精品解析：江苏省海门中学2025-2026学年高一下学期第二次月考数学试卷

高一数学 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效． 3. 本卷满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，与复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知平面向量，，则与的夹角大小为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，是的内角，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数，则在下列区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是两条不同的直线，是平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则，是异面直线 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 7. 在中，，在边上，平分．若，则的最小值是（ ） A. 20 B. 18 C. 17 D. 16 8. 已知二面角的大小为，，，若，点到平面的距离为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正方体，则（ ） A. 平面 B. C. 直线与直线所成的角的大小为 D. 直线与平面所成的角的大小为 10. 已知的内角，，的对边分别为，，，则下列关系中能确定的形状为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，，是平面内相交成角的两条数轴，分别为轴，轴正方向上的单位向量．若，记，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若点，则 D. 若点，，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，则________． 13. 若单位向量的夹角为，向量，则在上的投影向量为________．（结果用表示） 14. 设锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则________，的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，，，函数图象的相邻对称轴的距离为，且． （1）求的解析式； （2）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，求函数在上的值域． 16. 已知，均为锐角，． （1）求的值； （2）若，求的值． 17. 在等腰梯形中，，，，是的中点，与交于点，设，． （1）用，表示； （2）若是边上的动点，求的最大值． 18. 如图，在三棱锥中，平面. （1）若，求证：平面平面； （2）已知为的中点，，F是棱上的一点. （i）若平面，求； （ii）若平面，试判断的形状，并给出证明. 19. 在中，内角，，的对边分别为，，，是边上靠近的四等分点． （1）若． （i）求证：对于边上任一点，； （ii）若，求． （2）若，，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效． 3. 本卷满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，与复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】应用复数除法的运算法则，简化复数，最后确定复数对应的点的位置. 【详解】,复数对应的点为，它在第四象限，故本题选D. 【点睛】本题考查通过复数的除法运算法则，化简后判断复数对应的点的位置. 2. 已知平面向量，，则与的夹角大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量夹角公式的坐标表示求解即可. 【详解】因为向量，， 所以，，， 所以， 因为，所以与的夹角为. 3. 已知，是的内角，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦函数的单调性判断即可. 【详解】因为是的内角，且，所以. 因为在上单调递减，所以，故充分性成立； 反之，在上单调递减，. 若，则，故必要性成立， 所以在中，“”是“”的充要条件. 4. 已知函数，则在下列区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，求解即可. 【详解】由； 令得：， 令得： 令得：， 结合选项可知ABD错误，C正确. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由同角三角函数的基本关系及二倍角公式求解． 【详解】由，得，得， 则． 6. 已知，是两条不同的直线，是平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则，是异面直线 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，若，，则或与相交或，是异面直线，故A错误； 对于B，若，，则或与相交或，是异面直线，故B错误； 对于C，，，则或，故C错误； 对于D，若，，则，故D正确. 7. 在中，，在边上，平分．若，则的最小值是（ ） A. 20 B. 18 C. 17 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式以及基本不等式求解即可. 【详解】 已知AD是的角平分线，，因此. 则. 设，，则， 化简得. . 由基本不等式，，当且仅当即时取等号. 所以，此时，满足条件，故最小值为18. 8. 已知二面角的大小为，，，若，点到平面的距离为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】通过作垂线将空间问题转化为平面问题，先利用二面角的平面角求出斜线的长度，再在另一个直角三角形中由已知角计算目标线段. 【详解】过点A作平面，垂足为O，由题意得. 因为平面，所以. 过O作，连接AH. 因为平面，，所以平面. 则，因此是二面角的平面角，即. 在中，. 在，，因此. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正方体，则（ ） A. 平面 B. C. 直线与直线所成的角的大小为 D. 直线与平面所成的角的大小为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A.通过证明线线平行，得到线面平行；B.通过线面垂直证明线线垂直；C.利用线线平行，转化为直线与直线所成的角求解；D.利用线面角的定义找到线面角求解. 【详解】选项 A，在正方体中：，，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面， A 正确； 选项 B，连接，正方形中，， 又平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又平面，故，B 正确； 选项 C，正方体中，异面直线夹角等价于与夹角， 连接，三边都是正方体面对角线，所以为等边三角形， 所以，直线与直线所成的角的大小为，C 错误； 选项 D，因为底面，所以是直线与平面所成角， 正方形中，为等腰直角三角形，， 所以直线与平面所成角为，D 正确. 10. 已知的内角，，的对边分别为，，，则下列关系中能确定的形状为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】A项利用正弦定理边化角进行判定；B项由正弦定理判定直角三角形； C项利用余弦定理和勾股定理进行判定；D项正弦定理和二倍角公式进行判定. 【详解】对于A，由正弦定理可知，，， . 所以，且，，，得， 所以三角形为等边三角形，故A错误； 对于B，根据正弦定理：且， 所以,， 又因为，， 所以，，故三角形为直角三角形，故B正确； 对于C，由余弦定理得. 又，所以，满足勾股定理，三角形为直角三角形，C正确； 对于D，由正弦定理得： . 当，即，此时三角形为等腰三角形； 当时，即，所以，所以此时为直角三角形. 故可能为等腰三角形，可能为直角三角形，故D错误. 11. 如图，，是平面内相交成角的两条数轴，分别为轴，轴正方向上的单位向量．若，记，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若点，则 D. 若点，，则的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】运用向量的加法运算，数量积运算法则，模长公式逐个求解可得答案. 【详解】由已知得，， 对于A，若，， 则，故A正确； 对于B，若，， 则 ，故B错误； 对于C，若点，则， 故C正确； 对于D，若点，， 则，， 所以，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，则________． 【答案】4 【解析】 【详解】复数，, 所以. 13. 若单位向量的夹角为，向量，则在上的投影向量为________．（结果用表示） 【答案】 【解析】 【详解】在上的投影向量为. 14. 设锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则________，的最小值为________． 【答案】 ①. ②. 7 【解析】 【分析】第一空，由余弦定理、正弦定理，边化角化简即可求解；第二空，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为， 由余弦定理得， 再由正弦定理得， 又 ，所以， 在中，所以，， 所以，所以，又，所以， 故； 则 ， 因为为锐角三角形， 所以，解得，所以， 则， 当时，取等号， 故的最小值为7. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，，，函数图象的相邻对称轴的距离为，且． （1）求的解析式； （2）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，求函数在上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据正弦函数的周期求出，进而求出，从而得到函数解析式. （2）先根据正弦函数的平移规则求出，然后求出余弦函数的值域. 【小问1详解】 因为函数的最小正周期为，所以， 即，因为，所以，即． 因为，所以，因为，所以， 所以． 【小问2详解】 因为， 因为，所以， 所以， 所以的值域为． 16. 已知，均为锐角，． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由及，均为锐角，可得； （2）法1：求解；法2：设，由求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 即， 所以， 因为，所以， 所以． 【小问2详解】 法1：由（1），所以， 所以，即． 因为，且， 所以， ， 所以． 法2：设，因为，所以． 因为，所以． 因为， 所以 ， 所以. 17. 在等腰梯形中，，，，是的中点，与交于点，设，． （1）用，表示； （2）若是边上的动点，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由平面向量的线性运算求解； （2）法一，设，，由数量积运算求解； 法二，，，下求的最小值，过作，为垂足，所以求解． 【小问1详解】 因为， 因为等腰梯形，，，为中点， 所以，所以． 【小问2详解】 法1：设，， 所以； 因为，，所以， 由（1）知， 所以． 所以， 过，作的垂线，垂足为，，则， 所以在直角三角形中，， 因为在三角形中，， 即，所以，即，， 因为， 所以， 所以当时，的最大值为. 法2：因为，，所以， 所以． 过，作的垂线，垂足为，，则， 所以在直角三角形中，， 因为在三角形中，， 所以，即， 所以， 因为， 因为，所以，得， 则， 所以， 下求的最小值，过作，为垂足， 所以， 所以当且仅当在处，此时原式最大值为． 18. 如图，在三棱锥中，平面. （1）若，求证：平面平面； （2）已知为的中点，，F是棱上的一点. （i）若平面，求； （ii）若平面，试判断的形状，并给出证明. 【答案】（1）因为平面，平面， 所以， 因为，所以，平面， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）（i）2； （ii）是等腰三角形，理由如下： 因为平面，平面， 所以平面平面. 因为平面，平面， 所以平面平面. 法1：在平面内过作， 因为平面，平面平面，平面平面， 所以平面； 同理，过作，可知平面. 因为过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直， 所以，重合，由于， 所以，，重合， 所以， 因为为中点，故，即是等腰三角形. 法2：证明结论：设，，是平面，若，，，则. 因为，设，在内作，则， 同理，可设，，，则， 所以， 因为，，所以，因为，，所以. 所以. 因为平面平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为为中点，故，即是等腰三角形. 【解析】 【分析】（1）使用线面垂直判定定理与面面垂直判定定理证明； （2）（ⅰ）使用线面平行的性质定理与向量共线求解； （ⅱ）使用面面垂直性质定理与三角形三线合一证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接并延长交于点，连接. （ⅰ）因为平面，平面，平面平面， 所以. 因为，是中点， 所以是的重心，是的中点， 所以. （ⅱ）略 19. 在中，内角，，的对边分别为，，，是边上靠近的四等分点． （1）若． （i）求证：对于边上任一点，； （ii）若，求． （2）若，，求的最大值． 【答案】（1）（i）因为，取中点，则， 设为的中点，连接，因为是靠近的四等分点， 所以． 因为 ， 因为，所以，即证． （ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）取中点，的中点，进而得，再结合向量运算律得，最后结合直角三角形性质即可证明； （ii）设，则，在和中，根据正弦定理求得，方法1：根据三角形内角和定理得，进而结合诱导公式，二倍角公式求得；方法2：根据题意得，再结合已知和三角形内角和定理求得，最后根据齐次式求解即可；方法3：设的中点为，连接，设，进而得，，，，再在中，结合正弦定理列方程即可求解. （2）设，，，则，进而在中，由正弦定理求得，，再在中，由余弦定理得，，其中，再根据三角函数性质求解即可. 【小问1详解】 （1）（i）略 （ii）设，则， 在和中，由正弦定理得， ，， 因为，， 所以，即， 因为，所以． 方法1：因为，所以， 所以， 所以，即， 因为，所以． 方法2：所以， 因为，，， 所以． 因为， 解得或． 设中点为，则， 因为在与中，，， 所以与相似，即， 所以， 所以，即，即，此时． 方法3：设的中点为，连接，因为， 所以， 设，在中，，， 因为为四等分点，则， 所以， 在中，由正弦定理得， ，即， 化简得，，因为， 所以，． 【小问2详解】 解：设，，因为是靠近的四等分点，所以， 设，则在中，由正弦定理得， ， 所以，． 在中，由余弦定理得， 所以 ，其中， 所以，当且仅当，即时取得最大值，此时， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $