的递进式梳理，搭建完整学习支架，助力学生构建知识脉络。 资料以题型分层设计为亮点，夯实基础与综合提升题型结合，例题搭配变式训练，同步检测覆盖选择、填空、解答题。通过图像法求方程根培养几何直观（数学眼光），判别式推理训练发展推理意识（数学思维），课中辅助教师教学，课后帮助学生强化练习、查漏补缺。

专题 26.3 二次函数与一元二次方程（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】二次函数与一元二次方程关系 1 【知识点二】根的判别式双向对应规律 2 【知识点三】利用图象求解一元二次不等式解集 2 【知识点四】拓展知识点 3 【知识点五】常见易错点 3 二.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】抛物线与坐标轴交点坐标 3 【题型 2】判别式与坐标轴交点个数关系 4 【题型 3】利用函数图像求方程的根 4 【题型 4】二次函数与直线交点问题 6 【题型 5】图像法判断方程根的近似值 7 三.题型精析（综合提升） 8 【题型 6】抛物线与坐标轴截距 8 【题型 7】一元二次不等式的解集 9 【题型 8】由二次函数图象判断式子符号 10 四.同步检测 11 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 12 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 14 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 15 一.知识梳理 【知识点一】二次函数与一元二次方程关系 二次函数与一元二次方程本质是同一二次数量关系的两种表达形式： 1. 对于二次函数 ，当函数值 时，二次函数即可转化为一元二次方程 。 2. 核心对应结论：二次函数图象与x轴交点的横坐标，就是对应一元二次方程的实数根。 【知识点二】根的判别式双向对应规律 通过判别式 ，可同步判断方程根的个数与函数图象和x轴的交点情况，是二者关联的核心考点，具体对应关系如下： 判别式取值 一元二次方程 根的情况 二次函数 图象与x轴交点情况 有两个不相等的实数根 有2个不相同的交点 有两个相等的实数根（一个实数根） 有1个交点（抛物线顶点在x轴上，图象与x轴相切） 无实数根 无交点（抛物线全程在x轴上方或下方） 【知识点三】利用图象求解一元二次不等式解集 结合二次函数图象，可快速、直观求解一元二次不等式 、 的解集，核心原理：图象在x轴上方的部分对应y>0，图象在x轴下方的部分对应y<0。 解题前提：先求出对应方程 的两个根 ，结合抛物线开口方向判断解集。 1. 当开口向上（） 抛物线整体向上延伸，两根之间图象在x轴下方，两根外侧图象在x轴上方： ① ，解集为： 或 （取两边）； ② ，解集为：（取中间）。 2. 当开口向下（） 抛物线整体向下延伸，两根之间图象在x轴上方，两根外侧图象在x轴下方： ① ，解集为：（取中间）； ② ，解集为： 或 （取两边）。 【知识点四】拓展知识点 1. 图像法求方程近似根：画出二次函数 的图像，图像与x轴交点的横坐标即为方程的根，可通过取值逼近法求近似根。 2. 函数值与方程的延伸关系： 若求 的根，可转化为求二次函数 与直线 交点的横坐标。 3. 根与系数的关系（韦达定理）： 当 时，方程 的两根 满足：，。 【知识点五】常见易错点 1. 忽略二次项系数 ，若 ，函数变为一次函数，方程变为一元一次方程，不再适用本专题规律。 2. 时，方程是两个相等的实数根，不是一个根，对应图像与x轴有一个交点（切点）。 3. 混淆“函数与x轴交点”和“函数与坐标轴交点”，坐标轴交点包含x轴、y轴，y轴交点为 ，与方程根无关。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】抛物线与坐标轴交点坐标 【例题1】（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于A、B两点 （点A在点B左侧），与y轴交于点C． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）直接写出抛物线的对称轴． 【变式1】（25-26九年级上·广东广州·期中）二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为，则与轴的另一个交点的横坐标是（   ） A． B．1 C．2 D．0 【变式2】（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）二次函数的图像与y轴的交点坐标为________． 【变式3】（25-26九年级上·河南信阳·期中）抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的函数解析式． （2）求的长． 【题型 2】判别式与坐标轴交点个数关系 【例题2】（25-26九年级上·宁夏固原·期中）已知二次函数（为常数）． （1）若点在该函数图象上，则_________； （2）证明：该二次函数的图象与轴有两个不同的公共点． 【变式1】（24-25九年级上·山东淄博·期中）拋物线与坐标轴交点个数为（     ） A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2】（2026九年级下·吉林长春·专题练习）若抛物线与轴无交点，则的值是________．（写出一个即可） 【变式3】（25-26九年级上·安徽六安·阶段检测）已知抛物线（a是常数）． （1）求证：无论a为何值，该抛物线与x轴一定有交点； （2）若该二次函数有最小值，求a的值． 【题型 3】利用函数图像求方程的根 【例题3】（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，求一元二次方程的解． 【变式1】（2025九年级·全国·专题练习）已知二次函数的图象如图所示，则方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 【变式2】（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标为，则关于x的一元二次方程的解是______． 【变式3】（23-24九年级上·湖北武汉·期中）二次函数的图象的一部分如图所示，图象与轴的一个交点为，根据图象解答下列问题： （1）求的值； （2）直接写出该抛物线与轴的另一交点的坐标； （3）直接写出不等式的解集． 【题型 4】二次函数与直线交点问题 【例题4】（23-24九年级上·北京海淀·期中）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为，一次函数的图象过点、． （1）求二次函数的解析式； （2）直接写出二次函数的图象与x轴的另一个交点B的坐标； （3）根据图象，直接写出时，x的取值范围． 【变式1】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，则下列说法正确的是（  ） A． B． C． D．以上都正确 【变式2】（25-26九年级下·四川南充·阶段检测）如图，抛物线的对称轴是直线，且与轴、轴分别交于、两点，其中点在点的右侧，直线经过、两点．给出以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是______    【变式3】（25-26九年级上·河南郑州·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与一次函数的图象交于A，C两点． （1）求b的值； （2）求的面积． 【题型 5】图像法判断方程根的近似值 【例题5】（2025九年级上·北京·专题练习）利用函数图像求一元二次方程的近似解（精确到）． 【变式1】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如下表，是二次函数的自变量与函数值的几组对应值．那么方程的一个近似解是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·浙江金华·期中）下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x y 根据此表，可以判断方程的一 个解x 可能的取值范围是________． 【变式3】（23-24九年级上·福建莆田·期末）在平面直角坐标系中画出函数的图象；并在图象上描出以方程的两根为横坐标的点，标记为A，B． 三.题型精析（综合提升） 【题型 6】抛物线与坐标轴截距 【例题6】（24-25九年级上·广东广州·期中）已知抛物线，与轴的交点，（点在点的左侧）． （1）若时，求点，的坐标及线段长． （2）若，求的值及抛物线的对称轴． 【变式1】（2026·内蒙古·中考真题）二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【变式2】（23-24九年级上·湖北恩施·期中）抛物线与x轴交于A、B两点，则线段的长为______； 【变式3】（25-26九年级上·江苏淮安·期中）小明在画一个二次函数的图像时，列出了下面几组x与y的对应值． 0 1 2 3 4 3 0 （1）求该二次函数的表达式； （2）当时，x的值为 ； （3）该二次函数图像与直线有两个交点A、B，若时，n的取值范围为 ． 【题型 7】一元二次不等式的解集 【例题7】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，二次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点和点． （1）求二次函数的解析式和另一交点的坐标； （2）根据函数图象，直接写出不等式的解集． 【变式1】（25-26九年级下·广东深圳·阶段检测）函数与的图象如图所示，当（   ）时，． A．或 B．或 C．或 D．或 【变式2】（25-26八年级下·重庆·期末）如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 【变式3】（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，已知抛物线经过 两点，顶点为． （1）分别求抛物线和直线的解析式； （2）请根据图象直接写出：时的取值范围； 【题型 8】由二次函数图象判断式子符号 【例题8】（2026·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，已知函数（m，n为常数）图象的顶点坐标为． （1）当，时，求该函数图象的顶点坐标． （2）若，为该函数图象上的点，当时，比较，的大小． （3）若该函数的图象经过点，当时，求k的取值范围． 【变式1】（2026·四川达州·模拟预测）如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点，下列结论：①，②，③，④当时，，正确的有（     ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（2025·山东泰安·模拟预测）如图，在二次函数的图像中，顶点的纵坐标为1．下列结论：①②③④⑤关于x的一元二次方程无实数根．其中，正确结论的序号是_________． 【变式3】（2025·浙江嘉兴·一模）已知二次函数． （1）求函数图象的对称轴； （2）若，当时，函数的最大值为8，求实数的值； （3）若，当时，，当时，总有，求实数的取值范围． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·全国·单元测试）若关于x的二次函数的图象与x轴的交点坐标是和，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A． B．， C．， D．， 2．（2025九年级上·广西南宁·专题练习）已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根 3．（24-25九年级上·广东东莞·期中）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）根据下列表格的对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（   ） 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 5．（2026九年级下·内蒙古呼和浩特·专题练习）对于二次函数，下列说法正确的是（      ） A．图象开口向下 B．对称轴是直线 C．与轴的交点是和 D．当时，随的增大而增大 6．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数的、的部分对应值如下表： 0 1 2 3 5 1 1 下列结论中正确的个数有（    ） ①；②抛物线的对称轴是直线；③方程有一个根，且；④不等式的解集是；⑤是方程的根． A．4 B．3 C．2 D．1 7．（2022·山东临沂·模拟预测）在平面直角坐标系中，函数的图象为，关于y轴对称的图象为，则直线（a为常数）与，的交点共有（     ） A．2个 B．1个或2个 C．0个或2个或3个或4个 D．无数个 8．（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图所示，二次函数的图象与一次函数．的图象交于，两点，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级下·山东济南·开学考试）经过点、点的抛物线与轴有两个不同的交点，与轴的交点在轴上方，则当时，的取值范围是（　　 ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级下·山东日照·开学考试）如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，在以下结论中： ①； ②当时，y随x的增大而减小； ③； ④； ⑤若m，n（）为方程的两个根，则，． 其中正确的结论有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级上·上海徐汇·阶段检测）函数图象与轴的交点坐标是______ 12．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知函数的顶点在x轴上，那么______． 13．（25-26九年级上·广东广州·期末）已知抛物线的顶点坐标是，图象与x轴交于点和点C，且点B在点C的左侧，那么线段的长是______．（请用含字母m的代数式表示） 14．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为________． 15．（25-26八年级下·北京海淀·期末）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是___________ ． 16．（2026·四川南充·中考真题）抛物线与x轴交于A，B两点，且，则m的值为_______． 17．（2026·广东肇庆·三模）已知抛物线的对称轴是直线，与x轴交于，B两点，与y轴的交点C在x轴下方，若，则该抛物线的表达式可以是________．（写出一个即可） 18．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的面积为______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·陕西榆林·期末）已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），求A，B两点的坐标． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数． （1）试说明该二次函数的图像与x轴必有两个交点； （2）若，该抛物线沿x轴平移多少个单位长度后，得到的抛物线经过原点． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）已知二次函数． （1）求证：该二次函数图象与轴有两个交点； （2）当时，结合函数图象说明当时的取值范围． 22．（本小题满分10分）（23-24九年级上·青海海东·阶段检测）如图，二次函数的图象与轴交于点，，根据图象回答下列问题： （1）写出方程的两个根，并直接写出该二次函数的对称轴； （2）根据图象，写出的解集． 23．（本小题满分10分）（2026·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，对称轴为． （1）求b的值，并用含a的式子表示c； （2）已知M是抛物线上的点，M的横坐标为t，抛物线的顶点为M，且可以由抛物线平移得到（特别地，当M是的顶点时，即为）．若无论t为何值，抛物线都不经过点O，求a的取值范围． 24．（本小题满分12分）（2026·陕西延安·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C；抛物线经过B，C两点． （1）求点A，B的坐标； （2）求抛物线的函数表达式； （3）在抛物线上是否存在一点M，使以点C，A，B，M为顶点的四边形是以为边的平行四边形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 26.3 二次函数与一元二次方程（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】二次函数与一元二次方程关系 1 【知识点二】根的判别式双向对应规律 2 【知识点三】利用图象求解一元二次不等式解集 2 【知识点四】拓展知识点 3 【知识点五】常见易错点 3 二.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】抛物线与坐标轴交点坐标 3 【题型 2】判别式与坐标轴交点个数关系 6 【题型 3】利用函数图像求方程的根 8 【题型 4】二次函数与直线交点问题 11 【题型 5】图像法判断方程根的近似值 15 三.题型精析（巩固提升） 18 【题型 6】抛物线与坐标轴截距 18 【题型 7】一元二次不等式的解集 21 【题型 8】由二次函数图象判断式子符号 24 四.同步检测 29 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 29 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 36 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 41 一.知识梳理 【知识点一】二次函数与一元二次方程关系 二次函数与一元二次方程本质是同一二次数量关系的两种表达形式： 1. 对于二次函数 ，当函数值 时，二次函数即可转化为一元二次方程 。 2. 核心对应结论：二次函数图象与x轴交点的横坐标，就是对应一元二次方程的实数根。 【知识点二】根的判别式双向对应规律 通过判别式 ，可同步判断方程根的个数与函数图象和x轴的交点情况，是二者关联的核心考点，具体对应关系如下： 判别式取值 一元二次方程 根的情况 二次函数 图象与x轴交点情况 有两个不相等的实数根 有2个不相同的交点 有两个相等的实数根（一个实数根） 有1个交点（抛物线顶点在x轴上，图象与x轴相切） 无实数根 无交点（抛物线全程在x轴上方或下方） 【知识点三】利用图象求解一元二次不等式解集 结合二次函数图象，可快速、直观求解一元二次不等式 、 的解集，核心原理：图象在x轴上方的部分对应y>0，图象在x轴下方的部分对应y<0。 解题前提：先求出对应方程 的两个根 ，结合抛物线开口方向判断解集。 1. 当开口向上（） 抛物线整体向上延伸，两根之间图象在x轴下方，两根外侧图象在x轴上方： ① ，解集为： 或 （取两边）； ② ，解集为：（取中间）。 2. 当开口向下（） 抛物线整体向下延伸，两根之间图象在x轴上方，两根外侧图象在x轴下方： ① ，解集为：（取中间）； ② ，解集为： 或 （取两边）。 【知识点四】拓展知识点 1. 图像法求方程近似根：画出二次函数 的图像，图像与x轴交点的横坐标即为方程的根，可通过取值逼近法求近似根。 2. 函数值与方程的延伸关系： 若求 的根，可转化为求二次函数 与直线 交点的横坐标。 3. 根与系数的关系（韦达定理）： 当 时，方程 的两根 满足：，。 【知识点五】常见易错点 1. 忽略二次项系数 ，若 ，函数变为一次函数，方程变为一元一次方程，不再适用本专题规律。 2. 时，方程是两个相等的实数根，不是一个根，对应图像与x轴有一个交点（切点）。 3. 混淆“函数与x轴交点”和“函数与坐标轴交点”，坐标轴交点包含x轴、y轴，y轴交点为 ，与方程根无关。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】抛物线与坐标轴交点坐标 【例题1】（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于A、B两点 （点A在点B左侧），与y轴交于点C． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）直接写出抛物线的对称轴． 【答案】（1）；（2）抛物线的对称轴为直线 【分析】本题主要考查了求抛物线与坐标轴的交点坐标，求抛物线的对称轴， （1）令求出解，即可得出点A，B的坐标，再令可得答案； （2）将抛物线的关系式配方得出顶点式，即可得出答案． 解：（1）解： 令，则， 解得． ∵点A在点B左侧， ∴； 令，则， ∴； （2）解：抛物线的对称轴为直线． ∵抛物线的关系式为， ∴抛物线的对称轴为直线． 【变式1】（25-26九年级上·广东广州·期中）二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为，则与轴的另一个交点的横坐标是（   ） A． B．1 C．2 D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；通过求二次函数的对称轴，利用抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称的性质求解即可． 解：由二次函数可知：对称轴为直线， ∵图象与轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点的横坐标为， 设另一个交点的横坐标为， 则， 即， ∴， 故另一个交点的横坐标为； 故选D． 【变式2】（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）二次函数的图像与y轴的交点坐标为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，理解轴上点的坐标特征是解题关键． 令横坐标，代入函数解析式求出的值，即可得到与轴的交点坐标． 解：当时， ， 故与轴的交点坐标为， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·河南信阳·期中）抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的函数解析式． （2）求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和平面直角坐标系中两点间距离的计算，代入已知点求函数系数、利用勾股定理计算线段长度是解题的关键． （1）将已知点其代入抛物线解析式，解方程求出未知系数，即可确定解析式； （2）先通过求出点坐标，再通过解一元二次方程求出点坐标，最后利用勾股定理（是直角三角形）即可计算的长度． 解：（1）解：将点代入， 得，解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）将代入，得， ∴点， ∴， 令，得，解得，， ∴点， ∴， ∴． 【题型 2】判别式与坐标轴交点个数关系 【例题2】（25-26九年级上·宁夏固原·期中）已知二次函数（为常数）． （1）若点在该函数图象上，则_________； （2）证明：该二次函数的图象与轴有两个不同的公共点． 【答案】（1）；（2）证明见分析 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）根据一元二次方程根的判别式即可求证； 本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键． 解：（1）解：∵点在函数图象上， ∴， 解得， 故答案为：； （2）证明：∵， ∴该二次函数的图象与轴有两个不同的公共点． 【变式1】（24-25九年级上·山东淄博·期中）拋物线与坐标轴交点个数为（     ） A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题，解方程等知识点，当时，计算出，则抛物线与y轴的交点坐标为，再解方程得抛物线与x轴无交点，从而可判断抛物线与坐标轴的交点个数，熟练掌握抛物线与坐标轴的交点的性质是解决此题的关键． 解：当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为， 当时，， ∵， ∴方程无解， ∴抛物线与x轴无交点， ∴抛物线与坐标轴有1个交点， 故选：B． 【变式2】（2026九年级下·吉林长春·专题练习）若抛物线与轴无交点，则的值是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】由抛物线与轴无交点，可知方程无实数根，结合一元二次方程根的判别式，即可求解． 解：∵抛物线与轴无交点， ∴方程无实数根， ∴， 解得，， 实数的值可以是（答案不唯一）． 【变式3】（25-26九年级上·安徽六安·阶段检测）已知抛物线（a是常数）． （1）求证：无论a为何值，该抛物线与x轴一定有交点； （2）若该二次函数有最小值，求a的值． 【答案】（1）证明见分析；（2）a的值为1或5 【分析】本题考查了二次函数的性质． （1）令，得，证明即可； （2）根据二次函数性质，利用顶点坐标公式计算即可． 解：（1）解：令，得， ， ∴无论a为何值，该抛物线与x轴一定有交点； （2）解：， ∴该二次函数有最小值， 解得：， ∴a的值为1或5． 【题型 3】利用函数图像求方程的根 【例题3】（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，求一元二次方程的解． 【答案】，． 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程．先求得抛物线的对称轴，根据抛物线与轴的一个交点为求得另一个交点为，据此即可求解． 解：抛物线的对称轴为， ∵抛物线与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴一元二次方程的解为，． 【变式1】（2025九年级·全国·专题练习）已知二次函数的图象如图所示，则方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数图象与轴的交点横坐标就是对应一元二次方程的解是解题的关键． 根据二次函数图象与轴的交点横坐标就是对应的一元二次方程的解，逐一分析选项． 解：二次函数的图象与轴的交点横坐标为和2， 所以方程的解是． 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标为，则关于x的一元二次方程的解是______． 【答案】， 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系．先将二次函数解析式化为顶点式，然后求出函数图象的对称轴，即可得到该函数图象与x轴的另一个交点的横坐标，从而可以得到一元二次方程的解． 解：二次函数， 该函数的对称轴为直线， 二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标为， 二次函数的图象与x轴的另一个交点的横坐标为， 关于x的一元二次方程的解是，， 故答案为：，． 【变式3】（23-24九年级上·湖北武汉·期中）二次函数的图象的一部分如图所示，图象与轴的一个交点为，根据图象解答下列问题： （1）求的值； （2）直接写出该抛物线与轴的另一交点的坐标； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）代入已知点的坐标即可得到a的值； （2）根据抛物线的对称轴和与轴的一个交点，即可得到抛物线与x轴的另一个交点； （3）利用图象在x轴上方部分对应的自变量的取值范围即可得到不等式的解集． 熟练掌握的图象和性质、图象法解不等式、抛物线与x轴的交点问题等知识，数形结合思想是解题的关键． 解：（1）解：把代入得， ， 解得， （2）由（1）可知，二次函数的解析式为， 由得到二次函数的对称轴为直线， ∵图象与轴的一个交点为， ∴该抛物线与轴的另一交点的坐标为； （3）由二次函数的图象与轴的两个交点为、，开口向下， ∴当时，二次函数的图象在x轴上方， ∴不等式的解集为． 【题型 4】二次函数与直线交点问题 【例题4】（23-24九年级上·北京海淀·期中）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为，一次函数的图象过点、． （1）求二次函数的解析式； （2）直接写出二次函数的图象与x轴的另一个交点B的坐标； （3）根据图象，直接写出时，x的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】本题考查了二次函数的性质、待定系数法、一次函数的应用，解题的关键是： （1）由待定系数法即可求解； （2）令，得到，然后解一元二次方程即可得到二次函数的图象与轴的另一个交点的坐标； （3）观察图象可得当或，抛物线都在直线的上方，即． 解：（1）解：由题意得：， 解得： 抛物线的解析式为； （2）令，得， 解这个方程，得，， 此二次函数的图象与轴的另一个交点的坐标为； （3）观察图象可知，当或，． 【变式1】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，则下列说法正确的是（  ） A． B． C． D．以上都正确 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质逐一排除即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 解：、∵、两点在抛物线上， ∴当时，，原选项错误，不符合题意； 、∵在抛物线上， ∴当时，，原选项正确，符合题意； 、当时，，原选项错误，不符合题意； 故选：． 【变式2】（25-26九年级下·四川南充·阶段检测）如图，抛物线的对称轴是直线，且与轴、轴分别交于、两点，其中点在点的右侧，直线经过、两点．给出以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是______    【答案】①②③④ 【分析】根据抛物线开口方向和对称轴即可判断①；把代入，求得c的值，即可判断②；由整理得到即可判断③；根据图象即可判断④． 解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵直线经过点A，点A在点的右侧， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； 由图象可知，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故答案为：①②③④． 【点拨】本题考查了二次函数的系数与图象的关系，根据抛物线与x轴，y轴的交点以及对称轴推理a，b，c之间的关系是解题的关键． 【变式3】（25-26九年级上·河南郑州·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与一次函数的图象交于A，C两点． （1）求b的值； （2）求的面积． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据函数与方程的关系，当时，求解一元二次方程，即可得出抛物线与x轴的两个交点，然后将点A代入一次函数解析式即可确定b的值； （2）先求两个函数的交点C的坐标，把代入中，求解一元二次方程，即可确定点C的坐标，然后结合图象，求三角形面积即可． 解：（1）解：当时， ， 解得：，， ∴抛物线与x轴交于， ∵直线经过A点， ∴， ∴； （2）解：把代入中得：， 整理得 解得：（舍），， 把代入，得， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查二次函数与一次函数的综合问题，包括二次函数与坐标轴交点，待定系数法确定一次函数解析式等，理解题意，熟练掌握二次函数及一次函数的基本性质是解题关键． 【题型 5】图像法判断方程根的近似值 【例题5】（2025九年级上·北京·专题练习）利用函数图像求一元二次方程的近似解（精确到）． 【答案】或 【分析】本题考查了图像法求一元二次方程的近似根，解答此题的关键是准确画出函数的图像，体现了数形结合的思想方法． 方程的根是函数与x轴交点的横坐标．先作出二次函数的图像，观察图像可知方程有两个根，一个在0和之间，另一个在4和5之间．再根据精确度求出方程的解即可． 解：方程的根是函数与x轴交点的横坐标． 作出二次函数的图像，如图所示： 由图像可知，方程有两个根，一个在0和之间，另一个在4和5之间． 先求0和之间的根， 当时，；当时，， 因此，是方程的一个近似根， 同理，是方程的另一个近似根． 所以方程的两个近似根是：或． 【变式1】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如下表，是二次函数的自变量与函数值的几组对应值．那么方程的一个近似解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，通过观察二次函数对应值表中值的符号变化，确定方程根的范围，再根据值接近的程度选择近似解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵当时，， 当时，， ∴的一个根在和之间， ∵ 时的值比时更接近， ∴方程的一个近似根为， 故选：． 【变式2】（25-26九年级上·浙江金华·期中）下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x y 根据此表，可以判断方程的一 个解x 可能的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查观察图表得知函数值情况，一元二次方程的根，二次函数与一元二次方程的关系．通过观察函数值的变化，当时，时，因此方程根在和之间． 解：由表可知，当时，；当时，， 由于二次函数图象是连续的，函数值由负变正，说明方程的一个解在和之间，即， 故答案为：． 【变式3】（23-24九年级上·福建莆田·期末）在平面直角坐标系中画出函数的图象；并在图象上描出以方程的两根为横坐标的点，标记为A，B． 【答案】图象如图所示： 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数的性质，先列表，然后描点，再连线，画出函数图象，由 得 ，画出直线即可． 解：解: 抛物线 的顶点坐标是（1,-4）, 对称轴是直线x = 1. 列表： x ··· 0 1 2 3 y 0 0 由 得 所以直线 与抛物线 的两个交点A，B即为所求，如图． 三.题型精析（巩固提升） 【题型 6】抛物线与坐标轴截距 【例题6】（24-25九年级上·广东广州·期中）已知抛物线，与轴的交点，（点在点的左侧）． （1）若时，求点，的坐标及线段长． （2）若，求的值及抛物线的对称轴． 【答案】（1），，；（2），对称轴 【分析】本题考查了二次函数的性质及求二次函数与坐标轴的交点坐标，及求出两交点间的距离．解决本题的关键是熟练掌握求二次函数与坐标轴的交点坐标． （1）令，则，可得，解得，，即可得出答案； （2）令，则，可得，解得，，再求解即可． 解：（1）解：， ， 令，则， ， ，， 点在点的左侧， ，， ； （2）解：令，则， ， 或， ，， 点在点的左侧，， ，， ， ， ， 抛物线的对称轴为． 【变式1】（2026·内蒙古·中考真题）二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】B 【分析】本题先利用轴上点的纵坐标为的性质，求出二次函数与轴的两个交点坐标，再计算两点间的距离即可得到结果． 解：二次函数图象与轴交点的纵坐标为 令，得方程 解得， ，两点的坐标为和 线段的长为 【变式2】（23-24九年级上·湖北恩施·期中）抛物线与x轴交于A、B两点，则线段的长为______； 【答案】5 【分析】求出抛物线与x轴的两个交点坐标即可得到答案． 解：在中，当时，则， 解得或， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为， ∴， 故答案为：5． 【点拨】本题主要考查了求抛物线与x轴的交点坐标，解题的关键在于熟知抛物线与x轴的交点坐标的纵坐标为0． 【变式3】（25-26九年级上·江苏淮安·期中）小明在画一个二次函数的图像时，列出了下面几组x与y的对应值． 0 1 2 3 4 3 0 （1）求该二次函数的表达式； （2）当时，x的值为 ； （3）该二次函数图像与直线有两个交点A、B，若时，n的取值范围为 ． 【答案】（1）；（2）或1；（3） 【分析】（1）根据待定系数法即可求得； （2）令，解一元二次方程即可； （3）把函数的问题转化为方程的问题，利用根与系数的关系即可得到关于的不等式，解不等式即可求得． 解：（1）解：由表格数据结合二次函数图象对称性可得图象顶点为， 设二次函数的表达式为， 将代入得， 解得， 该二次函数的表达式为； （2）令，则， 解得：，； （3）令， 整理得， 设点、的横坐标为，， ，是方程的两个实数根， ，， ， ， ， ，即， ， 的取值范围是． 【点拨】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，把函数问题转化为方程问题是解题的关键． 【题型 7】一元二次不等式的解集 【例题7】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，二次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点和点． （1）求二次函数的解析式和另一交点的坐标； （2）根据函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）将点，点代入求出二次函数解析式，将点代入求出一次函数解析式，将两个解析式联立即可求出点的坐标； （2）由（1）可得，在图象上为二次函数图象在正比例函数图象下方的部分，据此即可求解． 解：（1）解：将点，点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 将点代入得：， ∴正比例函数的解析式为， 令， 解得：或， 当时，；当时，； ∵为点的坐标， ∴的坐标为． （2）解：由（1）可得：， ∴，即， ∵，在图象上为二次函数图象在正比例函数图象下方的部分， ∴． 【变式1】（25-26九年级下·广东深圳·阶段检测）函数与的图象如图所示，当（   ）时，． A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】由函数图象可知，当或时，函数的图象在的图象的上方，据此即可得到答案． 解：由函数图象可知，当或时，函数的图象在的图象的上方， ∴当或时，． 【变式2】（25-26八年级下·重庆·期末）如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】将不等式变形为，即求二次函数图象在一次函数图象上方（包括交点）时自变量的取值范围． 解：关于的不等式可变形为， 该不等式的解集即为二次函数的图象在一次函数的图象上方（包括交点）时自变量的取值范围， 由图象可知，二次函数与一次函数交点的横坐标分别为，， 当时，二次函数的图象在一次函数的图象上方， 关于的不等式的解集为． 【变式3】（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，已知抛物线经过 两点，顶点为． （1）分别求抛物线和直线的解析式； （2）请根据图象直接写出：时的取值范围； 【答案】（1）；；（2）或 【分析】（1）用待定系数法即可求解两函数的解析式； （2）观察图象即可求解． 解：（1）解：把 代入，得， 解得， ∴该抛物线解析式是：， 把 代入，得， 解得， ∴该直线的解析式是； （2）解：由图象得到：当或时，二次函数的值大于一次函数的值． 【题型 8】由二次函数图象判断式子符号 【例题8】（2026·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，已知函数（m，n为常数）图象的顶点坐标为． （1）当，时，求该函数图象的顶点坐标． （2）若，为该函数图象上的点，当时，比较，的大小． （3）若该函数的图象经过点，当时，求k的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）把，代入函数解析式整理并化成顶点式即可求解． （2）根据对称轴为直线得出，把和分别代入二次函数求出对应的和，然后相减即可得出答案． （3）根据二次函数顶点坐标得出把点代入，得出，根据顶点坐标得出，，根据h的取值范围即可求出k的取值范围． 解：（1）解：当，时， 函数可化为． 整理得：． ∴该函数图象的顶点坐标为． （2）解：已知函数， 其对称轴为， ∵，即对称轴为， ∴， ∴， 将代入函数中，可得， 将代入函数中，可得， ∴， ∴． （3）解：把点代入， 得， ∴， 已知函数（m，n为常数）图象的顶点坐标为， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴． 【变式1】（2026·四川达州·模拟预测）如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点，下列结论：①，②，③，④当时，，正确的有（     ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象和性质，逐项判断，即可． 解：①∵二次函数的图象开口向下，二次函数的图象交y轴的正半轴于一点， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴．故①正确； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故②正确； ③∵对称轴为，且经过点， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴，故③正确； ④观察图象得：当时，，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②③④，共4个． 【变式2】（2025·山东泰安·模拟预测）如图，在二次函数的图像中，顶点的纵坐标为1．下列结论：①②③④⑤关于x的一元二次方程无实数根．其中，正确结论的序号是_________． 【答案】①④⑤ 【分析】由抛物线与x轴有两个交点可判断①；由抛物线开口朝下、对称轴在y轴左边、抛物线与y轴交点在正半轴上可判断②；由抛物线在处的函数值小于0，可得，再由对称轴可得可判断③；由抛物线顶点的纵坐标为1可得抛物线与直线只有一个交点可判断④；由抛物线与直线没有交点可判断⑤． 解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴令，即有两个不相等的实数根， ∴，即，故①正确． 由图象可知：抛物线开口朝下，对称轴在y轴左边，抛物线与y轴交点在正半轴上， ∴，，， ∴， ∴，故②错误． 由图象可知：抛物线在处的函数值小于0， ∴令，即， ∵由图象可知：对称轴， ∴， ∴， ∴，故③错误． ∵抛物线顶点的纵坐标为1， ∴抛物线与直线只有一个交点， ∴令，即有两个相等的实数根， ∴，即，故④正确． ∵抛物线顶点的纵坐标为1，且抛物线开口朝下， ∴抛物线与直线没有交点， ∴令，即无实数根，故⑤正确． 综上所述，正确结论的序号是①④⑤． 【变式3】（2025·浙江嘉兴·一模）已知二次函数． （1）求函数图象的对称轴； （2）若，当时，函数的最大值为8，求实数的值； （3）若，当时，，当时，总有，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）2；（3） 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，掌握二次函数的图像和性质即可得出答案． （1）根据对称轴公式求解即可． （2）由得出抛物线开口向上，根据抛物线对称直线为，结合二次函数的图像和性质可得出时，函数取最大值即可得出关于m的一元二次方程求解并舍去的值即可． （3）把代入抛物线得出，再得出仅当时，即时，此时最小值为，最大值为时，即， 进而结合二次函数图像即可求出实数的取值范围． 解：（1）解：对称轴直线为： （2）解：∵， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线对称直线为， ∴当时，当时，函数取最小值，时，函数取最大值， 即， 解得：，负值舍去 （3）解：当时，则，顶点坐标为： 当时， ， 则在时，最小值为， 即， 解得：，或（舍去）， ∴仅当时，即时，此时最小值为， 最大值为时，即， ∵当时，总有， ∴当时，即时，， 令， 解得：，， ∴． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·全国·单元测试）若关于x的二次函数的图象与x轴的交点坐标是和，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键．根据二次函数图象与x轴的交点横坐标即为对应一元二次方程的解，直接得出答案． 解：∵ 二次函数的图象与轴的交点坐标是和， ∴ 一元二次方程的解为，． 故选：D． 2．（2025九年级上·广西南宁·专题练习）已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根 【答案】C 【分析】根据的图象与有两个交点，且交点的横坐标都在y轴右侧可得出答案． 解：由函数图象可得：的图象与有两个交点，且交点的横坐标都在y轴右侧， ∴关于x的方程即有两个同号不等实数根， 3．（24-25九年级上·广东东莞·期中）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比较二次函数值的大小．正确计算是解题的关键． 将点坐标代入，求解对应的函数值，然后比大小即可． 解：由题意知，，，， ∵， ∴， 故选：D． 4．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）根据下列表格的对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（   ） 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，令（，a，b，c为常数），根据表格信息，进而可求解． 解：令（，a，b，c为常数）， 当时，， 当时，， 时，二次函数的函数值范围为， 即方程的一个解x的范围是， 故选：D． 5．（2026九年级下·内蒙古呼和浩特·专题练习）对于二次函数，下列说法正确的是（      ） A．图象开口向下 B．对称轴是直线 C．与轴的交点是和 D．当时，随的增大而增大 【答案】B 【分析】先将给定二次函数整理为顶点式，再根据二次函数的性质，依次判断各选项的说法，即可得到正确结果． 解：∵ ，二次项系数， ∴ 抛物线开口向上，选项A错误； ∵ 整理得到的顶点式为， ∴ 图象的对称轴是直线，选项B正确； 令，得，解得， ∴ 抛物线与轴的交点坐标是和，选项C错误； ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，选项D错误． 6．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数的、的部分对应值如下表： 0 1 2 3 5 1 1 下列结论中正确的个数有（    ） ①；②抛物线的对称轴是直线；③方程有一个根，且；④不等式的解集是；⑤是方程的根． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据表格确定二次函数图象的开口方向以及对称轴，结合表格数据即可对各个选项进行判断． 解：由表格可知：当越来越大，先减小后增大，即二次函数图象开口向上， 则，故①错误； 由表格可知：当，，当，，即抛物线的对称轴为，故②正确； 当，，当，，即在和0之间，函数值都大于0， 则方程的根不在之间，故③错误； 不等式，即，根据表格数据可知当时不等式，故④正确； 当时，，即，故⑤正确； 正确的选项有3个． 故选：B． 【点拨】本题主要考查了二次函数的性质的知识，解答本题的关键是根据表格发现二次函数图象的对称轴以及开口方向，此题难度不大． 7．（2022·山东临沂·模拟预测）在平面直角坐标系中，函数的图象为，关于y轴对称的图象为，则直线（a为常数）与，的交点共有（     ） A．2个 B．1个或2个 C．0个或2个或3个或4个 D．无数个 【答案】C 【分析】设点是上的一点，则点是上的一点，据此可推出对应的函数解析式为，画出，的图象，结合函数图象可得答案． 解：设点是上的一点，则点是上的一点， ∴， ∴对应的函数解析式为； ∵， ∴当时，函数取得最小值， 当时，函数取得最小值； 如图所示， 由函数图象可知，当时，直线（a为常数）与，的交点为0个， 当时，直线（a为常数）与，的交点为2个， 当时，直线（a为常数）与，的交点为4个， 当时，直线（a为常数）与，的交点为3个， 当时，直线（a为常数）与，的交点为2个， 综上所述，直线（a为常数）与，的交点共有0个或2个或3个或4个． 8．（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图所示，二次函数的图象与一次函数．的图象交于，两点，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，根据上方的图象对应的函数值较大，找出x的取值范围，即可求解． 解：由图象得当时，， 故选：D． 9．（25-26九年级下·山东济南·开学考试）经过点、点的抛物线与轴有两个不同的交点，与轴的交点在轴上方，则当时，的取值范围是（　　 ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质及坐标特点，先求对称轴直线，直线，列方程求出，代入原抛物线关系式，根据抛物线与轴有两个公共点及抛物线与轴的交点在轴的上方列不等式，，求出，最后根据抛物线的递增情况求的取值范围． 解：∵、， ∴抛物线对称轴是直线， ∵抛物线对称轴是直线， ， ∴抛物线， ∵抛物线与轴有两个公共点， ， ， ， 则或， 解得，或， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ， ， ， 则， 把代入， 得， ，且对称轴是直线， 当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小， ，且， ， 则当时，， 当时，， ． 10．（25-26九年级下·山东日照·开学考试）如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，在以下结论中： ①； ②当时，y随x的增大而减小； ③； ④； ⑤若m，n（）为方程的两个根，则，． 其中正确的结论有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】由开口方向，对称轴和与y轴的交点得到，，，可判断①；由图象可判断②；由图象与x轴的交点可判断③；求出抛物线与x轴的另一个交点坐标为，然后得到当时，，可判断④；将方程转化为，设，得到当或时，，即可判断⑤． 解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴上方， ∴， ∴，故①正确； 由图象可得当时，y随x增大而减小，故②正确； 由图象可得，抛物线与x轴有两个交点， ∴，故③正确； ∵抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴当时，，即，故④正确； ∵， ∴， 设， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵m，n（）为方程的两个根， ∴当或时，， ∵当或时，， ∴，，故⑤正确． 综上所述，正确的结论有5个． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级上·上海徐汇·阶段检测）函数图象与轴的交点坐标是______ 【答案】 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点，令 代入函数解析式计算 y 值即可． 解：令，代入 ，得 ， ∴函数与轴的交点坐标为：， 故答案为： ． 12．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知函数的顶点在x轴上，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了把化成顶点式，抛物线与x轴的交点问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据函数的顶点在x轴上，得出方程只有一个实数根，从而可得到关于b的方程求解． 解：∵二次函数的顶点在x轴上， ∴方程只有一个实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 13．（25-26九年级上·广东广州·期末）已知抛物线的顶点坐标是，图象与x轴交于点和点C，且点B在点C的左侧，那么线段的长是______．（请用含字母m的代数式表示） 【答案】 【分析】根据二次函数的对称性求解即可． 解：因为二次函数的图象的顶点的横坐标是1， 所以抛物线对称轴所在直线为，交x轴于点C， 所以B，C两点关于对称轴对称， 因为点，且点B在点C的左侧， 所以， 故答案为： 【点拨】本题考查了二次函数的两点间距离的求法，解题的关键是掌握二次函数的对称性． 14．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为________． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的性质、图象法求不等式的解集．根据二次函数图象的对称性，求出抛物线与x轴的另一个交点，找到图象在x轴上方时的自变量的取值范围即可． 解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴对称轴为直线， 又∵该函数的图像与轴交于点， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为：， 由图象可知：当时，， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 15．（25-26八年级下·北京海淀·期末）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是___________ ． 【答案】 解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，, ∴由图象可得，不等式的解集是． 16．（2026·四川南充·中考真题）抛物线与x轴交于A，B两点，且，则m的值为_______． 【答案】或 【分析】设，，可得是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系表示与，结合的条件，建立关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 解：设，， 令，得 ， 由根与系数的关系得，， ， ∵， ∴， 两边平方得， 整理得， 因式分解得， 解得或． 17．（2026·广东肇庆·三模）已知抛物线的对称轴是直线，与x轴交于，B两点，与y轴的交点C在x轴下方，若，则该抛物线的表达式可以是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次函数的对称性可知交点B的坐标为，则有，然后可得，进而可得，最后问题可求解． 解：的图象经过，对称轴为直线， 交点B的坐标为， 可设表达式为， ， ∴， 二次函数与y轴交点在x轴下方， ， ， 当时，，即时， ， 该二次函数的表达式可以是（答案不唯一）． 18．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的面积为______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得或，从而即可得解． 解：连接， 把点，点代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线， 令，得， 解得或， ∴， ∴, 的面积为：． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·陕西榆林·期末）已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），求A，B两点的坐标． 【答案】点A的坐标为，点B的坐标为． 【分析】本题考查求二次函数图象与x轴的交点，令，解一元二次方程即可． 解：令，则，解得，， ∵点A在点B的左侧， ∴点A的坐标为，点B的坐标为． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数． （1）试说明该二次函数的图像与x轴必有两个交点； （2）若，该抛物线沿x轴平移多少个单位长度后，得到的抛物线经过原点． 【答案】（1）见分析；（2）向左平移1或2个单位长度 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图像上的点的坐标特征，二次函数图像与平移变换， （1）证明，可得结论； （2）求出抛物线与x轴的交点坐标，可得结论． 解：（1）证明：∵， ， ∴该二次函数的图像与x轴必有两个交点． （2）解：时，， 令，可得或2， ∴抛物线与x轴的交点坐标为，， ∴该抛物线沿x轴向左平移1或2个单位长度后，得到的抛物线经过原点； 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）已知二次函数． （1）求证：该二次函数图象与轴有两个交点； （2）当时，结合函数图象说明当时的取值范围． 【答案】（1）见分析；（2）或 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象与性质，以及不等式的求解，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质并会转化二次函数与一元二次方程的关系． （1）根据二次函数与一元二次方程的关系，利用判别式判断即可； （2）先表示出二次函数解析式，再画出二次函数的图象，根据图象解不等式即可． 解：（1）证明：对于二次函数， 其中，，， ∴ ∵， ∴一元二次方程有两个不同的实数根， 即二次函数的图象与轴有两个交点； （2）解：当时，二次函数为， 即， 令，则， 解得，， ∴函数与轴的交点为和， 二次函数中， ∴抛物线开口向上， 结合函数图象为： 当时，的取值范围是或． 22．（本小题满分10分）（23-24九年级上·青海海东·阶段检测）如图，二次函数的图象与轴交于点，，根据图象回答下列问题： （1）写出方程的两个根，并直接写出该二次函数的对称轴； （2）根据图象，写出的解集． 【答案】（1），，对称轴为；（2）或 【分析】（1）根据二次函数的图象与x轴的两个交点坐标即可求出方程的两个根，再根据二次函数的对称性求出对称轴即可． （2）根据二次函数的图象利用图象法求解不等式即可． 解：（1）∵二次函数的图象与轴交于点，， ∴方程的两个根为，， ∴对称轴为； （2）如图所示，当或时，， ∴不等式的解集为或． 【点拨】此题考查了利用图象法求解的问题，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质、用图象法解一元二次方程和不等式． 23．（本小题满分10分）（2026·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，对称轴为． （1）求b的值，并用含a的式子表示c； （2）已知M是抛物线上的点，M的横坐标为t，抛物线的顶点为M，且可以由抛物线平移得到（特别地，当M是的顶点时，即为）．若无论t为何值，抛物线都不经过点O，求a的取值范围． 【答案】（1），；（2）且 【分析】（1）利用抛物线过直接得，再套用对称轴公式，化简求出； （2）先写出顶点为的平移后抛物线，代入原点得到关于的一元二次方程，方程无实数根则判别式，解不等式得到范围． 解：（1）解：抛物线经过点， ． 抛物线的对称轴为， ． ； （2）解：设点， 是抛物线上的点， ． 由题意，抛物线， 设抛物线与y轴交于点，则． 无论t为何值，抛物线都不经过点O， 无论t为何值，都有， 关于t的方程没有实数根． ，即． ， 化简得：， 解得：， 且． 24．（本小题满分12分）（2026·陕西延安·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C；抛物线经过B，C两点． （1）求点A，B的坐标； （2）求抛物线的函数表达式； （3）在抛物线上是否存在一点M，使以点C，A，B，M为顶点的四边形是以为边的平行四边形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）点M的坐标为 【分析】（1）解方程，即可求解； （2）求得，再利用待定系数法求解即可； （3）分两种情况求解，即可． 解：（1）解：令，则， 解得，， ∴，； （2）解：令，则， ∴， ∵抛物线经过B，C两点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （3）解：∵，，， ∴， 当四边形以为边，为对角线的平行四边形， ∴， 当时，， ∴点在抛物线上； 当四边形以为边，为对角线的平行四边形， ∴， 当时，， ∴点不在抛物线上，不符合题意； 综上，点M的坐标为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $