精品解析：河南省新乡市部分校2025-2026学年高一下学期6月联考数学试题（北师大版）

高一数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，则的虚部为. 2. 已知为锐角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知为锐角，，则， 故． 3. 已知是同一平面内不同的三点，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知，则， 由于，因此. 4. 在正四面体 中，E，F，G分别为 ， ， 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出异面直线所成角，解三角形求得正确答案. 【详解】由于 分别是 中点，所以 ， 可得是异面直线 与 所成角（或其补角）， 设正四面体的边长为，则， ， 所以. 5. 已知函数，若为偶函数，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得： ， 因为为偶函数， 所以， 解得：， 当时，可得. 6. 在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若 ， ，则 边上的中线长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据余弦定理用表示 边上的中线，再根据单调性求解. 【详解】设 边上的中点为，连接，设，，则 由余弦定理，，， 而，所以， 化简得：，即， 解得：，即， 又因为，所以，将 ， 代入得： ，关于单调递减， 在 中，，所以， ，所以的取值范围是. 7. 已知球与正四棱锥的四条侧棱和底面均相切，若，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定球的球心在上，再根据三角形相似确定球的半径，即可确定所求球的表面积. 【详解】 如图所示，为底面的中心，由图形的对称性可知球的球心在线段上， 因，则，， 在中，如图作于点， 设球的半径为，则，， 易得与相似，则，即，解得， 因此，球的表面积为. 8. 已知O是所在平面内一点，且，，的面积S满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用向量运算化简两个向量等式得，即点O是的外心，所以，再由结合三角形面积公式和向量数量积公式即可求解. 【详解】因为，所以， 即，所以， 即，所以，故， 因为，所以， 即，所以， 即，所以，故， 所以，即点O是的外心，所以， 因为，所以， 所以，因为，所以， 故. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用向量模的计算公式，可判定A正确；利用共线向量的坐标表示，列出方程，可判定B正确；利用向量垂直的坐标表示，列出方程，可判定C正确；利用模的公式，列出方程，可判定D错误. 【详解】对于A，因为向量，所以，故A正确； 对于B，因为，若，则，解得，故B正确； 对于C，因为，所以，解得，故C正确； 对于D，若，则，解得，故D错误. 10. 已知a，b为异面直线， ， 为两个不同的平面，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 对于任意一点O，都存在过点O的平面与a，b都平行 B. 对于任意一点O，都存在过点O的直线与a，b都垂直 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据空间线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，若，，则或，与矛盾，所以A选项错误. B选项，如图所示，过上一点，作，则确定一个平面，设这个平面为， 对任意一点，都可以作平面的一条垂线，设垂线为，则, 所以，所以B选项正确. C选项，假设平面，由，得；由，得， 推得，与为异面直线矛盾，故无交线，即，C正确. D选项，构造反例：取平面，在内作直线，内作直线，令，此时两平面平行不垂直，故D错误. 11. 在长方体中，底面为正方形， ，，，分别为棱，的中点，设过点的平面为， ，则（ ） A. B. 截长方体所得截面为五边形 C. 截长方体所得截面的周长不超过12 D. 与平面所成的锐二面角的正切值为5 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：通过延长线构建辅助点，利用相似三角形的对应边成比例关系计算即可；选项B：利用辅助线确定所有顶点的位置，顺次连接得到截面多边形；选项C：利用勾股定理计算的长度和即可；选项D：结合图形确定二面角的平面角. 利用等面积法求出点到交线的距离，结合已知高度在直角三角形中利用正切公式求解. 【详解】对于A ：如图，连接并延长交的延长线于点，则，， 连接交于点，则，所以. 又，所以，，故A正确. 对于 B ：延长交的延长线于点，则， 所以.连接交于点，则， 则，则. 所以以截长方体 所得截面为五边形，故B正确. 对于C ：五边形的周长为. 其中：，， ，，， 所以五边形的周长为，故C错误. 对于 D ：过点作于点，由等面积法可得. 连接，由平面，平面，可得, 且，平面，故平面， 平面，所以， 所以即为二面角的平面角，即与平面所成的锐二面角， 且. 即与平面所成的锐二面角的正切值为 5，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的最小正周期为________． 【答案】3 【解析】 【详解】的最小正周期满足． 13. 已知复数z满足，则的最小值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】几何法思路： 根据复数模的几何意义，对应复平面以为圆心、为半径的圆，表示圆上点到原点的距离，原点到圆心距离为，用圆心距减去半径即可得到最小值． 代数法思路： 设，将转化为圆的方程，把用含的代数式表示，结合的取值范围求出的最小值． 【详解】方法一：几何法 复数在复平面内对应的点为， 表示点在以为圆心、半径的圆上， 表示点到原点的距离． 圆心到原点的距离为， 因为圆上点到原点的最小距离圆心到原点距离半径， 即． 方法二：代数法 设， 由得，即， 所以， 由圆的范围，得， 当时，． 14. 已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用辅助角公式化简，再结合正弦函数的单调性可得出关于的不等式求解. 【详解】， 若，则且，得， 因为在区间上单调递增，所以，得， 故的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，是圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，C是圆周上一点，且，． （1）求证：； （2）求点A到平面的距离． 【答案】（1）因为点C在底面圆周上，是圆O的直径， 所以，即， 因为垂直于圆O所在的平面，平面，所以， 又，平面，平面，所以平面， 又平面，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得出，，利用线面垂直的判定定理得平面，再利用线面垂直的性质定理即可证明； （2）方法一：过点A作，交于点H，通过证明平面得的长度即是点A到平面的距离，进而可求解；方法二：利用等积法，根据求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：如图，过点A作，交于点H， 由（1）知平面，又平面，所以， 又，平面，平面，所以平面， 则的长度即是点A到平面的距离． 在中，， 由，即， 解得，即点A到平面的距离为． 方法二：由题可得． 设点A到平面的距离为h， 由题意知，即， 即，解得， 即点A到平面的距离为． 16. 已知函数的部分图象如图所示，其中点，． （1）求的解析式； （2）求曲线的对称轴方程和对称中心的坐标； （3）将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，直接写出的解析式． 【答案】（1） （2）对称轴方程为，，对称中心的坐标为， （3） 【解析】 【分析】（1）观察图象得到、，根据正弦型函数的周期公式求得，再根据图象上的点代入解析式求得，即可得到函数的解析式； （2）根据正弦函数的对称性求解即可； （3）根据函数的平移变换求解即可. 【小问1详解】 由题图可知，，，即， 则，此时， 而，即，， 则，，又，所以， 故． 【小问2详解】 令，，解得，， 即曲线的对称轴方程为，． 令，，解得，， 即曲线的对称中心的坐标为，． 【小问3详解】 由（1）知，， 将的图象向右平移个单位长度，得到， 再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到. 17. 已知函数，． （1）求的值； （2）若，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据诱导公式化简，可得，再利用齐次式求解即可； （2）先根据同角三角函数的基本关系求得，，，进而根据两角差的正弦公式求解即可. 【小问1详解】 由， 所以， 则． 【小问2详解】 由（1）可知，，即， 而，则，即， 又，则，即， 而，则， 又，所以， 所以 ， 则． 18. 在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ． （1）求C． （2）． （ⅰ）若 的周长为，角C的平分线交 于点D，求 的长； （ⅱ）若 为锐角三角形，，求 的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据两角和的正弦展开公式和正弦定理化简原式并求解即可； （2）（ⅰ）根据周长和余弦定理建立关于 的方程并求解，再结合面积公式求解 ； （ⅱ）通过向量运算建立和 的方程，进而根据正弦定进行边角转化，再利用三角函数求解范围. 【小问1详解】 ，即 ， 由正弦定理可得 ， 又 ， 所以 ， 因为，所以 ， 所以 ，即， 又，所以． 【小问2详解】 （ⅰ）因为， 的周长为，所以， 由余弦定理可得，即 ， 即 ，得， 所以 的面积为， 则， 所以． （ⅱ）因为，所以E是 的中点，所以， 则， 又 ，所以 ， 由正弦定理可得 ， 所以 ，， 所以 ． 因为 为锐角三角形，所以，解得， 所以，所以， 所以，所以，则 的取值范围是． 19. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，为等边三角形，，，． （1）求直线与平面所成角的正弦值． （2）若M为棱上一点，且平面， （ⅰ）试确定点M的位置； （ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的正弦值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）M为棱上靠近点P的三等分点；（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）根据线线垂直得到线面垂直，进一步得到面面垂直；根据面面垂直的性质和等边三角形的性质，确定平面，从而得到直线与平面所成的角；最后根据各边关系求得正弦值； （2）（ⅰ）根据，作平行四边形，求得，即可求得点所在的位置； （ⅱ）作平行线，通过线线平行得到面面平行，再根据面面平行的性质和等边三角形的性质，确定平面与平面所成锐二面角的平面角，最后根据各边的位置和数量关系求得正弦值. 【小问1详解】 ，，，平面，平面. 平面，平面平面. 取的中点，连接，，如图1所示： 为等边三角形，. 平面平面，平面，平面. 则为直线与平面上的射影，为直线与平面所成的角. ，，； ，，； . ，即直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 （ⅰ）M为棱上靠近点P的三等分点，理由如下： 如图2，过点M作交于点N，连接. ，； ，，，四点共面，则平面平面； 平面，. 四边形为平行四边形，则. ，，，，即. 为棱上靠近点P的三等分点满足题意. （ⅱ）过点M作交于点O，连接.由（ⅰ）得； 为等边三角形，则，. ，，，四边形是平行四边形，则. 平面，平面，平面. ，平面，平面，平面. ，平面平面. 过点A作于点H，过点H作交于点G，连接， 由（1）知平面，，平面. 平面，. ，，平面，平面. 平面，； ，，平面，平面， 平面，则； 为平面与平面所成锐二面角的平面角， 即为平面与平面所成锐二面角的平面角. 由平面，平面，得； ，，，，为等边三角形，, ，，，. 在中，，则. 在中，，得. 在中，. 在中，. 即平面与平面所成锐二面角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知为锐角，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是同一平面内不同的三点，且，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 在正四面体 中，E，F，G分别为 ， ， 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，若为偶函数，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 6. 在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若 ， ，则 边上的中线长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知球与正四棱锥的四条侧棱和底面均相切，若，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知O是所在平面内一点，且，，的面积S满足，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知a，b为异面直线， ， 为两个不同的平面，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 对于任意一点O，都存在过点O的平面与a，b都平行 B. 对于任意一点O，都存在过点O的直线与a，b都垂直 C. 若，，则 D. 若，则 11. 在长方体中，底面为正方形， ，，，分别为棱，的中点，设过点的平面为， ，则（ ） A. B. 截长方体所得截面为五边形 C. 截长方体所得截面的周长不超过12 D. 与平面所成的锐二面角的正切值为5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的最小正周期为________． 13. 已知复数z满足，则的最小值为_____． 14. 已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，是圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，C是圆周上一点，且，． （1）求证：； （2）求点A到平面的距离． 16. 已知函数的部分图象如图所示，其中点，． （1）求的解析式； （2）求曲线的对称轴方程和对称中心的坐标； （3）将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，直接写出的解析式． 17. 已知函数，． （1）求的值； （2）若，，且，求的值． 18. 在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ． （1）求C． （2）． （ⅰ）若 的周长为，角C的平分线交 于点D，求 的长； （ⅱ）若 为锐角三角形，，求 的取值范围． 19. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，为等边三角形，，，． （1）求直线与平面所成角的正弦值． （2）若M为棱上一点，且平面， （ⅰ）试确定点M的位置； （ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $