河南鹤壁市高中2025-2026学年高二上学期数学学科规范化练习（十三）（平行B卷）

**基本信息** 聚焦数列与解析几何核心内容，通过基础概念辨析（如数列定义、轨迹判断）与综合问题设计（如椭圆离心率、立体几何体积），实现知识巩固与能力提升的周测目标，体现数学抽象与逻辑推理素养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|12|数列、椭圆、双曲线、立体几何|如第6题通过加2转化为等比数列，考查转化思想；第2题结合斜率关系判断轨迹，强化数学抽象| |多选题|3|曲线性质、立体几何动态问题|第13题以特殊曲线为背景，融合交点、面积等多维度考查；第14题通过动点轨迹分析空间角与体积，提升空间观念| |填空题|4|数列求和、双曲线中点弦|第18题结合中点弦求参数范围，体现方程思想；第19题关联渐近线与面积，深化解析几何综合应用| |解答题|4|圆的切线、椭圆方程、立体几何证明|第22题通过面面垂直证明与二面角计算，考查推理能力；第23题结合抛物线与圆的综合应用，贴近高考命题趋势|

2027届数学作业规范化练习（十三） （平行B卷） 一、单选题 1．下列说法中正确的是（   ） A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 B．数列的第项为 C．数列1，0，，与，，0，1是相同的数列 D．数列0，2，4，6，可记为 2．已知定点，，平面上满足下列斜率关系的动点的轨迹是椭圆的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平行六面体中，，，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．已知点分别为椭圆的左顶点、右焦点，点为上一点，且为的平分线，，则的内切圆的半径为（    ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的焦点为，过的直线与与交于两点（点在轴上方），点，若，则的方程为（    ） A． B． C． D． 6．数列的一个通项公式为（ ） A． B． C． D． 7．如果实数、满足，那么的最大值是（   ） A． B． C． D． 8．已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．设点为双曲线右支上的动点，为该双曲线的右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．在数列中，，，，若的前项和为，则（    ） A．4052 B．4053 C．4054 D．4055 11．已知分别是椭圆的左、右顶点，点满足，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 12．已知双曲线C的对称中心为坐标原点，其中一个焦点坐标为，且它的一条渐近线与圆相切，则双曲线C的实轴长为 A． B． C． D． 二、多选题 13．数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，其形状酷似数学符号“”（如图），对于此曲线，下列说法正确的是（ ） A．曲线与直线有3个公共点； B．的最大值为4 C．曲线所围成的图形的面积为 D．的最大值为 14．如图，棱长为2的正方体中，分别是棱，棱的中点，动点满足，其中，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则三棱锥的体积为定值 C．若，则直线与直线所成角的最小值为60° D．若动点在三棱锥外接球的表面上，则点的轨迹长度为 15．已知数列的前项和，则（    ） A． B．为递减数列 C．不等式的解集为有限集 D．当且仅当时，有最大值 三、填空题 16．数列的前项和为，若，则 . 17．数列中，，则 ． 18．过点作直线与双曲线交于，两点，若点恰为线段的中点，则实数的取值范围是 . 19．已知双曲线，点在上，、在的渐近线上，且，面积的取值范围为，其中为坐标原点，则的离心率的取值范围为 . 四、解答题 20．已知圆． (1)求过点且与圆相切的直线方程． (2)若圆与圆相交于，两点，求直线的方程以及公共弦的长． 21．已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记点的轨迹为曲线 (1)求曲线的方程； (2)若过点且倾斜角为的直线与曲线相交于两点，求． 22．四棱锥，平面平面，，是中点， (1)求证：平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长. 23．已知点是抛物线： 的焦点，纵坐标为2的点在上，以为圆心、为半径的圆交轴于，，． (1)求抛物线的方程； (2)过作直线与抛物线交于，，求的值． 试卷第1页，共3页 2027届数学作业规范化练习（十三）答案 （平行B卷） 题号 1 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D B C D D B A 题号 11 13 14 15 答案 C ABD ABD AC 1．B 【详解】选项A：数列除了递增数列和递减数列，还有常数列（所有项都相等）、摆动数列（项的大小交替变化）等， 所以一个数列不是递增数列，不一定就是递减数列，A说法错误； 选项B：对于数列，它的第项为，B说法正确； 选项C：数列是按一定顺序排列的一列数，数列1，0，，，和数列，，0，1排列顺序不同， 所以这两个数列不是相同数列，C说法错误； 选项D：数列0，2，4，6，的通项公式为， 而表示的数列为2，4，6，8，，首项不同，D说法错误. 故选：B 2．C 【详解】设动点的坐标为，则（）. 若，则，整理得（）， 此时动点的轨迹是圆上去掉点，，不符合题意，故选项A错误； 若，则，整理得（）， 此时动点的轨迹是双曲线上去掉点，，不符合题意，故选项B错误； 若，则，整理得（）， 此时动点的轨迹是椭圆上去掉点，，符合题意，故选项C正确； 若，则，整理得（）， 此时动点的轨迹是双曲线上去掉点，，不符合题意，故选项D错误. 故选：C. 3．C 【详解】因为, 所以， 所以， ， 所以， 故选:C. 4．D 【详解】由题意可得，则． 如图．由角平分线定理，得． 令，则． 在中，由余弦定理，得， 即，解得（负值已舍去），则．   设的内切圆的半径为．根据三角形的面积公式有 ， 所以， 解得．故选：D． 5．B 【详解】设，则，，即， 由得，， 的方程为， 由得，，， ，，故. 故选：B. 6．C 【详解】将数列7，25，79，241，… 的各项都加上2后为9，27，81，243，… ， 故该数列的一个通项公式为. 故选：C. 7．D 【详解】由可得可得，解得， 由可得，故的最大值为. 故选：D. 8．D 【详解】由题意可得，， 两式相减得， 所以，即， 所以， 令，则，， 且函数在上单调递增，则， 所以的取值范围是. 故答案为：D 9．B 【详解】如图，设双曲线的左焦点为， 由双曲线的定义得， 所以的最小值为. 故选：B. 10．A 【详解】因为，，，令，则，即， 且，可得，可知数列的一个周期为3， 所以.故选：A. 11．C 【详解】易知，过P作垂直于x轴，垂足为Q， 显然，得，则. 在中，由，得，得． 故选：C 12．B 【详解】由题,因为焦点为,设双曲线的方程为, 则一条渐近线方程为, 因为渐近线与圆相切, 所以,解得, 因为,所以,则, 所以实轴长为, 故选:B 13．ABD 【详解】对于A，由，得， 所以，即， 解得或，所以或或， 即曲线与直线有3个公共点，故A正确； 对于B，， 如图所示： 由图可知，所在圆的圆心为，半径为2，. 令，则，即， 如图，当该直线与相切时，直线与轴的截距最大， 由，得，解得，即的最大值为4，故B正确； 对于C，由选项B知，曲线所围成的图形的面积为四个全等弓形的面积之和， 设弓形的面积为， 在中，， 所以， 所以扇形的面积， ，所以， 所以曲线所围成的图形的面积为，故C错误； 对于D，可表示为曲线上的点与定点的距离的平方， 由图可知，最大距离为定点到圆心的距离与半径之和， 即， 所以的最大值为，故D正确. 故选：ABD 14．ABD 【详解】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以， 所以，即 ， 所以，又， 所以， 所以，所以，故A正确； 因为，，所以点在直线上， 又因为，，所以四边形是平行四边形， 所心，又平面，平面，所以平面， 所以到平面的距离为定值，又的面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故B正确； 点为的中点，坐标为，点的坐标为 ， 向量，向量， 设直线与直线所成的角为， ， 又因为，当 时，， 即直线与直线所成角的最小值为，故C错误； 因为三棱锥即为三棱锥，又底面是直角三角形， 过的中点作平面，是三棱锥外接球的球心， 因为平面，所以，又， 所以三棱锥外接球的半径， 因为点在平面内，又在三棱锥外接球的表面上， 所以 的轨迹是平面截三棱锥外接球的截面圆， 又易得到平面的距离为1，所以截面圆的半径为， 所以 的轨迹的周长为 ，故D正确. 故选：ABD. 15．AC 【详解】根据题意，数列的前项和， 当时，有，故A正确； 当时，， 对于B，，显然不满足为递减数列，故B错误； 对于C，显然，当时，，当且仅当， 则不等式的解集为，为有限集，故C正确； 对于D，由于， 所以当或4时，取得最大值，故D错误；故选：AC． 16． 【详解】当， 故， 当不符合上式，故，故答案为：. 17．/ 【详解】因为， 所以，，，… 所以.所以.故答案为： 18． 【详解】因为双曲线方程为则设,因为点恰为线段的中点 则则,两式相减并化简可得 即直线的斜率为2 所以直线的方程为 ,化简可得 因为直线与双曲线有两个不同的交点所以解得且 所以的取值范围为故答案为: 19． 【详解】由双曲线方程可知焦点在轴上，渐近线方程为. 因为，所以点在不同的渐近线上， 设，，则有 . 那么，解得， 因为点在双曲线上，所以满足.化简得. . 因为，所以. 所以有，化简得. 所以双曲线的离心率为，而， 所以双曲线的离心率的取值范围为.故答案为：.  20．(1)或 (2)， 【详解】（1）因为，所以在圆外； 当切线斜率存在时，设切线，即， 所以，解得，即切线方程为； 当切线斜率不存在时，切线方程为，且，故满足条件， 综上所述，切线方程为或. （2）， 将的方程相减可得，即， 所以直线的方程为；因为的圆心为，半径为， 所以. 21．【详解】（1）因为的坐标为，又，，, 又动点满足直线与的斜率之积为，， 即，故曲线的方程为. （2）根据已知作图如下： 直线过点且倾斜角为，直线的方程为， 联立，消去，整理得，， 设，则， ，故. 22．【详解】（1），是中点，， 平面平面，平面平面，平面，平面，平面，， ，是中点，，，，， ，，，， 在上取点，使得，且， 四边形为矩形，，， ，，，在中，，，， ，，，，平面，平面， 平面； （2）取中点，连接，则， 以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 设，， 则，，，，，， ，，设平面的法向量为， ，，取，解得，则， ，，设平面的法向量为， ，，取，解得，， ，，，， ，， 设平面与平面的夹角为，则， ，，，. 23．【详解】（1） 设圆的半径为，以为圆心、为半径的圆交轴于，，点在轴上，为原点， 所以.，. 点坐标为，所以. 设点坐标为，则，所以， 所以， 即， 解得， 所以抛物线的方程为：. （2）由（1）知. 设直线的方程为，，.代入抛物线方程，整理得，，所以， 所以，. 所以的值为2. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $