2.2 从函数观点看一元二次方程    2.3 一元二次不等式-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（湘教版）

该高中数学课件聚焦二次函数零点、一元二次不等式解法及三个“二次”关系，通过知识辨析（如零点与交点区别、不等式定义判断）衔接函数与方程，构建从概念到应用的学习支架。 其亮点是以表格对比三个“二次”关系，结合典例分类讨论含参数不等式，通过蓄水池供水问题渗透数学建模，利用函数图象培养直观想象，解题总结强化逻辑推理。帮助学生系统掌握知识，提升思维能力，为教师提供结构化教学资源。

2.2　从函数观点看一元二次方程     知识点 1 二次函数的零点 必备知识 清单破 2.3　一元二次不等式 　　一般地,我们把使得ax2+bx+c=0(a≠0)成立的实数x叫作二次函数y=ax2+bx+c的零点.这 样,一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根就是二次函数y=ax2+bx+c的零点,也就是函数y=ax2+bx+ c的图象与 x轴交点的横坐标. 第1讲　描述运动的基本概念 1.一元二次不等式的概念 　　我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式. 2.解形如ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(其中a>0)的一元二次不等式的一般步骤: (1)确定对应一元二次方程ax2+bx+c=0的根; (2)画出对应二次函数y=ax2+bx+c的大致图象; (3)由图象得出不等式的解集. 　　对于二次项系数是负数(即a<0)的一元二次不等式,可以先把二次项系数化为正数,再按 上述步骤求解. 知识点 2 一元二次不等式及其解法 第1讲　描述运动的基本概念 　　二次函数、一元二次方程、一元二次不等式(即三个“二次”)之间的关系如下(其 中a,b,c为常数,a>0): 知识点 3 三个“二次”之间的关系 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象       一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 有两个相异实根x1,x2 (x1<x2) 有两个相等实根x1=x2 =-  没有实根 第1讲　描述运动的基本概念 一元二次不等式 ax2+bx+c>0的解集 {x|x<x1或x>x2}  x x∈R且 x≠-   R 一元二次不等式 ax2+bx+c<0的解集 {x|x1<x<x2} ⌀ ⌀ 第1讲　描述运动的基本概念 利用一元二次不等式解决实际问题的一般步骤 (1)理解题意,分清量与量之间的关系; (2)建立相应的不等关系,把实际问题抽象为一元二次不等式问题; (3)解这个一元二次不等式,结合实际检验,得到实际问题的解. 知识点 4 一元二次不等式的应用 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析     1.函数y=ax2+bx+c的零点就是函数图象与x轴的交点吗? 2.不等式x2-y2>0是一元二次不等式吗? 3.是否存在实数a使一元二次不等式ax2+x-1>0的解集为R? 4.设一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集为{x|x<x1或x>x2}(x1<x2),则x1+x2,x1x2为何值? 5. <0如何求解? ≤0的解集是什么? <2又如何求解呢? 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.不是.函数y=ax2+bx+c的零点是函数图象与x轴交点的横坐标. 2.不是.此不等式含有两个变量,根据一元二次不等式的定义,可知不是一元二次不等式. 3.不存在.结合二次函数的图象可知,若一元二次不等式ax2+x-1>0的解集为R,则 此 不等式组无解,所以不存在实数a使不等式ax2+x-1>0的解集为R. 4.不等式的解集的端点值是相应方程的根,则  5. <0即(x-1)(x-2)<0,解得1<x<2,故不等式的解集为{x|1<x<2}; ≤0的解集为{x|1≤x< 2};将 <2移项、通分,整理得 >0,即(x-2)(x-3)>0,所以x>3或x<2,故不等式的解集为{x |x>3或x<2}. 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 含参数的一元二次不等式的解法 关键能力 定点破 解含参数的一元二次不等式的基本方法——分类讨论 　　解含参数的一元二次不等式一般要进行分类讨论,为了做到分类不重不漏,讨论一般需 从以下几个方面考虑: (1)关于二次项系数符号的讨论:分二次项系数>0,二次项系数<0.(注意:在未说明不等式为一 元二次不等式的情况下,还要考虑二次项系数=0的情况) (2)关于不等式对应方程的根的个数的讨论:分两个不相等的实根(Δ>0),两个相等的实根(Δ= 0),无根(Δ<0). (3)关于不等式对应方程的根x1,x2的大小的讨论:分x1>x2,x1=x2,x1<x2. 第1讲　描述运动的基本概念 典例    解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a∈R). 解析    不等式ax2-2≥2x-ax可化为ax2+(a-2)x-2≥0, 若a=0,则不等式可化为-2x-2≥0,解得x≤-1,即解集为{x|x≤-1}. 若a≠0,则不等式可化为a(x+1) ≥0, 当a>0时,不等式即为(x+1) ≥0,解得x≤-1或x≥ ,即不等式的解集为 . 当a<0时,不等式即为(x+1) ≤0, ①当-1> ,即-2<a<0时,解得 ≤x≤-1; ②当-1= ,即a=-2时,解得x=-1; ③当-1< ,即a<-2时,解得-1≤x≤ . 第1讲　描述运动的基本概念 综上,当a>0时,不等式的解集为 ; 当a=0时,不等式的解集为{x|x≤-1}; 当-2<a<0时,不等式的解集为 ; 当a=-2时,不等式的解集为{x|x=-1}; 当a<-2时,不等式的解集为 . 第1讲　描述运动的基本概念 1.解分式不等式的思路:先转化为整式不等式,再求解. 2.化分式不等式为“标准形式”的方法:移项,通分,右边化为0,左边化为 的形式(f(x),g(x) 为关于x的整式). (1)形如 >a(a≠0)的分式不等式可同解变形为 >0,进而转化为g(x)[f(x)-ag(x)]> 0. (2)解 ≥0(≤0)型的分式不等式,转化为整式不等式后,应注意分子可取0,而分母不能取0. 定点 2 简单的分式不等式的解法  第1讲　描述运动的基本概念 典例　解下列关于x的不等式: (1)-1< <1;(2) <1-a(a∈R). 思路点拨    (1)将原不等式拆成两个不等式并组成不等式组再求解,或分x>0和x<0两种情况 分别求解后取并集. (2)移项、合并化为 <0,再化为(ax+1-a)(x-1)<0,对a进行分类讨论求解. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)解法一:原不等式等价于  即 整理得  此不等式组等价于  解得 所以x>1或x<-1, 所以原不等式的解集为{x|x>1或x<-1}. 解法二:当x>0时,由 <1得x>1,此时 >-1恒成立; 第1讲　描述运动的基本概念 当x<0时,由 >-1得x<-1,此时 <1恒成立. 所以原不等式的解集为{x|x>1或x<-1}. (2)原不等式可化为 -(1-a)<0,即 <0,进一步化为(ax+1-a)(x-1)<0. ①当a>0时,不等式化为 (x-1)<0. 因为 <1, 所以不等式的解集为 . ②当a=0时,不等式化为x-1<0,即x<1,所以不等式的解集为{x|x<1}. ③当a<0时,不等式化为 (x-1)>0. 第1讲　描述运动的基本概念 因为 >1, 所以不等式的解集为 . 综上,当a>0时,原不等式的解集为 ; 当a=0时,原不等式的解集为{x|x<1}; 当a<0时,原不等式的解集为 x x> 或x<1 . 解后反思 解分式不等式时,一般要等价变形为一边为零的形式,再化为一元二次不等式(组)求解.当分 式不等式的两边用“≥”或“≤”连接时,要注意分母不能为零. 第1讲　描述运动的基本概念 1.不等式ax2+bx+c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是:当a=0时,b=0,且c>0;当a≠0时,a>0, 且Δ<0. 2.不等式ax2+bx+c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是:当a=0时,b=0,且c<0;当a≠0时,a<0, 且Δ<0. 3.解决恒成立问题一定要分清谁是自变量,谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是自变量,求 谁的范围,谁就是参数. 4.若函数y=ax2+bx+c有最大值ymax,则m>y恒成立⇔m>ymax;若y=ax2+bx+c有最小值ymin,则m<y恒 成立⇔m<ymin. 定点 3 一元二次不等式恒成立问题 第1讲　描述运动的基本概念 典例    (1)对任意实数x,若y=(5-a)x2-6x+a+5恒为正值,则a的取值范围是　　　    ; (2)已知函数y=x2+mx-1,若对任意x∈[m,m+1],都有y<0成立,则实数m的取值范围是　　　    . (-4,4) 解析    (1)由题意可得  解得-4<a<4. (2)作出函数y=x2+mx-1的图象(如图), 因为对任意x∈[m,m+1],都有y<0, 所以 解得- <m<0. 第1讲　描述运动的基本概念 解题总结 解与一元二次不等式有关的恒成立问题,可借助二次函数的图象求解,必要时可通过分离参 数的方法求解. 第1讲　描述运动的基本概念 　　解与一元二次不等式、基本不等式有关的应用题的关键在于构造不等式或函数模型,选 择其中起关键作用的未知量作为x,用x来表示其他未知量,根据题意列出不等关系或函数关 系,通过解不等式或利用基本不等式求最值得到实际问题的解. 定点 4 一元二次不等式的实际应用 第1讲　描述运动的基本概念 典例    某自来水厂的蓄水池存有400 t水,水厂每小时可向蓄水池中注水60 t,同时蓄水池又向 居民小区不间断供水,m h内供水总量为120  t(0≤m≤24). (1)开始供水多长时间后,蓄水池中的水量最少?最少水量是多少? (2)若蓄水池中水量少于80 t,就会出现供水紧张现象,请问在一天之中,有几个小时出现供水 紧张现象? 解析    (1)设开始供水m h后,蓄水池中的水量为y t,则y=400+60m-120  =60(  - )2+40. ∵0≤m≤24, ∴0≤ ≤2 , ∴当 = ,即m=6时,ymin=40. 故开始供水6 h后,蓄水池中的水量最少,最少水量为40 t. (2)令 =x,则0≤x≤12, 由题意,得400+10x2-120x<80,即x2-12x+32<0, 第1讲　描述运动的基本概念 解得4<x<8,则16<x2<64. ∵x2=6m, ∴16<6m<64, ∴ <m< . ∵ - =8, ∴每天有8个小时出现供水紧张现象. 第1讲　描述运动的基本概念 学科素养 情境破 素养 通过三个“二次”问题培养直观想象的素养 素养解读 　　三个“二次”中综合问题解题思路的探究,以二次函数的图象为几何直观,通过其开口 方向、对称轴、端点函数值、对应方程的判别式等,对相关一元二次方程(不等式)进行定量 计算,进而解决相关问题. 第1讲　描述运动的基本概念 典例呈现 例题    (多选)已知关于x的不等式a≤x2-4x-6≤b(a∈R,b∈R,且a<b),下列结论正确的是 (         ) A.该不等式的解集不可能为⌀ B.该不等式的解集可能为{x|-8≤x≤-6或8≤x≤12} C.存在实数a,b,使得该不等式的解集为{x|m≤x≤n}(m<n)的形式 D.存在唯一一对实数对(a,b),使得该不等式的解集为  CD 第1讲　描述运动的基本概念 解题思路    画出二次函数y=x2-4x-6=(x-2)2-10的图象,如图①.   若b<-10,则不等式a≤x2-4x-6≤b的解集为⌀,故A错误. 若a>-10,则结合图②可知不等式a≤x2-4x-6≤b的解集为{x|m1≤x≤n1或n2≤x≤m2}的形式. 第1讲　描述运动的基本概念   因为二次函数y=x2-4x-6的图象的对称轴为直线x=2, 所以 =2, =2. 因为 =2, =1≠2,故B错误. 若a≤-10,b>-10,则不等式a≤x2-4x-6≤b的解集为{x|m≤x≤n}(m<n)的形式,故C正确. 第1讲　描述运动的基本概念 对于D,如图③所示,   若不等式的解集为 , 则a≤-10,b>-10, 第1讲　描述运动的基本概念 且方程x2-4x-6=b的两根分别为 ,b, 故b2-4b-6=b, 解得b=-1或b=6, 又 <2<b,所以b=6. 易得 +b=4, 所以a=-12,满足题意. 因此a=-12,b=6,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 直观想象在高中数学中具有以下四个特性:一是经验性,如本题中函数y=x2-4x-6的图象是抛 物线(如图①),由最小值可判断选项A、C是否正确;二是整体性,由函数图象可得到性质,形成 清晰的数学知识结构,如由对称性可以判断选项B是否正确;三是逻辑性,直观想象素养借助 几何直观体现事物的形态与变化,建立数与形的联系,其必然表现出一定的逻辑性,在本题中, 解决选项D时,由函数的图象得到一元二次方程的两根,进而解决一元二次不等式的解集问 题;四是预见性,直观想象的结果通常会表现出新的突破,带有极强的创造性,直接预测问题的 结论,如下面拓展中的问题. 思维升华 第1讲　描述运动的基本概念 拓展问题　已知关于x的不等式a≤x2-4x-6≤b(a∈R,b∈R,a<b),是否存在实数a,当b=a+1时,不 等式的解集为{x|m1≤x≤n1,或n2≤x≤m2}(m1<n1<n2<m2)的形式,且n1-m1=1? 解析    由例题里图②可知a>-10,当b=a+1时,随着a的增大,n1-m1的值越来越小,因此从求n1-m1 的最值入手. 依题意得,x2-4x-6=a的两根分别为n1,n2,x2-4x-6=a+1的两根分别为m1,m2, 则n1+n2=4,n1n2=-6-a,m1+m2=4,m1m2=-7-a,所以n1-n2=- ,m1-m2=- , 因此n1-m1= =  = , 结合a>-10可得n1-m1<1. 故不存在实数a使得当b=a+1时,不等式的解集为{x|m1≤x≤n1,或n2≤x≤m2}(m1<n1<n2<m2)的形 式,且n1-m1=1. 第1讲　描述运动的基本概念 $