3.2.1函数的单调性与最值基础题型训练-2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

高一上册湘教版数学必修第一册 第3章 函数的概念与性质 3.2 函数的基本性质 3.2.1 函数的单调性与最值 基础题型训练 题型1 函数单调性定义的辨析 1.（2025上外嘉定实验中学期中）已知函数，.若 成立，则下列说法正确的是( ) A.函数在 上一定是增函数 B.函数在 上一定不是增函数 C.函数在 上可能是减函数 D.函数在 上不可能是减函数 2.（2025陕西西安高新一中质检）如果函数在上是增函数，对于任意的 , ，则下列结论中,正确的为( ) A. B. C. D. 题型2 判断函数的单调性或求单调区间 3. （2025浙江杭州期中）函数 的图象如图所示，则该函数的定义域和单调区间分别是( ) A.,； B.；, C.,； D.；, 4.（2025吉林长春期中）函数 的单调递增区间为( ) A. B. C. D. 5.若函数与在上都是单调递增的，则函数在 上( ) A.单调递减 B.单调递增 C.先增后减 D.先减后增 6.（2025甘肃兰州期中）已知函数 . （1） 求 的解析式； （2） 判断函数在 上的单调性，并给出证明. 7.（2025广东广州大同中学期中）函数 的单调递减区间是( ) A. B. C. D. 8.（多选/2025海南海口检测）下列关于函数 的结论正确的是( ) A.在和 上单调递增 B.在和 上单调递减 C.在 上为增函数 D.在 上为增函数 9.大招42（2025江西宜丰中学等多校质检）已知函数满足任意的实数， ，都有，且当时， . （1） 求 的值； （2） 判断在 上的单调性并证明. 题型3 函数单调性的应用 10.（2025辽宁七校协作体联考）函数 是增函数，则实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. 11.（2025陕西渭南期末）已知是二次函数，且 （1） 求函数 的解析式； （2） 令.若函数在区间上不是单调函数，求实数 的取值范围. 12.（2025广东汕头期中）函数为定义在上的增函数，若 ，则( ) A. B. C. D. 13.（2025福建泉州期末）已知函数 ，则不等式 的解集为( ) A. B. C. D. 14.（2025江苏镇江期末）已知函数 则不等式 的解集是( ) A. B. C. D. 题型4 函数最值的求解或由最值求参 15.（2025甘肃天水期中）已知是定义在上的函数，那么“函数在 上单调递减”是“函数在上的最大值为 ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 16.（2025江苏连云港期中）已知函数，，则函数 的值域为 ( ) A. B. C. D. 17.（2025浙江杭州期中）已知函数的定义域为，对于任意的， ， 都有，当时，都有，且，当 时， 的最大值是( ) A.5 B.6 C.8 D.12 18.（2025甘肃兰州期中）已知函数 . （1） 求函数的定义域； （2） 试判断函数在 上的单调性； （3） 试判断函数在区间 上的最大值和最小值. 19.（2025北京东城区期中）已知函数在区间上的最大值为 ，则 等于( ) A. B. C. D.或 20.（2025甘肃白银期中）已知函数在区间 上有最大值5和最小值2，则 ___. 21.（2025山西大同期中）设函数若是 的最小值，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 22.（2025黑龙江大庆期中）已知为二次函数，且， . （1） 求 的解析式； （2） 若，试求 的最小值. 参考答案 1.D【解析】 因为函数,且 成立， 所以函数在 上不可能是减函数,可能是增函数,也可能不是增数.例如,满足,但是在 上不具有单调性. 2.A【解析】 因为在 上是增函数, 所以对于任意的,,当时,,所以 , ,所以 , 当时,,所以,,所以 , 综上所述,,也即 ； 因为,的大小关系不确定,所以与 的大小关系不确定,故C项不成立,D项不成立. 3.D【解析】 定义域是函数自变量 的取值范围,由题图可知,定义域为 （注意6取不到）,函数的单调递增区间有2个,且单调区间是定义域的子集,则该函数的单调区间为, . 4.A【解析】 函数 当时, 单调递减, 当时,在上单调递减,在 上单调递增,所以函数的单调递增区间为 . 5.B【解析】 因为与 对于一次函数, 时,在上单调递增,时,在 上单调递减;对于反比例函数 时,单调递减区间是和,时,单调递增区间是( - ∞,0)和 在上都是单调递增的,所以, ,所以函数 的图象开口向上,对称轴为直线,所以函数 在区间上单调递增,又因为,, 所以 ,如图所示,所以函数在 上单调递增. 6.(1)【答案】配凑法. , 所以 . (2)【答案】 由（1）得,则在 上单调递增. 证明：任取 , , 其中,,,所以 , 所以,所以在 上单调递增. 7.A【解析】 由题意知函数中, （定义域优先）.解得 . 又函数的图象开口向下,对称轴为直线 , 所以函数在上单调递减,在上单调递增,又在 （内层函数 的值域）上单调递增, 因此函数在上单调递减,在 上单调递增（同增异减）, 所以函数的单调递减区间是 . 8.ABC【解析】 函数,定义域为 , 因为函数和在和上都单调递增,所以在 和 上单调递增（增+增=增）； 函数（分离常数）,其图象可由反比例函数 的图象先向右平移1个单位,再向上平移1个单位得到,由于反比例函数在和上单调递减,所以在 和 上单调递减； 当时,函数,所以在 上为增函数； 函数在上单调递减, 上单调递增. 9.(1)【答案】因为函数满足对任意的实数,,都有 , 令,则,所以 . (2)【答案】 在 上单调递增.证明如下. 设,且 ,所以 , 又,所以,所以,所以,即 , 所以在 上单调递增. 10.C【解析】 由题意可知,当时,单调递增,则 ①, 当时,图象的对称轴为直线 ,且开口向下,又 在其定义域上单调递增,则 ②, 因为函数 是增函数,所以 （注意分段函数在两段分界点处的函数值的大小关系）③, 联立,解得 . 11.(1)【答案】设 . , , 又,,是方程 的两个根, 解得 . (2)【答案】 , . 函数在区间 上不是单调函数, ,（二次函数在固定区间不单调时,图象对称轴在区间内）解得, 实数的取值范围是 . 12.C【解析】 是定义在 上的增函数（对于增函数,自变量越大,对应的函数值越大）,当 时,,则 ； 当时,,则 ； 又,即,则；当时, ,则 . 13.C【解析】 因为函数,所以定义域为解得 （确定函数的单调区间前先确定函数定义域）,因为是区间 上的增函数,是区间 上的增函数,所以（增+增=增）是 上的增函数.由不等式得解得 ,所以不等式的解集为 . 14.B【解析】 因为当时,单调递增,值域为 , 当时,单调递增,且时, , 所以分段函数 在定义域上单调递增（解不等式前先确定分段函数的单调性）, 由可得,解得或 ,则不等式的解集为 . 15.A【解析】 若函数在上单调递减,则函数在上的最大值为 ,充分性成立；若函数在上的最大值为,则函数不一定在 上单调递减,如在上不单调,但最大值为 ,必要性不成立. 16.B【解析】 设,,且 ,则 . 因为,所以 , 又, , 若,,则,此时 , 所以在 上为减函数； 若,,则,此时 , 所以在 上为增函数. 综上所述,函数在上为减函数,在 上为增函数, 所以,因为,,所以 ,所以函数 在区间上的值域为 . 17.A【解析】 令,,可得 , 不妨设,则,则 , 即,故在 上单调递增. 令,则,令,则,故,令 , 则,故.所以当时,的最大值是 . 18.(1)【答案】要使函数有意义,则,解得 , 所以函数的定义域为 . (2)【答案】 由题意知, , 函数在 上是增函数. 证明如下: 不妨设,,有 , , 因为,, , 所以,, , 所以,所以 , 所以函数在 上是增函数. (3)【答案】 由（2）知,函数在上单调递增,所以 , . 19.C【解析】 由函数 知,知其图象的对称轴为直线 （定轴）. 若,则当时,函数 取得最大值4（定轴在区间内,函数图象开口向下,最大值在顶点处）,不满足题意； 若,则函数在区间 上单调递减（定轴在区间左侧,函数图象开口向下, 函数在动区间上单调递减）, 所以当时,函数取得最大值,最大值为,解得 或 （舍去）. 20.2【解析】 由函数,可得 图象开口向上,且对称轴为直线 , 所以函数在上单调递增,故当时,该函数取得最大值,即 , 即,当时,该函数取得最小值,即 ,即 ,联立得解得,,所以 . 21.B【解析】 当 时, ,利用基本不等式求在上的最小值 当且仅当,即 时,等号成立. 当时,,所以 （根据轴在区间的左侧和右侧,分情况确定最小值）因此,要使是的最小值,只需 ,且,解得,即 . 22.(1)【答案】设 , , . 又 , 解得 . (2)【答案】 由（1）知,,则其图象的对称轴为直线 ,且图象开口向上, 若,则在上是增函数,则 ； 若,即,则在 上是减函数,则 ； 若,即,则 . 综上所述, 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $