第4章 幂函数、指数函数和对数函数 本章复习提升-（Word同步练习）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（湘教版）

**基本信息** 本练习通过“易混易错练”与“思想方法练”分层设计，聚焦指数对数运算、函数零点等核心知识点，从单一技能到综合思想方法递进，强化数学思维与知识巩固。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |易混易错练|指数对数运算、零点存在定理、参数范围|针对3类典型错误，配易错警示，如零点定理条件辨析题| |思想方法练|函数与方程、数形结合等4种数学思想|结合名校真题，强调换元法、分类讨论等思想应用，如复合函数单调性问题|

本章复习提升 易混易错练 易错点1　不能正确进行指数、对数的相关运算致错 1.(2025湖南名校联盟质量检测)(1)计算+-3×()0+; (2)计算-4log43·log278+log68+2log6. 易错点2　忽视函数零点存在定理的使用条件致错 2.对于函数f(x),若f(-1)f(3)<0,则(　　) A.方程f(x)=0一定有实数解 B.方程f(x)=0一定无实数解 C.方程f(x)=0一定有两个实数解 D.方程f(x)=0可能无实数解 3.设f(x)在区间[a,b]上是连续变化的单调函数,且f(a)f(b)<0,则方程f(x)=0在[a,b]内(　　) A.至少有一实根　　　　B.至多有一实根 C.没有实根　　　　D.必有唯一实根 易错点3　求参数的取值范围时考虑不全面致错 4.已知实数a>0,且a≠1,满足53a+2>54a+1,则不等式loga(3x+2)<loga(8-5x)的解集为　　　　.  5.(2025黑龙江大庆实验中学期中)函数f(x)=loga(ax2-4x+9)在区间[1,3]上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　　.  6.(2023江苏泰州期中)已知函数f(x)满足f(logax)=,其中a>0且a≠1. (1)求函数f(x)的解析式; (2)判断函数f(x)的单调性; (3)若0<a<1,f(x)+4>0在(-∞,2)上恒成立,求实数a的取值范围. 思想方法练 一、函数与方程思想在解决函数问题中的运用 1.(2024陕西渭南期末)函数的定义域为D,若满足:①f(x)在D内是单调函数;②存在区间[a,b],使f(x)在区间[a,b]上的值域为,那么就称函数为“减半函数”.若函数f(x)=logc(2cx+t)(c>0,且c≠1)是“减半函数”,则t的取值范围为(　　) A.(0,1)　　　　B.(0,1] C.　　　　D. 2.(2025天津第四十七中学期中)已知函数f(x)=4x+b·2x+c. (1)当b=-2,c=2,x∈[1,2]时,求函数f(x)的值域; (2)若c=2,存在x∈[0,1],使f(x)+f(-x)=0,求实数b的取值范围; (3)若存在x∈[0,1],使f(x)=0,求b2+c2的最小值. 二、数形结合思想在解决函数问题中的运用 3.(2025广西南宁第二中学月考)设f(x)=|1-2x|,若关于x的方程[f(x)]2-3tf(x)+2t2=0有三个不同的实数根,则实数t的取值范围为(　　) A.(0,1)　　　　B.　　　　C.　　　　D.(0,1] 4.(多选题)(2024河南洛阳段考)已知f(x)=若关于x的方程f(x)=a有四个不同的解x1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3<x4,则　　(　　) A.x1x2>4　　　　B.0<a≤2　　　　 C.x3+x4>2　　　　D.<x4<e2 三、分类讨论思想在解决函数问题中的运用 5.(2024江苏东台中学期中)若函数f(x)=(a>0且a≠1)在区间(1,+∞)上单调递增,则a的取值范围是(　　) A.(0,1)　　　　 B.　　　　 C.(1,2]　　　　 D.[2,+∞) 6.(2023江苏苏州实验中学期中)已知函数f(x)=loga(5-x)-loga(a>0,且a≠1),且f(4)=0. (1)求函数f(x)的定义域; (2)求不等式f(2x-3)<loga4的解集. 四、转化与化归思想在解决函数问题中的运用 7.(2024江苏五市联考)设f(x)=-x+2,则f(log32)=　　　　　;不等式f(1-x2)+f(5x-5)<4的解集为　　　　　.  8.已知函数f(x)=log4为偶函数,且f(x)≥log4(a·2x-a)在区间(1,2]上恒成立,则a的取值范围为　　　　.  答案与分层梯度式解析 易混易错练 1.解析　(1)原式=+-3+2- =+-3+2-=2-. (2)原式=2-4××+log62+log63 =2-4××+log6(2×3)=2-2+1=1. 易错警示　准确记忆指数、对数的运算性质和相关公式是指数、对数运算的关键,同时要注意性质或公式成立的前提. 2.D　因为f(x)的图象不一定是连续不断的,所以方程f(x)=0可能无实数解. 3.D　由题意知函数f(x)的图象在[a,b]内与x轴只有一个交点,即方程f(x)=0在[a,b]内只有一个实根. 易错警示　若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,则f(a)·f(b)<0是f(x)在区间(a,b)内有零点的充分不必要条件. 4.答案　 解析　易知函数y=5x是定义域为R的增函数,由题意可得3a+2>4a+1,所以a<1,又a>0,所以0<a<1, 所以函数y=logax为定义域上的减函数,则解得<x<,故不等式的解集为. 5.答案　∪[2,+∞) 解析　由题意知,a>0且a≠1, 令g(x)=ax2-4x+9,则其图象的对称轴为直线x==. ①当a>1时,由复合函数的单调性可知,g(x)在[1,3]上应单调递增,且g(x)>0在[1,3]上恒成立, 则解得a≥2; ②当0<a<1时,由复合函数的单调性可知,g(x)在[1,3]上应单调递减,且g(x)>0在[1,3]上恒成立, 则解得<a≤. 综上所述,a≥2或<a≤. 6.解析　(1)令t=logax(a>0,且a≠1),则x=at,所以f(t)=,所以f(x)=(a>0,且a≠1). (2)当a>1时,任取x1,x2∈R,且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)==-+=(-), 因为a>1,x1<x2,所以<,>0,1+>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在R上单调递增; 当0<a<1时,任取x1,x2∈R,且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)==·=(-), 因为0<a<1,x1<x2,所以>,>0,1+>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)在R上单调递减. 综上,当a>1时, f(x)在R上单调递增;当0<a<1时,f(x)在R上单调递减. (3)当0<a<1时,由(2)可知f(x)在(-∞,2)上单调递减.因为f(x)+4>0在(-∞,2)上恒成立,所以·+4≥0,即a2+4a-1≥0,解得a≤-2-或a≥-2+,因为0<a<1,所以-2+≤a<1,所以实数a的取值范围为[-2,1). 易错警示　解决与指数、对数函数有关的问题时需注意两点:(1)若底数a的值不确定,则应分a>1,0<a<1两种情况进行讨论,解题时防止因遗漏而出错;(2)注意对数自身(如真数、底数的取值)要满足的条件,特别是在研究复合函数的单调性时,除了按照“同增异减”的规律讨论之外,还要特别注意真数大于零的条件. 思想方法练 1.D　显然f(x)是定义域上的增函数,因此,若f(x)是“减半函数”,则即f(x)=有两个不相等的实数根, (根据函数的性质构建方程) logc(2cx+t)=,即2cx+t=. 令=u,u>0,则2u2-u+t=0. 依题意知方程2u2-u+t=0有两个不相等的正实数根, (换元后得到关于u的一元二次方程,根据方程根的情况,应用三个“二次”的关系求解) ∴解得0<t<. 2.解析　(1)当b=-2,c=2时, f(x)=4x-2×2x+2,x∈[1,2]. 令t=2x,则t∈[2,4],y=t2-2t+2=(t-1)2+1. (换元后得到关于t的二次函数,利用二次函数性质进行分析) 易知函数y=(t-1)2+1在[2,4]上单调递增,所以y∈[2,10],故函数f(x)的值域为[2,10]. (2)由c=2及f(x)+f(-x)=0,得4x+b·2x+2+4-x+b·2-x+2=0,即4x+4-x+b(2x+2-x)+4=0,即(2x+2-x)2+b(2x+2-x)+2=0,所以-b=(2x+2-x)+. 令m=2x+2-x,x∈[0,1],则m∈,-b=m+. 易知函数y=m+在上单调递增,所以-b∈,即b∈. (3)令t=2x,x∈[0,1],则t∈[1,2], f(x)=0,即t2+b·t+c=0,所以b=-, (将b2+c2转化为只含c的式子,结合常见函数的性质求解) 所以b2+c2=+c2=c2+2c+t2=·+t2-≥t2-=1+t2+-2. 令n=1+t2∈[2,5],则b2+c2≥n+-2,易知y=n+-2在[2,5]上单调递增,所以=2+-2=,所以b2+c2≥,故b2+c2的最小值为. 思想方法　在幂函数、指数函数和对数函数的有关问题中,利用条件构造方程或新函数,通过方程的知识或常见函数的性质解题是一种最基本的方法. 3.C　作出函数f(x)的图象,如图, 由[f(x)]2-3tf(x)+2t2=0,得f(x)=t或f(x)=2t, 易知当t≤0时,不符合题意; 当t>0时,2t>t,结合f(x)的图象知,要使方程[f(x)]2-3tf(x)+2t2=0有三个不同的实数根,需满足方程f(x)=t有两个不同的实数根,方程f(x)=2t有且只有一个实数根, 由图象知所以≤t<1. 4.BC　如图,作出函数f(x)的图象: 由题意可知直线y=a与f(x)的图象有4个不同的交点,由图象可知0<a≤2,x1+x2=-4,-2<x2≤0,-ln x3=ln x4,所以x1x2=(-4-x2)x2=-(x2+2)2+4∈[0,4),且ln x3+ln x4=ln(x3x4)=0,即x3x4=1,又x3≠x4,所以x3+x4>2=2. (由图象得到函数零点的范围及零点间的关系,由此判断结论是否成立) 当f(x4)=f(0)=2时,ln x4=2,x4=e2,又0<x3<1<x4,所以1<x4≤e2. 思想方法　数形结合既是一种思想又是一种解题的方法,要把“形”与“数”进行结合.在本章中数形结合思想主要用于解决函数零点问题,主要有以下几种情况:(1)根据函数图象判断函数零点(或图象交点)个数或确定零点所在区间;(2)根据函数图象及零点的情况求解参变量. 5.C　设函数t=x2-ax+1, 则函数f(x)=(a>0且a≠1)由二次函数t=x2-ax+1与指数函数y=at(a>0且a≠1)复合而成. (对底数分a>1和0<a<1两种情况讨论) 当0<a<1时,由于函数y=at在定义域上单调递减,而二次函数t=x2-ax+1的图象开口向上,在区间(1,+∞)上不可能单调递减,所以函数f(x)在区间(1,+∞)上不可能单调递增,不满足题意; 当a>1时,函数y=at在定义域上单调递增, 要使函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增, 则二次函数t=x2-ax+1在区间(1,+∞)上单调递增, 又其图象的对称轴为直线x=, 所以≤1,解得a≤2,所以a∈(1,2]. 6.解析　(1)由题意得f(4)=loga(5-4)-loga×4+m=0,解得m=-1,所以f(x)=loga(5-x)-loga,令解得2<x<5,所以函数f(x)的定义域为(2,5). (2)(底数a的值不确定,分a>1和0<a<1两种情况进行讨论) 由(1)知, f(x)的定义域为(2,5). 当0<a<1时,函数y=loga(5-x)在(2,5)上单调递增,函数y=loga在(2,5)上单调递减, 所以f(x)=loga(5-x)-loga在(2,5)上单调递增. 因为f(3)=loga2-loga=loga4,所以f(2x-3)<f(3), 所以解得<x<3. 当a>1时,函数y=loga(5-x)在(2,5)上单调递减,函数y=loga在(2,5)上单调递增, 所以f(x)=loga(5-x)-loga在(2,5)上单调递减. 因为f(3)=loga2-loga=loga4,所以f(2x-3)<f(3),所以解得3<x<4. 综上,当0<a<1时,不等式f(2x-3)<loga4的解集是;当a>1时,不等式f(2x-3)<loga4的解集是(3,4). 思想方法　在指数函数和对数函数的有关问题中,底数对函数的图象和性质有影响,解题时要注意对底数进行分类讨论,这是分类讨论思想在本章中的重要体现. 7.答案　-log32;(1,4) 解析　由f(x)=-x+2, 得f(log32)=-log32+2=--log32+2=-log32. 设g(x)=f(x)-2=-x=-3x-x, (构造函数,将已知函数转化为容易判断单调性与奇偶性的函数) 易知函数g(x)在定义域R上单调递减,且g(-x)=3x-+x=-g(x),所以函数g(x)为奇函数, ∵f(1-x2)+f(5x-5)<4,∴f(1-x2)-2<-[f(5x-5)-2], 即g(1-x2)<-g(5x-5),∴g(1-x2)<g(5-5x), (等价转化所求不等式,即根据单调性转化为自变量的大小关系) ∴1-x2>5-5x,即x2-5x+4<0,解得1<x<4, ∴关于x的不等式f(1-x2)+f(5x-5)<4的解集为(1,4). 8.答案　 解析　f(-x)=log4=log4, 因为函数f(x)=log4为偶函数, 所以f(x)=f(-x),即log4=log4, 所以m=1. 所以f(x)=log4≥log4(a·2x-a)在(1,2]上恒成立,即≥a·2x-a在(1,2]上恒成立, 因为x∈(1,2],所以1<2x-1≤3, 所以a≤=1+在(1,2]上恒成立, 令g(x)=1+,x∈(1,2],则只需a≤g(x)min即可. (将a≤g(x)恒成立等价转化为a≤g(x)min,求出函数g(x)的最小值即可) 令t=2x+1,则3<t≤5, 则g(x)可转化为h(t)=1+=1+,3<t≤5,易知y=t+在(3,5]上单调递增, 故函数h(t)在(3,5]上单调递减, 故h(t)min=h(5)=,即g(x)min=,所以a≤. 由a·2x-a=a(2x-1)>0对任意的x∈(1,2]恒成立,且1<2x-1≤3,所以a>0.所以a的取值范围是. 思想方法　转化与化归思想在研究指数函数与对数函数中常见的运用:利用函数奇偶性对原点左右两侧函数值进行转化;利用换元法将函数解析式化归为简单的解析式;利用构造函数将复杂的问题化为简单的问题;利用函数的最大(小)值解决不等式恒成立问题等. 15 学科网（北京）股份有限公司 $