第3章 函数的概念与性质(综合检测卷)-（Word同步练习）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（湘教版）

**基本信息** 本卷为高中数学函数概念与性质单元卷，覆盖定义域、奇偶性、单调性等核心知识，通过港珠澳大桥车流量等实际情境及闭函数定义等创新题型，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|函数定义、定义域、同一函数判断|基础概念辨析，如第1题函数图象识别| |多项选择|3/18|奇偶性、单调性、函数图象变换|多维度能力考查，如第11题闭函数定义理解| |填空题|3/15|分段函数、max函数、周期函数|创新情境设计，如第13题max函数最小值| |解答题|5/77|函数解析式、单调性证明、实际应用|综合问题解决，如第16题港珠澳大桥车流量建模|

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 第3章　函数的概念与性质 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.在下列图形中,能表示函数关系y=f(x)的是(　　) A B C D 2.函数y=+(2x+1)0的定义域为(　　) A.　　　　B.∪ C.　　　　D.∪ 3.下列各组函数是同一个函数的是(　　) A.y=与y=x　　　　B.y=与y=x-1 C.y=与y=x　　　　D.y=x0与y=1 4.函数f(x)=的图象大致为(　　) A　B　C　D 5.已知函数f(x)=若f(x)是R上的增函数,则实数a的取值范围为(　　) A.(1,+∞)　　　　B.[4,8)　　　　 C.[1,4)　　　　D.[2,8) 6.定义在R上的偶函数f(x)对任意x1,x2∈(-∞,0),都有(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0,若f(-1)=0,则不等式xf(x)<0的解集是(　　) A.(-1,1)　　　　B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-1,0)∪(1,+∞)　　　　D.(-∞,-1)∪(0,1) 7.已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),且满足f(xy)=f(x)+f(y), f =1,如果对于任意x,y∈(0,+∞),且x<y,都有f(x)>f(y),那么不等式f(-x)+f(3-x)≥-2的解集为(　　) A.[-4,0)　　　　B.[-1,0)　　　　 C.(-∞,0]　　　　D.[-1,4] 8.已知函数f(x)=x|x-a|-2a2.若当x>2时,f(x)>0,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,1]　　　　B.[-2,1]　　　　C.[-1,2]　　　　D.[-1,+∞) 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.已知f(x)=,则下列说法正确的有(　　) A.f(x)为奇函数 B.f(x)的值域是[-1,1] C.f(x)在[-1,1]上单调递增 D.f(x)的值域是(-∞,-1]∪[1,+∞) 10.某校学习兴趣小组通过研究发现:形如y=(ac≠0,b,d不同时为0)的函数图象可以由反比例函数的图象经过平移变换得到,则对函数y=的图象及性质,下列表述正确的是(　　) A.图象上点的纵坐标不可能为1 B.图象关于点(1,1)成中心对称 C.图象与x轴无交点 D.函数在区间(1,+∞)上单调递减 11.对于定义域为D的函数y=f(x),若同时满足:①f(x)在D内单调递增或单调递减;②存在区间[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b],则把y=f(x)(x∈D)称为闭函数.下列结论正确的是(　　) A.函数y=x2+1是闭函数 B.函数y=-x3是闭函数 C.函数y=是闭函数 D.若函数y=k+是闭函数,则k∈ 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.若函数f(x)=则f(-3)=　　　　.  13.用max{a,b}表示a,b中的较大者.设f(x)=max{x+2,x2-3x+5},则函数f(x)的最小值是　　　　.  14.设函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(x+1)=f(x),当x∈(0,1]时,f(x)=,则当x∈(0,1]时,f(x)的最小值为　　　　;若对任意x∈(0,m](m>0),都有f(x)≥恒成立,则实数m的最大值是　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x++1. (1)求f(x)在R上的解析式; (2)判断f(x)在(0,1)上的单调性,并给出证明. 16.(15分)2018年10月24日,世界上最长的跨海大桥——港珠澳大桥正式通车.一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到220辆/千米时,将造成堵塞,此时车流速度为0千米/时;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为100千米/时.研究表明:当20≤x≤220时,车流速度v(单位:千米/时)是车流密度x(单位:辆/千米)的一次函数. (1)当0≤x≤220时,求函数v(x)的表达式; (2)当车流密度x(单位:辆/千米)为多大时,车流量f(x)=x·v(x)(单位:辆/时)可以达到最大?并求出最大车流量.(注:车流量是指单位时间内通过桥上某观测点的车辆数) 17.(15分)已知一次函数f(x)满足f(x-1)=2x+a,　　　.  在下面所给的三个条件中,任选一个补充到题目中,并作答. ①f(a)=5;②4a=f;③4f(1)-2f(2)=6. (1)求函数f(x)的解析式; (2)若g(x)=xf(x)+λf(x)+x在[0,2]上的最大值为2,求实数λ的值. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 18.(17分)若定义在R上的函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),当x<0时,f(x)>0,且f(-1)=2. (1)求证:f(x)为奇函数; (2)求f(x)在[-3,3]上的最小值; (3)若m∈[0,1],不等式f(3m2)>f(am+2)-4恒成立,求实数a的取值范围. 19.(17分)已知函数f(x)=+. (1)求函数f(x)的定义域和值域; (2)设F(x)={[f(x)]2-2}+f(x)(a<0),求F(x)的最大值g(a); (3)对于(2)中的g(a),若-m2+2nm+≤g(a)在n∈[-1,1]上恒成立,求实数m的取值范围. 答案与解析 1.D 2.B　要使函数y=+(2x+1)0有意义, 则解得x<且x≠-, 所以函数的定义域为∪. 3.A　对于A,函数y===x与y=x的定义域都为R,对应关系也相同,是同一个函数,故A符合题意; 对于B,函数y==|x-1|与y=x-1的定义域都为R,但对应关系不同,不是同一个函数,故B不符合题意; 对于C,函数y=的定义域为{x|x≠0},函数y=x的定义域为R,定义域不同,不是同一个函数,故C不符合题意; 对于D,函数y=x0的定义域为{x|x≠0},函数y=1的定义域为R,定义域不同,不是同一个函数,故D不符合题意. 4.D　易知函数f(x)=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,且f(-x)===f(x),所以函数f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,故排除B,C; 当x>0时, f(x)==x-,又y=x在(0,+∞)上单调递增,y=在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,故D符合. 5.B　因为f(x)是R上的增函数, 所以解得4≤a<8. 6.D　因为对任意x1,x2∈(-∞,0),都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,所以函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,由于f(x)是R上的偶函数,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=f(-1)=0,由此画出f(x)的大致图象如图所示: 由图可知,不等式xf(x)<0的解集是(-∞,-1)∪(0,1). 7.B　令x=y=1,得f(1)=2f(1),即f(1)=0;令x=,y=2,得f(1)=f(2)+f ,即f(2)=-1;令x=y=2,得f(4)=2f(2)=-2. 由f(-x)+f(3-x)≥-2,可得f(x2-3x)≥f(4),又因为函数f(x)的定义域是(0,+∞),且对于任意x,y∈(0,+∞),且x<y,都有f(x)>f(y),所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以即解得-1≤x<0,即不等式f(-x)+f(3-x)≥-2的解集为[-1,0). 8.B　当a>2,x>2时, f(x)=x|x-a|-2a2= 当2<x<a时,令f(x)=-x2+ax-2a2=0, 此时Δ=a2-4×2a2=-7a2<0, 所以f(x)<0,不满足当x>2时, f(x)>0,故a>2不符合题意; 当0<a≤2,x>2时, f(x)=x|x-a|-2a2=x2-ax-2a2=(x-2a)·(x+a)>0,解得x>2a, 由于x>2时, f(x)>0,故2a≤2,所以0<a≤1; 当a=0,x>2时, f(x)=x2>0恒成立,符合题意; 当a<0,x>2时, f(x)=x|x-a|-2a2=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)>0,解得x>-a, 由于x>2时, f(x)>0,故-a≤2, 所以-2≤a<0. 综上,a的取值范围是[-2,1]. 考场速解　当x>2时, f(x)>0,即x|x-a|>2a2,即|x-a|>, 画出y=|x-a|和y=的大致图象,如图, 结合图象得2-a≥a2,解得-2≤a≤1. 9.ABC　对于A,f(x)=的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=-=-f(x),所以f(x)为奇函数,故A正确; 对于B,当x=0时,f(x)=0,当x≠0时,f(x)==, 若x>0,则x+≥2,当且仅当x=,即x=1时等号成立, 此时0<f(x)≤1, 同理,若x<0,则-1≤f(x)<0,故f(x)的值域为[-1,1],故B正确,D错误; 对于C,任取x1,x2∈[-1,1],且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-=,易知当x1,x2∈[-1,1],且x1<x2时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在[-1,1]上单调递增,故C正确. 10.ABD　y===1+,则函数y=的图象可由y=的图象先向右平移一个单位长度,再向上平移一个单位长度得到,∴y=图象上点的纵坐标不可能为1,图象关于点(1,1)成中心对称,图象与x轴的交点为(-2,0),函数在区间(1,+∞)上单调递减. 11.BD　因为y=x2+1在定义域R上不是单调函数,所以函数y=x2+1不是闭函数,A错误. y=-x3在定义域上是减函数,若y=-x3是闭函数,则存在区间[a,b],使得函数的值域为[a,b],即解得因此存在区间[-1,1],使y=-x3在[-1,1]上的值域为[-1,1],B正确. y==1-在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,+∞)上单调递增,函数在定义域上不单调,从而该函数不是闭函数,C错误. y=k+在定义域[-2,+∞)上单调递增,若y=k+是闭函数,则存在区间[a,b],使函数的值域为[a,b],即所以a,b为方程x=k+的两个实数根,即方程x2-(2k+1)x+k2-2=0(x≥-2,x≥k)有两个不等的实数根. 设g(x)=x2-(2k+1)x+k2-2, 当k≤-2时,有可得-<k≤-2; 当k>-2时,有无解. 综上所述,k∈,D正确. 12.答案　10 解析　f(-3)=f(-2)=f(-1)=…=f(3)=3×3+1=10. 13.答案　3 解析　在同一直角坐标系中画出函数y=x+2和y=x2-3x+5的图象,则f(x)的图象如图中实线部分所示, 由图象可得, f(x)min=f(1)=3. 14.答案　2; 解析　当x∈(0,1]时,由f(x)=,得f(x)=+2x, 则当x∈(0,1]时,f(x)=+2x≥2=2,当且仅当=2x,即x=时取等号,所以f(x)在(0,1]上的最小值为2. 因为f(x+1)=f(x),所以f(x)=f(x-1), 所以当x∈(1,2]时,x-1∈(0,1], f(x)=f(x-1)=≥,当且仅当=2(x-1),即x=+1时取等号; 当x∈(2,3]时,x-2∈(0,1], f(x)=f(x-1)=f(x-2)=≥,当且仅当=2(x-2),即x=+2时取等号; 当x∈(3,4]时,x-3∈(0,1], f(x)=f(x-1)=f(x-2)= f(x-3)=≥,当且仅当=2(x-3),即x=3+时取等号. 因为<<,所以当x∈(3,4]时,令=,解得x=. 因为对任意x∈(0,m](m>0),都有f(x)≥恒成立,所以m≤, 所以实数m的最大值为. 15.解析　(1)设x<0,则-x>0,f(-x)=-x-+1.(2分) ∵f(x)是R上的奇函数,∴f(-x)=-f(x),f(0)=0, ∴当x<0时,f(x)=-f(-x)=x+-1,(5分) ∴f(x)= (6分) (2)函数f(x)在(0,1)上单调递减.(7分) 证明:在(0,1)内任取x1,x2,且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=x1++1- =x1-x2- =(x1-x2)·,(10分) 当0<x1<x2<1时,x1-x2<0,x1x2-1<0,x1x2>0, ∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),(12分) ∴函数f(x)在(0,1)上单调递减.(13分) 16.解析　(1)由题意可得,当0≤x≤20时,v(x)=100.(2分) 当20≤x≤220时,设v(x)=ax+b(a≠0), 则解得则v(x)=-x+110,(4分) 所以v(x)=(6分) (2)由(1)得f(x)=x·v(x)=(8分) 当0≤x≤20时,f(x)=100x,在定义域上单调递增, 所以f(x)的最大值为f(20)=2 000;(10分) 当20<x≤220时,f(x)=-x2+110x=-(x-110)2+6 050,则当x=110时,f(x)取得最大值,为6 050.(13分) 综上所述,当车流密度为110辆/千米时,车流量最大,最大车流量为6 050辆/时.(15分) 17.解析　设f(x)=kx+b(k≠0),则k(x-1)+b=2x+a,即kx-k+b=2x+a, 所以k=2,-k+b=a,则b=2+a, 所以f(x)=2x+2+a.(3分) 若选①: (1)由f(a)=5得2a+2+a=5,解得a=1,所以f(x)=2x+3.(6分) (2)g(x)=x(2x+3)+λ(2x+3)+x=2x2+(4+2λ)x+3λ, 其图象开口向上,且对称轴为直线x=-,区间[0,2]的中点值为1.(9分) 当-≤1,即λ≥-4时,g(x)max=g(2)=8+8+4λ+3λ=7λ+16, 所以7λ+16=2,解得λ=-2.(12分) 当->1,即λ<-4时,g(x)max=g(0)=3λ, 所以3λ=2,解得λ=(舍去). 综上所述,λ=-2.(15分) 若选②: (1)由4a=f得4a=2×+2+a,解得a=1, 所以f(x)=2x+3.(6分) (2)同选①中的解法.(15分) 若选③: (1)由4f(1)-2f(2)=6得4(2+2+a)-2(4+2+a)=6,解得a=1, 所以f(x)=2x+3.(6分) (2)同选①中的解法.(15分) 18.解析　(1)证明:由题知函数f(x)的定义域为R, 令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0, 令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x),得f(-x)=-f(x),(2分) 所以函数f(x)为奇函数.(3分) (2)任取x1,x2∈R,且x1<x2,则x1-x2<0, 因为当x<0时,f(x)>0,所以f(x1-x2)>0, 由(1)知f(x)为奇函数, 所以f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)>0, 所以f(x1)>f(x2), 所以f(x)为R上的减函数, 故f(x)在[-3,3]上的最小值为f(3),(6分) 因为f(-1)=2,f(-2)=f(-1)+f(-1)=4,f(-3)=f(-2)+f(-1)=6, 所以f(3)=-f(-3)=-6,故f(x)在[-3,3]上的最小值为-6.(8分) (3)由(2)可得f(-2)=4,所以f(3m2)>f(am+2)-4=f(am+2)-f(-2)=f(am+2)+f(2)=f(am+4),(10分) 因为f(x)在R上为减函数, 所以当m∈[0,1]时,3m2<am+4即3m2-am-4<0恒成立,(12分) 当m=0时,-4<0,不等式恒成立; 当m∈(0,1]时,a>3m-恒成立, 易知g(m)=3m-在(0,1]上单调递增,(15分) 则有a>g(1)=-1, 所以a的取值范围为(-1,+∞).(17分) 19.解析　(1)由1+x≥0且1-x≥0,得-1≤x≤1, ∴函数f(x)的定义域为[-1,1].(1分) ∵(+)2=2+2,且∈[0,1], ∴(+)2∈[2,4], ∴+∈[,2], ∴函数f(x)的值域为[,2].(3分) (2)F(x)={[f(x)]2-2}+f(x)=a++, 令t=f(x)=+,则t∈[,2],=t2-1,(4分) ∴a++=a+t=at2+t-a,(6分) 令φ(t)=at2+t-a,t∈[,2],则g(a)为函数φ(t)=at2+t-a,t∈[,2]的最大值. 易得函数y=at2+t-a的图象是开口向下的抛物线,且其对称轴为直线t=-. ①若-∈(0,],即a≤-,则g(a)=φ()=;(9分) ②若-∈(,2),即-<a<-,则g(a)=φ=-a-;(10分) ③若-∈[2,+∞),即-≤a<0,则g(a)=φ(2)=a+2.(11分) 综上,g(a)=(12分) (3)要使-m2+2nm+≤g(a)在n∈[-1,1]上恒成立, 则-m2+2nm+≤g(a)min在n∈[-1,1]上恒成立,(14分) 由(2)易得g(a)min=. 所以m2-2nm≥0在n∈[-1,1]上恒成立. 令h(n)=m2-2nm,n∈[-1,1], 若m=0,则h(n)=0≥0对任意n∈[-1,1]恒成立; 若m≠0,则有即 所以m≥2或m≤-2. 综上,实数m的取值范围是(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞).(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $