精品解析：北京市第四中学2025-2026学年七年级下学期期末数学试题

初一数学 （试卷满分为110分，考试时间为100分钟） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确） 1. 下列各数中，无理数是（ ） A. B. 3.14 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查无理数的判断，无理数是无限不循环小数，不能表示为分数．选项A、B、C均为有理数，D为无理数． 【详解】解：A、，为整数，是有理数； B、3.14是有限小数，属于有理数； C、是分数，属于有理数； D、是无限不循环小数，是无理数； 故选：D． 2. 下列长度的三根小木棒能构成三角形的是(　 　) A. 2cm，3cm，5cm B. 7cm，4cm，2cm C. 3cm，4cm，8cm D. 3cm，3cm，4cm 【答案】D 【解析】 【详解】A．因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A错误，不符合题意； B．因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B错误，不符合题意； C．因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C错误，不符合题意； D．因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D正确，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解决此题的关键是熟练运用三边关系解决相关题型． 3. 若，则下列不等式成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式的基本性质是解不等式的主要依据，必须熟练地掌握．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．根据不等式的性质对每一个选项进行判断，其中可以利用假设法进行判断，赋予如为特定值，来判断不等式是否成立，即可求解． 【详解】解：A．∵，不等式两边同时乘以，不等号方向改变，∴，故A不符合题意； B．∵，不等式两边同时加，不等号方向不变，∴，故B不符合题意； C． ∵，不等式两边同时加，不等号方向不变，∴，故C不符合题意； D．∵，不等式两边同时乘以，不等号方向不变，∴，故D符合题意； 故选D． 4. 如图，直线，直线，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平行线的性质得到角的关系，再结合垂直的定义求出的度数．本题主要考查了平行线的性质以及垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ 直线 ∴ ∵ ∴ 又∵ ， ∴ ∴ 故选：C． 5. 下列运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项中与不是同类项，无法合并，故本选项不符合题意； B选项：，故本选项符合题意； C选项：，故本选项不符合题意； D选项：，故本选项不符合题意； 6. 如图，以正东方向为x轴正方向、正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，已知北京四中的坐标为，那么北京四中道元校区的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系：  北京四中道元校区的坐标为 ． 7. 已知是关于x、y的方程的解，则代数式的值是（ ） A. 19 B. 29 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用整体代入思想，先求出的值，再代入变形后的代数式计算． 【详解】解：∵是关于x、y的方程的解， ∴， 整理得， ∴． 8. 下列调查中适合采取全面调查的是（ ） A. 检测“神舟二十三号”载人飞船的零件的质量是否合格 B. 检测一批灯的使用寿命 C. 检测一批家用轿车的抗撞击能力 D. 了解某市居民的月平均收入 【答案】A 【解析】 【分析】从调查的破坏性、范围、结果精度要求三方面判断是否适合全面调查． 【详解】解：检测“神舟二十三号”载人飞船零件的质量对结果精度要求极高，适合全面调查; 检测灯使用寿命具有破坏性,适合抽样调查； 家用轿车抗撞击能力的调查具有破坏性,，适合抽样调查; 了解某市居民月平均收入的调查范围广，适合抽样调查． 9. 下列命题是真命题的有（ ）个 ①同位角相等； ②垂线段最短； ③经过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④0的平方根与算术平方根都是0； ⑤1是1的一个平方根； ⑥如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】解：①两直线平行时同位角才相等，故①是假命题； ②垂线段最短，故②是真命题； ③在同一平面内，经过直线上一点才有且只有一条直线与已知直线垂直，命题缺少该前提，故③是假命题； ④的平方根与算术平方根都是，故④是真命题； ⑤的平方根是，是的一个平方根，故⑤是真命题； ⑥如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故⑥是假命题； 综上，真命题共个． 10. 如图，在中，，分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于点，交于点，则下列结论：；；；．其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质，根据，和，证明结论正确；根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确； 证明，根据的结论，证明结论正确； 根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，正确； ∵平分， ∴，， ∴，即， ∴，即， ∴，正确； 由， ， ∵， ∴， 由得，， ∴， ∴，正确； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，正确， 综上：正确， 故选：． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 11. 若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，分别求出a和b的值，代入即可求解． 【详解】解：， ，， ，， ． 12. 若，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式分解，代入已知条件求出，再计算最终结果． 【详解】解：； ∵， ， 解得， 则． 13. 北京四中的校园建筑以正六边形为标志性设计元素，如图1为道元校区的元素广场，图2为有公共边的两个正六边形，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正多边形内角和公式求出正六边形每个内角的度数，结合周角定义即可求解． 【详解】解：正六边形的内角和为 ，每个内角的度数为 ． 由图可知， 和  均为正六边形的内角， ，． ，  ． 14. 某兴趣小组研究了5个班级的平均身高和平均体重，并画成了如图所示的散点图，观察可以发现，去掉点__________后，剩下的4个点大致分布在一条直线附近． 【答案】 【解析】 【分析】观察图象即可得出结果． 【详解】解：观察发现：点、、、分布在一条直线附近， ∴要去掉点． 15. 已知，则__________． 【答案】 1234320 【解析】 【分析】利用换元后将所求代数式变形，再通过平方差公式转化为已知条件计算． 【详解】解：令， 由题意得，， ∴所求式子变形为． 16. 已知，将含有的直角三角板按如图方式摆放，其中，，与的角平分线交于点G，则__________． 【答案】75 【解析】 【分析】分别过点、作的平行线、，设，首先利用三角形内角和定理求出的度数，进而用含的代数式表示出，接着根据平分将用表示出来，利用“平行于同一条直线的两条直线平行”构建起平行关系网，随后利用平行线的性质及的条件，逐步推导出与关于的表达式，最后结合角平分线的性质求出目标角． 【详解】解：如图，分别过点，点作的平行线，， ， 设 ， 平分 ， ， 平分 ． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，三角形内角和定理与角平分线的定义，解决此类问题的通法是“过拐点作平行线”，这一辅助线能将分散在不同位置的角联系起来，“设而不求”（设）则是处理此类角度计算题的高效技巧． 17. 关于x的不等式组，有下列四个命题： ①当时，该不等式组的解集为； ②当时，该不等式组有4个整数解； ③若该不等式组有解，则； ④若该不等式组恰有2026个整数解，则满足条件的整数a的最大值与最小值之差为1．其中真命题的序号是__________． 【答案】 ①④ 【解析】 【分析】先解不等式组得到解集为 ，再逐个验证四个命题即可. 【详解】解：解不等式，得 ， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为 ， ① 当时，代入得 ，解集为，故命题①正确； ② 当时，，， 则不等式解集为， ∴整数解为，共个，不是个，故命题②错误； ③ 不等式组有解，则，解得，不是，故命题③错误； ④ ∵不等式组恰有个整数解，为整数， ∴是整数， 当时，，解集为，整数解从到，共个，符合要求； 当时，，解集为，整数解从到，共个，符合要求； 当时，，则整数解个数不足， 当时，，则整数解个数超过， ∴满足条件的整数最小值为，最大值为，差为，命题④正确， 综上，真命题的序号是①④. 18. 已知博物馆有四个展厅，分别为A、B、C、D，四个展厅的参观时长分别为：15分钟、15分钟、10分钟、5分钟，学校组织学生分队伍参观，要求同一展厅同一时间仅1支队伍参观，若展厅被占用则需排队等候，每支队伍需按顺序参观完所有展厅． （1）若要使每支队伍在参观过程中均无需等待，则最多可将学生分成__________支队伍； （2）若将学生分成4支队伍，则4支队伍都完成参观至少需要__________分钟． 【答案】 ①. 3 ②. 60 【解析】 【分析】（1）要使每支队伍参观过程无需等待，相邻队伍进入首个展厅的间隔不小于最长展厅参观时长，结合第一支队伍参观完所有展厅的总时长，即可计算最多队伍数； （2）计算四个队伍参观所有展厅的总耗时，结合每个展厅的总占用时间，得到最少总完成时间． 【详解】解：（1）四个展厅参观时长分别为15分钟、15分钟、10分钟、5分钟，最长参观时长为15分钟， 要使每支队伍无需等待，相邻两支队伍进入第一个展厅的间隔至少为15分钟，否则会出现展厅占用等待， 一支队伍参观完所有展厅总时长为 （分钟）， ， 因此最多可分为3支队伍，第4支队伍进入时必然产生等待， 故最多3支； （2）若分为4支队伍，每个展厅总占用时间为：A展厅（分钟），B展厅（分钟），C展厅（分钟），D展厅 （分钟）， 每个队伍同一时间只能参观一个展厅，所有展厅中总占用时间最长为60分钟， 可以合理安排参观顺序，可以让所有队伍都完成参观的总时间为60分钟， 如：队伍一：A展厅，D展厅，C展厅，B展厅， 队伍二：B展厅，C展厅，D展厅，A展厅， 队伍三：C展厅，D展厅，B展厅，A展厅， 队伍四：D展厅，A展厅，B展厅，C展厅， 因此最少需要60分钟． 三、解答题（本大题共8小题，共64分） 19. 计算下列各题： （1）计算：． （2）解方程组：． （3）解不等式组：． （4）已知，求代数式的值． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据绝对值的意义、立方根的定义以及算术平方根的定义计算即可； （2）根据加减消元法求解即可； （3）分别求出每个不等式的解集，然后求出它们的公共部分即可； （4）根据完全平方公式、平方差公式以及合并同类项法则展开，然后提取公因式得出，最后把整体代入计算即可. 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解： ，得 解得 把代入①，得 解得 ∴方程组的解为； 【小问3详解】 解：解不等式，得 解不等式，得 ∴不等式组的解集为； 【小问4详解】 解：∵ ∴ . 20. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，将先向右平移n个单位长度，再向下平移n个单位长度得到（图中每个小方格边长均为1个单位长度，）． （1）当时，在图中画出平移后的，并直接写出各顶点的坐标； （2）当三个顶点中恰有两个在坐标轴上时，直接写出n的值． 【答案】（1） ，，； （2）或或 【解析】 【分析】（1）根据平移的定义作图； （2）根据平移的性质表示出三个顶点的坐标，分类讨论计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图知，，，， 将先向右平移n个单位长度，再向下平移n个单位长度平移后得到的三个顶点的坐标分别为，，， 当三个顶点中恰有两个在坐标轴上时，分类讨论： ①当点在坐标轴上时，有或， 解得或， 当时，在轴上，符合题意； 当时，在轴上，符合题意； ②当点在坐标轴上时，有或， 解得或（与①结论重复）， 当时，在轴上，符合题意； ③当点在坐标轴上时，有或， 解得或（与①②结论重复）； 综上所述，或或． 21. 某校七年级学生共600人，为进一步了解七年级学生的身体素质情况，体育老师随机抽取了50名学生进行一分钟跳绳次数测试，测试结果一分钟跳绳次数（x）水平划定为：不合格；合格；良；优．现以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表、频数分布直方图和扇形图，如下所示： 组别 次数x 频数（人数） 第一组 6 第二组 8 第三组 a 第四组 18 第五组 6 请结合图表完成下列问题： （1）表中的__________，并将频数分布直方图补充完整； （2）扇形统计图中__________，“第一组”所对应的圆心角的度数是__________； （3）根据以上调查结果，估计该校七年级学生中一分钟跳绳成绩达到良及以上有多少人． 【答案】（1）12，补全频数分布直方图如图所示： （2）24，43.2 （3）288人 【解析】 【分析】（1）用样本容量减去其它组的频数可得a值，进而可补全频数分布直方图； （2）用a除以样本容量可求得m值，用乘以“第一组”所占的百分比即可求得圆心角； （3）用七年级总人数乘以样本中一分钟跳绳成绩达到良及以上所占比例即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，， 图略 【小问2详解】 解：，则， “第一组”所对应的圆心角的度数是； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校七年级学生中一分钟跳绳成绩达到良及以上有288人． 22. 在2025年5月24日举第的第十三届学生节上，校学生会购买“校服熊”和“校服兔”作为特许商品进行售卖，全部利润捐赠给小榕树学生公益基金，相关进价和售价情况如下表所示： 校服熊 校服兔 进价（元/个） 50 52 售价（元/个） 55 59 （1）校学生会在学生节前购进“校服熊”和“校服兔”共200个，由于“校服熊”和“校服兔”很受欢迎，上午便销售一空，共获利1160元，求“校服熊”和“校服兔”分别购进多少个（请列方程组求解）． （2）校学生会决定中午紧急采购“校服熊”和“校服兔”若干个用于下午的销售（“校服熊”和“校服兔”均有采购），购货资金恰好为8112元，参考上午的销售情况，其中采购“校服熊”的数量不少于100个，在销售完这批“校服熊”和“校服兔”后，将全天所得全部利润捐赠给小榕树学生公益基金，捐款金额不少于2036元，则校学生会中午紧急采购“校服熊”______个，“校服兔”______个（请直接写答案）． 【答案】（1）“校服熊”购进 120 个，“校服兔”购进 80 个 （2）104,56 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设“校服熊”购进个，“校服兔”购进个，利用总利润每个“校服熊”的销售利润购进数量每个“校服兔”的销售利润×购进数量，结合购进“校服熊”和“校服兔”的数量及销售后获得的总利润，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设校学生会中午紧急采购“校服熊”个，则采购“校服兔”个，根据中午采购“校服熊”的数量不少于 100 个且全天获得的总利润不少于 2036 元，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合均为正整数，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设“校服熊”购进个，“校服兔”购进个， 根据题意得：， 解得：． 答：“校服熊”购进 120 个，“校服兔”购进 80 个； 【小问2详解】 解：设校学生会中午紧急采购“校服熊”个，则采购“校服兔”个， 根据题意得：， 解得：， 又 ∵均为正整数， ， 个， ∴校学生会中午紧急采购“校服熊”104 个，“校服兔” 56 个． 故答案为： 104,56 ． 23. 在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，解二元一次方程组时，将看成一个整体，则②可变为，从而解得．请用整体思想完成： （1）已知关于a，b，c的三元一次方程组，则 ； （2）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，那么关于p，q的二元一次方程组的解为 ； （3）关于x，y的二元一次方程组满足，求k的取值范围． 【答案】（1）7 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，解二元一次方程组，解不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把三个方程相加，然后在方程的两边同时除2即可得出答案． （2）由题意可知关于和的方程组的解，从而列关于p和q的二元一次方程组并求解即可． （3）解方程组求得，，由，得到，即可得到或，再进行解不等式组，即可作答． 【小问1详解】 解：， 得：， 解得：； 故答案为：7． 【小问2详解】 解：∵关于x，y的二元一次方程组的解为，且关于p，q的二元一次方程组 ∴， 解得， 故答案为：； 【小问3详解】 解：， 得，即 得， ∵， ∴， ∴或， ∴或， ∴或． 24. 已知点C在线段上，点A和点E在线段同侧，且． （1）若： ①如图1，，则__________； ②如图2，分别作、的角平分线并交于点P，则__________； （2）当点E在线段上时，求证：．请在图3中完成下列证明过程： 证明：__________，（______________________________） 又， ． （3）分别作，的角平分线，： ①若，则__________； ②若直线与直线交于点P，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】（1）①；② （2）；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）①根据三角形的内角和计算； ②根据角平分线的定义和三角形的内角和解题即可； （2）利用三角形的外角的性质解题； （3）①用（2）的方法，同理可得，结合角平分线的定义得到，，根据平行线的性质推出，列方程计算即可； ②根据角平分线的定义和三角形的内角和可得到， ，结合计算即可． 【小问1详解】 解：①∵，， ∴， ∴； ②如图，由①知， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ， ∴ ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①如图，同理可得， ∵， ∴； 由题意知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； ②如图， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ， ∴ ． 25. 我们已经学习了平方差公式，下面我们来研究其更一般的形式——“等幂差”公式，并应用“等幂差”公式解决问题． 【旧知回顾】平方差公式，立方差公式． （1）因式分解：__________； （2）【发现规律】化简：__________； （3）【发现规律】猜想：__________； （4）【新知运用】证明：是6的倍数； （5）【新知运用】证明：对任意正整数n，都是21的倍数． 【答案】（1） （2） （3） （4）证明：由（3）的结论得∵ ，且第二个因式为正整数， ∴ 是6的倍数， ∴ 也是6的倍数； （5）证明： 由（3）的结论得； ∵ ，且第二个因式为正整数， ∴ 是21的倍数， ∴ 原式是21的倍数，即对任意正整数，都是21的倍数； 【解析】 【分析】（1）逆用立方差公式，解答即可； （2）利用整式的乘法法则计算求解即可； （3）根据前面的计算，解答即可； （4）根据猜想的规律，逆用公式，分解求解即可； （5）逆用同底数幂的乘法，幂的乘方，结合已证结论，证明即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：， ； ； 【小问4详解】 略 【小问5详解】 略 26. 如图1，已知直线，直线分别交、于点M、N，，的角平分线交最靠近的n等分线于点P． （1）若，则__________； （2）如图2，直线分别交直线、直线、直线、直线于点G、H、Q、R，设： ①若，求与n的数量关系； ②将直线沿直线进行平移，直接写出平移过程中与的数量关系． 【答案】（1）10 （2）①；②或或 【解析】 【分析】（1）过P作，根据平行线的性质，结合已知求得，，进而可求解； （2）①根据平行线的性质，平移性质以及G、Q、H、R的相对位置分情况画出图形，结合已知和三角形的内角和定理可求解； ②先求得，再根据平移性质以及G、Q、H、R的相对位置分情况画出图形，利用三角形的内角和定理和平角定义分别求解即可． 【小问1详解】 解：如图1，过P作，则， ∵，， ∴，， ∴， ∵的角平分线交最靠近的n等分线于点P，， ∴，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：根据题意，点G、H、Q、R的位置有六种情况，如图2、图3、图4、图5、图6、图7， ①如图2，∵，，， ∴，， ∵直线， ∴，则， ∵， ∴， 同理，由图3、图4、图5、图6、图7，可知， 综上，当时，与n的数量关系为； ②由（1）和①可知，， ∴， 由图2知，，，， ∴， ∴； 由图3知，，，， ∴， ∴； 由图4知，，， ∴， ∴； 由图5知，， ∵， ∴， ∴； 由图6知， ， ∴； 由图7知， ， ∴ 综上，与的数量关系为或或． 四、附加题（本大题共3小题，共10分） 27. 各边长皆为正整数，且最大边长为n的三角形称为“n阶整三角形”．（三边对应相等的三角形视为同一个三角形） （1）5阶整三角形有__________个； （2）n阶整三角形有__________个． 【答案】（1）9 （2）当为正奇数时，有个；当为正偶数时，有个 【解析】 【分析】（1）设其余的两边长为，则，根据定义，讨论求解即可； （2）设其余的两边长为， ，且，根据定义，讨论求解即可； 【小问1详解】 解：5阶整三角形的最大边长为5，且各边都是正整数， 设其余的两边长为， ， 当，时，满足，此时三角形存在； 当，时，满足，此时三角形存在； 当，时，满足，此时三角形存在； 当，时，满足，此时三角形存在； 当，时，满足，此时三角形存在； 当，时，满足，此时三角形存在； 当，时，满足，此时三角形存在；与，，5是同一个三角形， 当，时，满足，此时三角形存在；与，，5是同一个三角形； 当，时，满足，此时三角形存在； 当，时，满足，此时三角形存在； 当，时，满足，此时三角形存在；其余情形都与前面的某一个三角形是同一个三角形， 故满足要求的5阶整三角形有个； 【小问2详解】 解：n阶整三角形的最大边长为n，且各边都是正整数， 设其余的两边长为， ，且， 当为正奇数时， 当，时，满足，且，此时三角形存在，且有1个； 当，时，满足，且，此时三角形存在； 当，时，满足，且，此时三角形存在； 此时有2个三角形； 当，时，满足，且，此时三角形存在； 当，时，满足，且，此时三角形存在； 当，时，满足，且，此时三角形存在； 此时有3个三角形； ……………… 当时，对应y的取值个数为； 当x从取到n时，对应y的取值个数依次为，，………3，2，1； 故三角形的个数为： ； 当为正偶数时， 当，时，满足，且，此时三角形存在，且有1个； 当，时，满足，且，此时三角形存在； 当，时，满足，且，此时三角形存在； 此时有2个三角形； 当，时，满足，且，此时三角形存在； 当，时，满足，且，此时三角形存在； 当，时，满足，且，此时三角形存在； 此时有3个三角形； ……………… 当时，对应y的取值个数为； 当x从取到n时，对应y的取值个数依次为，，，………3，2，1； 故三角形的个数为： ， 综上所述，当为正奇数时，有个；当为正偶数时，有个； 28. 在平面直角坐标系中，对于点和实数a，称点为点P的“a阶变换点”．例如：的“2阶变换点”为． （1）若点P的“3阶变换点”为，则点的坐标为__________； （2）对于不在坐标轴上的点，若其“a阶变换点”Q的坐标为（k为非零实数），则称点为“a阶变换”的特征点，实数k为“a阶变换”的特征值： ①若为“2阶变换”的特征点，则__________； ②“a阶变换”的特征值为__________（用含a的代数式表示）； ③设点、、、的“a阶变换点”分别为点E、F、G、H，若四边形与四边形相交，则a的取值范围是__________． 【答案】（1） （2）①或②或③且或且 【解析】 【分析】（1）根据“a阶变换点”的定义解题即可； （2）①根据“a阶变换”的特征点的定义解题；②根据“a阶变换”的特征点列出二元方程组 ，将方程组变形得，利用代入消元法求解；③根据“a阶变换点”的定义找出点的坐标，根据坐标找出图形与图形的特征进行求解． 【小问1详解】 解：根据题意可得， 解得， ∴点的坐标为 【小问2详解】 解：①点的坐标为， 根据“2阶变换”可得点的坐标为， 根据“2阶变换”的特征点得， 变形，得， 将②代入①中，得， ∴， 解得或． ②由题意知点的坐标为， 由特征值知， 变形，得， 情况：，得， 则， ∵点在平面直角坐标系中，且不在坐标轴上， ∴不总等于， 要使恒成立， 须，则； 情况：，得， 则， ∵点在平面直角坐标系中，且不在坐标轴上， ∴不总等于， 要使恒成立， 须，解得； 综上所述，“a阶变换”的特征值为或． ③由“a阶变换点”的定义知： ， 将点在平面直角坐标系表示出来，如下图所示： ， 可知四边形是边长为的正方形，对称中心在原点，且四个顶点到对称中心的距离均为， ∵点关于原点对称，点关于原点对称， ∴四边形的对称中心在原点上； 四边形四个顶点到原点的距离分别为： ， ， ∴， ∴四边形大致图像如下图所示： ， 情况：当时，， 则有， 当，解得不等式组的解集为， 当时，解得不等式组的解集为， ∴的取值范围为且； 情况：当时，， 则有， 当时，解得不等式组的解集为； 当时，解得不等式组的解集为； ∴的取值范围为且； 综上所述，的取值范围为且或且． 29. 给定正整数，称n行n列的数表是一个n阶数表，其中表示第i行第j列的元素．若n阶数表A满足如下性质，则称其为“好数表”： ①主对角线元素为0，即； ②非主对角线元素均为0或1； ③关于对角线对称的元素和为1，即时； ④每列元素之和都大于1． （1）请从下列选项中选出“好数表”：__________； A． B． C． （2）若n阶数表A为“好数表”： ①n的最小值为__________； ②数表A单列元素之和最大为__________（用含n的代数式表示）． 【答案】（1）C （2）①②当时，单列元素之和最大为，当时，单列元素之和最大为 【解析】 【分析】（1）根据“好数表”的性质一一对比即可得到答案； （）根据“好数表”的性质得到当时，无法满足条件④，重新排列阶数表，会发现数表无法同时满足③和④，从而确定的最小值②根据“好数表”的性质③关于对角线对称的元素和为1，即时，用特殊情况来确定，直接让第一列的除了第一个数以外的数均为来确定单列元素之和的最大值． 【小问1详解】 解：A，①主对角线元素为0；②非主对角线元素均为0或1；③关于对角线对称的元素和为1，即时；④每列元素之和均为1，不符合“好数表”的定义； B，①主对角线元素为0；②非主对角线元素均为0或1；③关于对角线对称的元素和不都为1，，不符合“好数表”的定义； C，①主对角线元素为0；②非主对角线元素均为0或1；③关于对角线对称的元素和为1，即时；④每列元素之和都大于1，满足“好数表”的定义． 【小问2详解】 解：由（1）知，当时，不符合每列元素之和大于1； 当时，③和④无法同时满足； ∴的最小值为； ②当时，单列元素之和最大值为， 当时， ∵， ∴第一列第一个元素为0，第一列后面的均为1， 如图所示：， 此时单列元素之和最大为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初一数学 （试卷满分为110分，考试时间为100分钟） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确） 1. 下列各数中，无理数是（ ） A. B. 3.14 C. D. 2. 下列长度的三根小木棒能构成三角形的是(　 　) A. 2cm，3cm，5cm B. 7cm，4cm，2cm C. 3cm，4cm，8cm D. 3cm，3cm，4cm 3. 若，则下列不等式成立的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，直线，直线，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，以正东方向为x轴正方向、正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，已知北京四中的坐标为，那么北京四中道元校区的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是关于x、y的方程的解，则代数式的值是（ ） A. 19 B. 29 C. D. 1 8. 下列调查中适合采取全面调查的是（ ） A. 检测“神舟二十三号”载人飞船的零件的质量是否合格 B. 检测一批灯的使用寿命 C. 检测一批家用轿车的抗撞击能力 D. 了解某市居民的月平均收入 9. 下列命题是真命题的有（ ）个 ①同位角相等； ②垂线段最短； ③经过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④0的平方根与算术平方根都是0； ⑤1是1的一个平方根； ⑥如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，在中，，分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于点，交于点，则下列结论：；；；．其中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 11. 若，则__________． 12. 若，，则__________． 13. 北京四中的校园建筑以正六边形为标志性设计元素，如图1为道元校区的元素广场，图2为有公共边的两个正六边形，则__________． 14. 某兴趣小组研究了5个班级的平均身高和平均体重，并画成了如图所示的散点图，观察可以发现，去掉点__________后，剩下的4个点大致分布在一条直线附近． 15. 已知，则__________． 16. 已知，将含有的直角三角板按如图方式摆放，其中，，与的角平分线交于点G，则__________． 17. 关于x的不等式组，有下列四个命题： ①当时，该不等式组的解集为； ②当时，该不等式组有4个整数解； ③若该不等式组有解，则； ④若该不等式组恰有2026个整数解，则满足条件的整数a的最大值与最小值之差为1．其中真命题的序号是__________． 18. 已知博物馆有四个展厅，分别为A、B、C、D，四个展厅的参观时长分别为：15分钟、15分钟、10分钟、5分钟，学校组织学生分队伍参观，要求同一展厅同一时间仅1支队伍参观，若展厅被占用则需排队等候，每支队伍需按顺序参观完所有展厅． （1）若要使每支队伍在参观过程中均无需等待，则最多可将学生分成__________支队伍； （2）若将学生分成4支队伍，则4支队伍都完成参观至少需要__________分钟． 三、解答题（本大题共8小题，共64分） 19. 计算下列各题： （1）计算：． （2）解方程组：． （3）解不等式组：． （4）已知，求代数式的值． 20. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，将先向右平移n个单位长度，再向下平移n个单位长度得到（图中每个小方格边长均为1个单位长度，）． （1）当时，在图中画出平移后的，并直接写出各顶点的坐标； （2）当三个顶点中恰有两个在坐标轴上时，直接写出n的值． 21. 某校七年级学生共600人，为进一步了解七年级学生的身体素质情况，体育老师随机抽取了50名学生进行一分钟跳绳次数测试，测试结果一分钟跳绳次数（x）水平划定为：不合格；合格；良；优．现以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表、频数分布直方图和扇形图，如下所示： 组别 次数x 频数（人数） 第一组 6 第二组 8 第三组 a 第四组 18 第五组 6 请结合图表完成下列问题： （1）表中的__________，并将频数分布直方图补充完整； （2）扇形统计图中__________，“第一组”所对应的圆心角的度数是__________； （3）根据以上调查结果，估计该校七年级学生中一分钟跳绳成绩达到良及以上有多少人． 22. 在2025年5月24日举第的第十三届学生节上，校学生会购买“校服熊”和“校服兔”作为特许商品进行售卖，全部利润捐赠给小榕树学生公益基金，相关进价和售价情况如下表所示： 校服熊 校服兔 进价（元/个） 50 52 售价（元/个） 55 59 （1）校学生会在学生节前购进“校服熊”和“校服兔”共200个，由于“校服熊”和“校服兔”很受欢迎，上午便销售一空，共获利1160元，求“校服熊”和“校服兔”分别购进多少个（请列方程组求解）． （2）校学生会决定中午紧急采购“校服熊”和“校服兔”若干个用于下午的销售（“校服熊”和“校服兔”均有采购），购货资金恰好为8112元，参考上午的销售情况，其中采购“校服熊”的数量不少于100个，在销售完这批“校服熊”和“校服兔”后，将全天所得全部利润捐赠给小榕树学生公益基金，捐款金额不少于2036元，则校学生会中午紧急采购“校服熊”______个，“校服兔”______个（请直接写答案）． 23. 在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，解二元一次方程组时，将看成一个整体，则②可变为，从而解得．请用整体思想完成： （1）已知关于a，b，c的三元一次方程组，则 ； （2）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，那么关于p，q的二元一次方程组的解为 ； （3）关于x，y的二元一次方程组满足，求k的取值范围． 24. 已知点C在线段上，点A和点E在线段同侧，且． （1）若： ①如图1，，则__________； ②如图2，分别作、的角平分线并交于点P，则__________； （2）当点E在线段上时，求证：．请在图3中完成下列证明过程： 证明：__________，（______________________________） 又， ． （3）分别作，的角平分线，： ①若，则__________； ②若直线与直线交于点P，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 25. 我们已经学习了平方差公式，下面我们来研究其更一般的形式——“等幂差”公式，并应用“等幂差”公式解决问题． 【旧知回顾】平方差公式，立方差公式． （1）因式分解：__________； （2）【发现规律】化简：__________； （3）【发现规律】猜想：__________； （4）【新知运用】证明：是6的倍数； （5）【新知运用】证明：对任意正整数n，都是21的倍数． 26. 如图1，已知直线，直线分别交、于点M、N，，的角平分线交最靠近的n等分线于点P． （1）若，则__________； （2）如图2，直线分别交直线、直线、直线、直线于点G、H、Q、R，设： ①若，求与n的数量关系； ②将直线沿直线进行平移，直接写出平移过程中与的数量关系． 四、附加题（本大题共3小题，共10分） 27. 各边长皆为正整数，且最大边长为n的三角形称为“n阶整三角形”．（三边对应相等的三角形视为同一个三角形） （1）5阶整三角形有__________个； （2）n阶整三角形有__________个． 28. 在平面直角坐标系中，对于点和实数a，称点为点P的“a阶变换点”．例如：的“2阶变换点”为． （1）若点P的“3阶变换点”为，则点的坐标为__________； （2）对于不在坐标轴上的点，若其“a阶变换点”Q的坐标为（k为非零实数），则称点为“a阶变换”的特征点，实数k为“a阶变换”的特征值： ①若为“2阶变换”的特征点，则__________； ②“a阶变换”的特征值为__________（用含a的代数式表示）； ③设点、、、的“a阶变换点”分别为点E、F、G、H，若四边形与四边形相交，则a的取值范围是__________． 29. 给定正整数，称n行n列的数表是一个n阶数表，其中表示第i行第j列的元素．若n阶数表A满足如下性质，则称其为“好数表”： ①主对角线元素为0，即； ②非主对角线元素均为0或1； ③关于对角线对称的元素和为1，即时； ④每列元素之和都大于1． （1）请从下列选项中选出“好数表”：__________； A． B． C． （2）若n阶数表A为“好数表”： ①n的最小值为__________； ②数表A单列元素之和最大为__________（用含n的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $