河南鹤壁市高中2025-2026学年高二上学期数学作业规范化练习（八） （宏奥A卷）

**基本信息** 以圆与椭圆为核心，覆盖轨迹方程、离心率等高频考点，解答题融合动态几何与代数推理，体现数学思维与运算能力，适配周测巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|12/60|圆的切线、椭圆离心率|如第3题切线距离计算，基础巩固| |多选|3/18|圆与椭圆综合|第13题切线斜率关系，考查逻辑推理| |填空|4/20|内心性质、曼哈顿距离|第19题新定义距离，培养数学眼光| |解答|4/52|动圆轨迹、定值证明|22题动圆外切内切求轨迹，契合高考动态几何趋势|

2027届数学作业规范化练习（八） （宏奥A卷） 2025.11.09 一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知圆，若圆上存在点使得，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 2．已知，点在圆上运动，则的最大值为（  ） A． B． C． D．32 3．过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则原点到直线的距离为（  ） A． B． C． D． 4．如图，直线交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M，N恰好落在直线上，若点N在第二象限内，则的值为（  ） A． B． C． D． 5．过点作圆的切线，为切点，，则的最大值是（  ） A． B． C． D． 6．已知是椭圆的左右焦点，上两点满足：，，则椭圆的离心率是（  ） A． B． C． D． 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，点A，B在上，直线倾斜角为，且，则的离心率为（  ） A． B． C． D． 8．已知椭圆的离心率为，长轴长为4，则该椭圆的短轴长为（  ） A． B． C． D． 9．已知椭圆，直线与交于两点，且,则椭圆的离心率是（  ） A． B． C． D． 10．已知椭圆，、分别为其左右焦点，点M在C上，且，若的面积为，则（  ） A． B．3 C． D．4 11．已知，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，的角平分线与的交点恰好在轴上，则线段的长度为（  ） A． B． C． D． 12．单位向量，向量满足，若存在两个均满足此条件的向量，使得，设，在起点为原点时，终点分别为.则的最大值（  ） A． B． C．4 D．2 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 13．在平面直角坐标系中，椭圆，圆，为圆上任意一点，为椭圆上任意一点.过作椭圆的两条切线，，当，与坐标轴不垂直时，记两切线斜率分别为，，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．的最小值为1 C．的最大值为 D． 14．已知，，，，其中，点为平面内一点，记点到，的距离分别为，，则下列条件中能使点的轨迹为椭圆的是（   ） A． B． C． D． 15．已知点是左、右焦点为，的椭圆：上的动点，则（    ） A．若，则的面积为 B．使为直角三角形的点有6个 C．的最大值为 D．若，则的最大、最小值分别为和 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 16．已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上不与顶点重合的任意一点，I为的内心，记直线的斜率分别为，若，则椭圆E的离心率为 . 17．已知点为椭圆的右焦点，直线与椭圆相交于，两点，且与圆在轴右侧相切.若经过点且垂直于轴，则 ；若没有经过点，则的周长为 . 18．过点作直线交椭圆于，两点，其中在线段上，则的取值范围为 . 19．在平面直角坐标系中，定义为两点间的“曼哈顿距离”.已知椭圆，点在椭圆上，轴.点满足.若直线与的交点在轴上，则的最大值为 . 四、解答题：本题共4小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 20.本小题分已知圆分别与，轴的正半轴交于，两点，为圆上的动点（异于，两点）. (1)若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； (2)若直线与轴交于点，直线与轴交于点，证明：为定值，并求出该定值. 21.本小题分已知圆：与直线交于M、N两点，点P为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为. (1)求的值及的面积； (2)若圆C与x轴交于A、B两点，点Q是圆C上异于A、B的任意一点，直线、分别交：于R、S两点.当点Q变化时，以为直径的圆是否过圆C内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由. 22.本小题分已知动圆与圆外切，与圆内切． (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)求的取值范围． 23.本小题分已知圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程. (2)已知斜率为的直线过点，且与圆交于两点，直线与直线交于点. ①记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：. ②试问点是否在定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由. 2027届数学作业规范化练习（八） （宏奥A卷）答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A A D D D B 题号 9 10 11 12 13 14 15 答案 B B C B 16. 17. ； 18． 19．   9．【答案】B【详解】设，记， 设中点为，所以， 由题意可知，中点是直线与直线的交点， 联立，解得， 另一方面，联立，得． 易知，由韦达定理得，解得， 所以，故离心率．故选：B. 10．【答案】B【详解】设，，则，化简得：， 所以，，另外，由余弦定理得：，结合以上两个式子， 消去可得，又因为，所以化简可得：， 所以，可得.故选：B. 11．【答案】C【详解】由题意可知，点只能在第一、四象限， 不妨设点在第一象限，如图所示：   设，又， 由题意可知，直线的斜率一定存在， 所以，直线，即，则点， 直线，化为一般形式得， 因为点在的角平分线上，所以点到直线与的距离相等， 点到直线的距离，点到直线的距离， 于是，化简得，即， 又点在椭圆上，所以，得， 因此，，即， 解得或，点在第一象限，所以，， 则点，所以.故选：C. 12．【答案】B 【详解】由题意不妨设，，则， 因为，则，整理得， 可知向量的终点的轨迹为椭圆，且为椭圆的右焦点， 可知点在椭圆上，设关于点的对称点为， 因为，则，可得，由可知三点共线，设，因为为线段的中点，则， 当且仅当为短轴顶点时，等号成立，所以的最大值为.故选：B. 13．【答案】AC【详解】对于A，根据题意，，则， 故，故A正确； 对于BC，设，则， 而圆的圆心，半径为，则， 因为，所以，则，所以，即， 所以的最小值为，最大值为，故B错误，C正确； 对于D，设，过点的直线方程为：， 联立，， 根据直线与椭圆的相切，则， 化简可得，，可知是方程的两个根，所以， 所以，当且仅当取等号，故D错误.故选：AC 14．【答案】AD【详解】对A：根据椭圆的定义，，所以点轨迹为椭圆，故A正确； 对B：设，则由，所以点轨迹为圆，故B错误； 对C：由，分情况去掉绝对值符号， 可知点的轨迹为4条线段，不是椭圆，故C错误； 对D：由，因为， 所以点轨迹为椭圆，故D正确. 故选：AD 15．【答案】BCD【详解】A选项：由椭圆方程，所以，，所以， 所以的面积为，故A错误； B选项：当或时为直角三角形，这样的点有4个， 设椭圆的上下顶点分别为，，则,同理， 知，所以当位于椭圆的上、下顶点时也为直角三角形， 其他位置不满足，满足条件的点有6个，故B正确； C选项：由于， 所以当最小即时，取得最大值，故C正确； D选项：因为， 又，则的最大、最小值分别为 和， 当点位于直线与椭圆的交点时取等号，故D正确. 故选：BCD 16．【答案】【详解】设，设圆与轴相切于点M，N，T， 所以，所以， 即，所以． 由椭圆的第二定义可知，所以， 所以，由等面积法得到，所以． 因为，所以，所以，即．故答案为： 17．【答案】； 【详解】设，易知长半轴长， 离心率；设与圆相切于点，若垂直于轴，此时与重合，则有，所以，得， 此时直线，将代入得， 所以.若没有经过点，设，， 由椭圆性质和题意可知，，所以，， . 由椭圆方程得，代入上式有. 则，同理，所以的周长. 18．【答案】【详解】若直线的斜率存在，设，，， 所以，由，消去可得， ，即，又， 所以， 令，则，由，得， 解得，即，解之得且， 又在线段上，所以，所以， 若直线的斜率不存在，易得，综上的取值范围为． 19．【答案】 【详解】设,由题意，； 不妨设点位于第一象限，由可得,设直线与的交点为， 则有,;， 由可得，整理得①； ，由可得， 整理得②；联立①②可得， 由题意，所以，由椭圆的对称性可知，， 因为，设，， ，其中； 所以当时，取到最大值. 故答案为： 20．【答案】(1) (2)【详解】（1）由已知，， 设，，则，，则，即， 则，即，故点的轨迹方程为； （2）设，则，直线方程是：，代入，得，直线方程是，代入，得， 所以 ，即为定值. 21．【答案】(1)， (2)过定点， 【详解】（1）由题意可知直线的方程为，则联立与 可求出点坐标为，又因点P为线段的中点，所以 可得，即，所以可得， 由可知圆心，所以到直线的距离， 又因圆半径为，根据勾股定理可求得，所以线段， 又因原点到直线距离为，所以线段上的高为， 所以. （2）由圆与轴交于两点，得，不妨设直线的方程为，其中， 在直线的方程中，令，可得，因为，则直线的方程为， 在直线的方程中，令，可得，即点，则线段的中点为， 圆的半径平方为，所以以线段为直径的圆的方程为， 即，由，解得， 因此当点变化时，以为直径的圆恒过圆内的定点. 22．【答案】(1)(2) 【详解】（1）圆的圆心为，半径． 圆的圆心为，半径，， 所以圆内含于圆．设动圆圆心为，动圆半径为， 由于， 所以点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆， 从而，，所以，所以点的轨迹方程为． （2）设点，则，则， 则， 所以，所以， ，所以的取值范围为． 23．【答案】(1) (2)①证明见解析；②点在定直线上. 【详解】（1）设圆心的坐标为.因为是圆上的两点，所以， 所以即，解得. 因为圆心在直线上，所以，解得， 则圆的半径，故圆的标准方程为. （2）设直线.由整理得，则，故. ①证明：因为，所以. 把代入上式，得. ②直线的方程为，直线的方程为. 由得. 因为，所以， 所以， 即，则，即点在定直线上. — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $