第3章 函数的概念与性质 综合拔高练-（Word同步练习）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（湘教版）

**基本信息** 以高考真题与模拟题为载体，分层设计“真题基础—模拟应用—迁移创新”三阶路径，强化函数模块从概念到综合应用的知识巩固，培养数学抽象、逻辑推理与数学建模素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |高考真题练|函数概念、分段函数、性质综合|11题，以高考真题为依托，基础考点（定义域求解）与综合考点（抽象函数性质判断）结合，突出考点针对性| |高考模拟练（应用实践）|定义域、奇偶性、单调性等应用|9题，模拟题梯度设计，从基础选择（定义域求解）到中档解答（函数单调性证明），强化知识迁移| |高考模拟练（迁移创新）|函数图象对称中心、存在性问题|1题，创新情境题（函数对称中心探究与值域应用），培养数学建模与创新意识|

综合拔高练 高考真题练 考点1　函数的概念与表示 1.(2022北京,11)函数f(x)=+的定义域是　　　　　　　　.   考点2　分段函数的应用 2.(2024上海春季,9)已知f(x)=x2,g(x)=则使g(x)≤2-x的x的取值范围为　　　　.  3.(2022浙江,14)已知函数f(x)=则f =　　　　;若当x∈[a,b]时,1≤f(x)≤3,则b-a的最大值是①　　　　.  ①关键点拨::分类讨论,数形结合;对点突破:P251定点5 4.(2022北京,14)设函数f(x)=若f(x)存在最小值,则a的一个取值为　　　;a的最大值为　　　　.  考点3　函数基本性质的综合运用 5.(2024新课标Ⅰ,8)已知函数f(x)的定义域为R, f(x)>f(x-1)+f(x-2),且当x<3时, f(x)=x①,则下列结论中一定正确的是(　　)  A. f(10)>100　　　　B. f(20)>1 000　　　　 C. f(10)<1 000　　　　D. f(20)<10 000 ①关键点拨:赋值、列举 6.(2021全国乙文,9)设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是(　　) A. f(x-1)-1　　　　B. f(x-1)+1 C. f(x+1)-1　　　　D. f(x+1)+1 7.(2022天津,3)函数y=的图象大致为(　　) 　　 　　 8.(2020新高考Ⅰ,8)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是(　　) A.[-1,1]∪[3,+∞)　　　　B.[-3,-1]∪[0,1] C.[-1,0]∪[1,+∞)　　　　D.[-1,0]∪[1,3] 9.(2021新高考Ⅱ,8)设函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)为偶函数, f(2x+1)为奇函数,则(　　) A. f =0　　　　B. f(-1)=0 C. f(2)=0　　　　D. f(4)=0 10.(2021全国甲理,12)设函数f(x)的定义域为R, f(x+1)为奇函数, f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时, f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f=(　　) A.-　　　　B.-　　　　C.　　　　D. 11.(2022新高考Ⅱ,8)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y), f(1)=1,则f(k)=(　　) A.-3　　　　B.-2　　　　C.0　　　　D.1 高考模拟练 应用实践 1.(2024安徽淮南月考)已知函数y=f(x+1)的定义域是[-2,3],则y=f(2x-1)的定义域是(　　) A.　　　　B.[-1,4]　　　　 C.[-5,5]　　　　D.[-3,7] 2.(2024江西吉安万安中学期末)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上单调递增,则(　　) A.f(-3)<f(3)<f(4)　　　　 B.f(-3)<f(4)<f(3) C.f(3)<f(4)<f(-3)　　　　 D.f(4)<f(3)<f(-3) 3.(2025福建莆田期末)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增.若f(1)=0,则不等式(x-1)f(x)>0的解集是(　　) A.(-1,1)∪(1,+∞) B.(-1,1) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1) 4.(2025山东济南期中)设集合A=,B=,函数f(x)=已知x0∈A,且f(f(x0))∈A,则实数x0的取值范围为(　　) A.　　　　B. C.　　　　D. 5.(2025甘肃金昌永昌第一高级中学期中)已知定义在[0,+∞)上的函数f(x)满足对任意x1,x2∈[0,+∞),x1≠x2,都有 >2,若f(1)=2 024,则不等式f(x-2 024)>2(x-1 013)的解集为(　　) A.(2 023,+∞)　　　　B.(2 024,+∞) C.(2 025,+∞)　　　　D.(1 012,+∞) 6.(多选题)(2025安徽颍上第一中学段考)对于定义在R上的函数f(x),下列说法正确的是(　　) A.若f(x)是奇函数,则f(x-1)的图象关于点(1,0)对称 B.若对任意x∈R,有f(x+1)=f(x-1),则f(x)的图象关于直线x=1对称 C.若函数f(x+1)的图象关于直线x=-1对称,则f(x)为偶函数 D.若f(1+x)+f(1-x)=2,则f(x)的图象关于点(1,1)对称 7.(多选题)(2025北京理工大学附属中学月考)我们把定义域为[0,+∞)且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为“Ω函数”:(1)对任意的x∈[0,+∞),总有f(x)≥0;(2)若x≥0,y≥0,则有f(x+y)≥f(x)+f(y)成立.下列判断正确的是(　　) A.若f(x)为“Ω函数”,则f(0)=0 B.若f(x)为“Ω函数”,则f(x)在[0,+∞)上为增函数 C.函数g(x)=在[0,+∞)上是“Ω函数” D.函数g(x)=x2+x在[0,+∞)上是“Ω函数” 8.(2024山东淄博第一中学期中)已知函数f(x)=x+3,x∈[0,2],g(x)=x+,x∈[1,2].∀x1∈[0,2],∃x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2)成立,则a的取值范围是　　　　.  9.(2025湖南长沙长郡中学期中)已知函数f(x)=是定义在(-3,3)上的奇函数,且f(1)=. (1)求a,b的值; (2)判断函数f(x)在(-3,3)上的单调性,并加以证明; (3)解不等式f(-x2+x-1)+f(x+1)≥0. 迁移创新 10.(2025福建莆田第五中学期中)函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数,可以将其进行推广:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数,已知函数f(x)=. (1)求f(x)的图象的对称中心; (2)已知函数g(x)同时满足:①y=g(x+1)-1是奇函数;②当x∈[0,1]时,g(x)=x2-mx+m.若对任意的x1∈[0,2],总存在x2∈[1,5],使得g(x1)=f(x2),求实数m的取值范围. 答案与分层梯度式解析 高考真题练 1.答案　{x|x≤1且x≠0} 解析　要使f(x)=+有意义, 则解得x≤1且x≠0, ∴f(x)的定义域为{x|x≤1且x≠0}. 2.答案　(-∞,1] 解析　根据题意知g(x)= 所以当x≥0时,g(x)≤2-x⇒x2+x-2≤0,所以x∈[0,1]; 当x<0时,g(x)≤2-x⇒-x2+x-2≤0,所以x∈(-∞,0). 综上所述,x的取值范围是(-∞,1]. 考场速决　依题意得g(x)=画出函数y=g(x)与y=2-x的图象如图所示,令x2=2-x,得x=1或x=-2(舍去),所以不等式g(x)≤2-x的解集为(-∞,1]. 3.答案　;3+ 真题降维 1.试题分析 本题以分段函数为载体,考查复合函数的求值问题,属于基础题目.第一空是求值问题,常用思路是从内到外,逐层求值;第二空是求值域的逆向问题,考查逆向思维能力. 2.关键突破 关键信息 思维要点 思维缘由 f(x)= 分段研究,综合分析 分段函数的特征 f 从内向外,分段代入 函数的定义 当x∈[a,b]时,1≤f(x)≤3 结合值域,利用分类讨论或数形结合的方法求x的范围 函数的表示 解析　∵f=-+2=>1, ∴f=f=+-1=. 由解得-1≤x≤1, 由解得1<x≤2+, ∴不等式1≤f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤2+}, ∴b-a的最大值为2+-(-1)=3+. 一题多解　对于第二空,作出函数f(x)=的图象,如图, 易知b-a最大时a,b在图示位置,令b+-1=3,可得b=2+或b=2-(舍去),令2-a2=1,可得a=-1或a=1(舍去),故b-a的最大值为2+-(-1)=3+. 4.答案　1(答案不唯一);1 解析　当a=0时, f(x)=易知f(x)的最小值为0, 当a=1时, f(x)=易知f(x)的最小值为0, 当a>1时,作出f(x)的图象,如图所示, 由图可知f(x)无最小值, 当0<a<1时,作出f(x)的图象,如图所示, 由图可知f(x)的最小值为0, 当a<0时,作出f(x)的图象,如图所示, 由图可知f(x)无最小值. 综上,a可取[0,1]内的任意实数,a的最大值为1. 5.B　 真题降维 1.试题分析 抽象函数是近两年高考考查热点,考查频率比较高的是抽象函数求值、奇偶性、周期性及与不等式的交汇问题,解题方法有赋值法、数形结合法、等价转化法等. 2.关键突破 关键信息 信息处理 数学方法 当x<3时, f(x)=x f(1)=1, f(2)=2 赋值法 f(x)>f(x-1)+f(x-2) f(3)>f(2)+f(1)=3, f(4)>f(3)+f(2)>5,…… 列举法 因为当x<3时, f(x)=x,所以f(1)=1, f(2)=2, 又因为f(x)>f(x-1)+f(x-2), 所以f(3)>f(2)+f(1)=3, f(4)>f(3)+f(2)>5, f(5)>f(4)+f(3)>8,依此类推得f(6)>13, f(7)>21, f(8)>34, f(9)>55, f(10)>89, f(11)>144, f(12)>233, f(13)>377, f(14)>610, f(15)>987, f(16)>1 597>1 000,则依次下去可知f(20)>1 000,但f(10), f(20)无上界,故一定正确的是B. 考场速决　因为当x<3时, f(x)=x,所以f(1)=1, f(2)=2, 联想f(x)=f(x-1)+f(x-2),得到一列有规律的数:1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…, 易得f(10)=89, f(16)=1 597, 又因为f(x)>f(x-1)+f(x-2),所以f(10)>89, f(20)>f(16)>1 000, 不一定能得到f(10)>100, f(10)<1 000, f(20)<10 000. 6.B　解法一:f(x)=-1+,其图象的对称中心为(-1,-1),将y=f(x)的图象沿x轴向右平移1个单位长度,再沿y轴向上平移1个单位长度可得函数f(x-1)+1的图象,关于(0,0)对称,所以函数f(x-1)+1是奇函数. 解法二:选项A, f(x-1)-1=-2,此函数为非奇非偶函数;选项B, f(x-1)+1=,此函数为奇函数;选项C, f(x+1)-1=,此函数为非奇非偶函数;选项D, f(x+1)+1=,此函数为非奇非偶函数. 7.D　令f(x)=,函数f(x)=的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,且f(-x)==-=-f(x), 所以函数f(x)为奇函数,A错误; 当x<0时, f(x)=≤0,C错误; 当x>1时, f(x)===x-,易知f(x)单调递增,B错误. 8.D　∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(x-1)的图象关于点(1,0)中心对称,又∵f(x)在(-∞,0)上单调递减,∴f(x-1)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上也单调递减,且过(-1,0)和(3,0), f(x-1)的大致图象如图: 若xf(x-1)≥0, 则或解得1≤x≤3或-1≤x≤0. 综上,满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3]. 9.B　∵函数f(x)的定义域为R,且f(2x+1)为奇函数, ∴f(2×0+1)=0,即f(1)=0,且f(-2x+1)=-f(2x+1). 设-2x+1=t,则2x=1-t,∴f(t)=-f(2-t).① 又∵f(x+2)为偶函数,∴f(-x+2)=f(x+2).② 结合①②,得f(t)=-f(2-t)=-f(t+2), ∴f(-1)=-f(1)=0. 10.D　由题知即 从而f(x+4)=-f(x+2),即f(x+2)=-f(x), 所以6=f(0)+f(3)=-f(2)+[-f(1)]=-(4a+b)-(a+b)=-5a-2b,即5a+2b=-6,① 又由题知f(x+1)为奇函数,x∈R,所以f(1)=0,即a+b=0,② 由①②得从而f(x)=-2x2+2,x∈[1,2], 所以f=f=-f=f=-f=-=. 11.A　令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)·f(1)=f(x),则f(x+1)=f(x)-f(x-1),故f(x+2)=f(x+1)-f(x),f(x+3)=f(x+2)-f(x+1), 故f(x+3)=-f(x),故f(x+6)=f(x), 故函数f(x)的值每6个为一组重复出现, 令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)·f(0)⇒f(0)=2, 则f(2)=f(1)-f(0)=-1, f(3)=f(2)-f(1)=-2, f(4)=f(3)-f(2)=-1, f(5)=f(4)-f(3)=1, f(6)=f(5)-f(4)=2, 所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0, f(k)=3[f(1)+f(2)+…+f(6)]+f(19)+f(20)+f(21)+f(22)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-3. 高考模拟练 1.A　∵函数y=f(x+1)的定义域为[-2,3],∴x∈[-2,3],则x+1∈[-1,4],即函数f(x)的定义域为[-1,4], 由-1≤2x-1≤4,得0≤x≤,∴函数y=f(2x-1)的定义域为. 2.B　因为定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x), 所以f(0)=0, f(4)=-f(0)=0, f(3)=-f(-1)=f(1), 又f(x)在[0,2]上单调递增,所以f(3)=f(1)>f(4)=f(0)=0, f(-3)=-f(3)=-f(1)<0.所以f(-3)<f(4)<f(3). 3.A　因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,0]上单调递减, 由f(1)=0,可得f(-1)=f(1)=0,作出函数f(x)的大致图象如图: 不等式(x-1)f(x)>0等价于或即或解得x>1或-1<x<1, 故不等式的解集为(-1,1)∪(1,+∞). 4.C　依题意得f(x)= 因为x0∈A,所以x0∈,所以f(x0)=x0+∈, 所以f(f(x0))=f =-2+=-2x0-, 依题意得-2x0-∈,所以x0∈, 又x0∈,所以x0∈. 5.C　由>2,得>0,令g(x)=f(x)-2x,则>0, 所以函数g(x)在[0,+∞)上单调递增, 由f(1)=2 024,得g(1)=2 022, 由f(x-2 024)>2(x-1 013),得f(x-2 024)-2(x-2 024)>2 022,即g(x-2 024)>g(1),即x-2 024>1,解得x>2 025,所以原不等式的解集为(2 025,+∞). 6.ACD　对于A,将f(x)的图象向右平移1个单位长度得到函数f(x-1)的图象,若f(x)为奇函数,则其图象关于点(0,0)对称,则函数f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,故A中说法正确; 对于B,若对任意x∈R,有f(x+1)=f(x-1),即f(x-2)=f(x),则函数f(x)的图象不一定关于直线x=1对称,故B中说法错误; 对于C,将f(x+1)的图象向右平移1个单位长度得到函数f(x)的图象,若函数f(x+1)的图象关于直线x=-1对称,则f(x)的图象关于直线x=0对称,即f(x)为偶函数,故C中说法正确; 对于D,若f(1+x)+f(1-x)=2,即f(1+x)-1=-[f(1-x)-1],则f(x)的图象关于点(1,1)对称,故D中说法正确. 名师点睛　函数y=f(x)的定义域为D,∀x∈D, (1)存在常数a,b,使得f(x)+f(2a-x)=2b⇔f(a+x)+f(a-x)=2b,则函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称. (2)存在常数a,使得f(x)=f(2a-x)⇔f(a+x)=f(a-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称. 7.AD　对于A,由条件(1)知, f(x)≥0,则f(0)≥0,由条件(2)知, f(0+0)≥f(0)+f(0),即f(0)≤0,所以f(0)=0,故A正确; 对于B,当f(x)=0(x∈[0,+∞))时,符合条件(1)(2), f(x)是“Ω函数”,但f(x)在[0,+∞)上不是增函数,故B错误; 对于C,取x=2-,y=2+,则g(2-)=1,g(2+)=1,g((2-)+(2+))=g(4)=0,不满足g(x+y)≥g(x)+g(y),所以g(x)在[0,+∞)上不是“Ω函数”,故C错误; 对于D,g(x)=x2+x在[0,+∞)上单调递增,所以当x∈[0,+∞)时,g(x)≥g(0)=0,满足条件(1),g(x+y)-g(x)-g(y)=[(x+y)2+x+y]-(x2+x)-(y2+y)=2xy,当x≥0,y≥0时,2xy≥0,此时g(x+y)≥g(x)+g(y),满足条件(2),故D正确. 8.答案　 解析　因为∀x1∈[0,2],∃x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2)成立, 所以f(x)在[0,2]上的最小值大于或等于g(x)在[1,2]上的最小值, 易知f(x)=x+3在x∈[0,2]上单调递增,所以f(x)min=f(0)=3,当a<0时,g(x)=x+在[1,2]上单调递增,g(x)min=g(1)=1+a,所以解得a<0; 当0≤a≤1时,g(x)=x+在[1,2]上单调递增,g(x)min=g(1)=1+a,所以解得0≤a≤1; 当1<a<4时,g(x)=x+在[1,]上单调递减,在[,2]上单调递增,g(x)min=g()=2, 所以解得1<a≤; 当a≥4时,g(x)=x+在区间[1,2]上单调递减,g(x)min=g(2)=2+,所以无解. 综上,a的取值范围是. 名师点睛　已知函数y=f(x),x∈[a,b],其值域记为A,y=g(x),x∈[c,d],其值域记为B,则 (1)若∀x1∈[a,b],∃x2∈[c,d],使得f(x1)=g(x2)成立,则A⊆B; (2)若∃x1∈[a,b],∃x2∈[c,d],使得f(x1)=g(x2)成立,则A∩B≠⌀; (3)若∀x1∈[a,b],∀x2∈[c,d],总有f(x1)<g(x2)成立,则f(x)max<g(x)min; (4)若∀x1∈[a,b],∃x2∈[c,d],使得f(x1)<g(x2)成立,则f(x)max<g(x)max; (5)若∃x1∈[a,b],∃x2∈[c,d],使得f(x1)<g(x2)成立,则f(x)min<g(x)max; (6)若∃x1∈[a,b],∀x2∈[c,d],使得f(x1)<g(x2)成立,则f(x)min<g(x)min. 9.解析　(1)因为函数f(x)=是定义在(-3,3)上的奇函数,所以f(0)=0,即=0,得a=b. 又f(1)=,所以=,所以a=b=1, 所以f(x)=, 经检验, f(x)为奇函数,故a=b=1. (2)f(x)=在(-3,3)上单调递增. 证明:任取x1,x2∈(-3,3),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=-=-, 由-3<x1<x2<3,可得x1-x2<0,x1x2-9<0,9+>0,9+>0,则f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 所以f(x)在(-3,3)上单调递增. (3)由f(-x2+x-1)+f(x+1)≥0, 得f(-x2+x-1)≥-f(x+1)=f(-x-1), 由f(x)在(-3,3)上单调递增, 可得即解得0≤x<2, 故原不等式的解集为[0,2). 10.解析　(1)f(x)===x-, 设f(x)的图象的对称中心为(a,b), 由题意得函数y=f(x+a)-b为奇函数, 则f(-x+a)-b=-[f(x+a)-b],即f(a-x)+f(a+x)=2b,即a-x-+a+x-=2b, 整理得(a-b)x2-[(a-b)(a+1)2-6(a+1)]=0,易知该式对任意x≠-1恒成立, ∴a-b=(a-b)(a+1)2-6(a+1)=0,∴a=-1,b=-1,∴函数f(x)的图象的对称中心为(-1,-1). (2)设函数y=g(x),x∈[0,2]的值域为集合A,y=f(x),x∈[1,5]的值域为B,若对任意的x1∈[0,2],总存在x2∈[1,5],使得g(x1)=f(x2),则A⊆B. 易知函数f(x)=x-在[1,5]上单调递增, ∴B=[-2,4], ∵函数y=g(x+1)-1是奇函数, ∴函数g(x)的图象关于(1,1)成中心对称图形, 又当x∈[0,1]时,g(x)=x2-mx+m, ∴g(1)=1,∴函数g(x)的图象恒过定点(1,1). 当≤0,即m≤0时,函数g(x)在[0,2]上单调递增, 又g(0)=m,g(2)+g(0)=2, ∴g(2)=2-m,∴A=[m,2-m], 由A⊆B得解得-2≤m≤0. 当0<<1,即0<m<2时,g(x)在,上单调递减,在上单调递增, ∴g(x)min=min, g(x)max=max, 要使A⊆B,只需 解得0<m<2. 当≥1,即m≥2时,函数g(x)在[0,2]上单调递减, ∴A=[2-m,m], 由A⊆B,得解得2≤m≤4. 综上,实数m的取值范围是[-2,4]. 素养评析　本题考查函数的单调性、值域及函数图象的对称性问题,考查转化思想、分类讨论思想的应用以及逻辑推理和数学运算能力.(1)中计算对称中心的过程主要考查数学运算;(2)中将问题转化为A⊆B,考查逻辑推理;利用单调性求B,对参数分类讨论并结合函数图象求m的范围,主要考查逻辑推理及数学运算. 2 学科网（北京）股份有限公司 $