福建福州高级中学2025-2026学年高一上学期第二次适应性考试数学试题

福州高级中学2025-2026学年第一学段考试 高一第二次适应性考试数学试题 试卷总分：150分 完卷时间：120分钟 一、单项选择题：本题共有8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1．已知，，，则、、的大小关系为（ ） A． B． C． D． 2．若一扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为（ ） A． B． C． D． 3．已知点在第二象限，则角的终边位置在（ ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 4．设，用二分法求方程在内近似解的过程中，，，，，则方程的根落在区间是（ ） A． B． C． D． 5．若函数，的图象如图所示，则函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 6．设函数，则使得成立的的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．已知国内某人工智能机器人制造厂在2025年机器人产量为300万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高20%，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到900万台（参考数据：，）（ ） A．2028年 B．2029年 C．2030年 D．2031年 8．已知是上的偶函数，当时，，若关于的方程（，）有且只有7个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 10．设是定义域为的单调函数，对，，，，则（ ） A． B．是减函数 C．是奇函数 D．当时， 11．已知函数，若有四个不同的零点，，，且，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．计算：__________． 13．已知函数为定义在上的奇函数，且在上单调递减，满足，则实数的取值范围为__________． 14．已知（）的终边与单位圆交于点，点关于直线对称后的点为，点关于轴对称后的点为，设角的终边为射线．若，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）（1）已知角终边上一点，求的值． （2）已知，求的值． 16．（本小题满分15分）已知函数，． （1）求的最小正周期和对称中心； （2）求在区间内的单调递减区间； （3）当时，求的最大及最小值及相应的取值． 17．（本小题满分15分）函数为定义在上的奇函数，已知当时，． （1）当时，求的解析式； （2）判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； （3）若，求的取值范围． 18．（本小题满分17分）如图，是边长为2的正三角形，记位于直线（）右侧的图形的面积为函数． （1）求的解析式； （2）已知时，．若正实数，满足，求的最小值． 19．（本小题满分17分）已知函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，就称函数满足性质． （1）若函数（）是否满足性质？请说明理由． （2）若满足性质，在定义域上单调，且对于都成立，解关于的不等式（）； （3）在（2）的条件下，已知，，，若，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州高级中学2025-2026学年第一学段考试 高一第二次适应性考试数学参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B D A C B A D A ABD ACD BC 12． 13． 14． 15．（本小题满分13分） 【详解】（1）因为角终边上一点，所以， 2分 所以 6分 （2）因为 9分 ，解得． 13分 16．（本小题满分15分） 【详解】（1）解：由函数， 可得函数的最小正周期为， 2分 令，，解得，， 所以函数的对称中心为， 4分 （2）解：由，可得， 5分 令，可得； 7分 令，可得， 9分 所以函数的单调递减区间为，． 10分 （3）解：由，可得， 11分 当时，即时，函数取得最大值，最大值为； 当时，即时，函数取得最小值，最小值为， 所以函数在上的最大值为，最小值为． 15分 17．（本小题满分15分） 【详解】（1）当时，，则， 因为函数为奇函数，所以， 即时，的解析式为； 3分 （2）在上的单调递增，证明如下： 任取，，且，则， 6分 因为，，且，所以，，， 则，即， 所以在上的单调递增； 9分 （3）在上的单调递增，且函数为上的奇函数， 故为上的增函数． 11分 由，， 于是，解得，即所求为． 15分 18．（本小题满分17分） 【详解】（1）当时，， 2分 当时，； 5分 当时，； 8分 综上所述， 9分 （2）由（1）知，当时，，或（舍去）； 11分 当时，，或3（舍去）； 13分 所以． ， 15分 ，都是正实数，， 当且仅当，即，时，等号成立， 取最小值，的最小值为． 17分 19．（本小题满分17分） 【详解】（1）当时， ，所以满足性质． 3分 （2）若满足性质，时，得到，在上单调， 在时恒有，所以在上是单调减函数， 得到，即，所以， 即，即， 5分 ①当时，即时，不等式为，不等式解集为； 7分 ②当时，，不等式解集为； 9分 ③当时，，不等式解集为； 10分 （3）已知，，，若， ，， 13分 在上是单调函数，，， ，当且仅当，即时，取等号， 又，． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $