2.1.1 等式与不等式-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（湘教版）

该高中数学课件聚焦不等式的性质及其推论，通过知识辨析问题导入，衔接等式关系，构建“性质-推论-应用”的学习支架，帮助学生系统掌握不等式基本规律。 其亮点在于以作差法、作商法为核心，结合典例解析比较大小及代数式范围问题，培养学生数学思维的推理能力与数学语言的表达能力。通过问题辨析与分步讲解，学生能深化对性质条件的理解，教师可依托实例提升教学针对性。

2.1　相等关系与不等关系 2.1.1　等式与不等式 必备知识 清单破 知识点 不等式的性质及其推论 1.不等式的性质 性质1:如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b.即a>b⇔b<a. 性质2:如果a>b,b>c,那么a>c.即a>b,b>c⇒a>c. 性质3:如果a>b,那么a+c>b+c. 性质4:如果a>b,c>0,那么ac>bc.如果a>b,c<0,那么ac<bc. 性质5:如果a>b,且ab>0,那么 < .如果a>b,且ab<0,那么 > . 第1讲　描述运动的基本概念 2.不等式性质的推论 推论1:如果a+b>c,那么a>c-b. 推论2:如果a>b,c>d,那么a+c>b+d. 推论3:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd. 推论4:如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,n≥2). 推论5:如果a>b>0,那么 >  . 特别提醒 1.在应用不等式的性质及其推论时,一定要弄清它们成立的前提条件. 2.要注意各性质和推论是否具有可逆性. 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析     1.在不等式的两边同乘一个不为零的数,不等号的方向不变,对吗?为什么? 2.若a>b,c>d,那么a-c>b-d一定成立吗?a-d>b-c呢? 3.若a>b,c>d,那么ac>bd一定成立吗? 4.数大的倒数一定小吗? 5.∀x∈R,x2>x-1一定成立吗? 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.不对.要看两边同乘的数的符号,同乘一个正数,不等号的方向不变,但是同乘一个负数,不等 号的方向改变. 2.a-c>b-d不一定成立,a-d>b-c一定成立. 3.不一定. 4.不一定.如果a>b,且ab>0,那么 < .如果a>b,且ab<0,那么 > . 5.一定.因为x2-x+1= + >0,所以x2>x-1一定成立. 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 比较实数(代数式)的大小 关键能力 定点破 1.作差比较法 (1)依据:a-b>0⇔a>b;a-b<0⇔a<b;a-b=0⇔a=b. (2)应用范围:数(式)的大小不明显,作差后可化为积或商的形式. (3)步骤:①作差;②变形;③判断符号;④下结论. (4)变形技巧:①分解因式;②平方后再作差;③配方法;④分子(分母)有理化. 2.作商比较法 (1)依据:a>0,b>0且 >1⇒a>b;a>0,b>0且 <1⇒a<b. (2)应用范围:同号两数比较大小. (3)步骤:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④下结论. 第1讲　描述运动的基本概念 典例    (1)已知0<x<1,a=1+x,b=2 ,c= ,试确定a,b,c的大小关系; (2)比较 + 与 + 的大小; (3)已知a>b>0,比较 与 的大小. 解析    (1)当0<x<1时,a-b=1+x-2 =(1- )2>0,a-c=1+x- = <0,故c>a>b. (2)( + )2-( + )2=17+2 -(17+2 )=2 -2 >0, ∴( + )2>( + )2, ∴ + > + . (3)∵a>b>0,∴ >0, >0, ∴ ÷ = ·  = = =1+ >1,∴ > . 第1讲　描述运动的基本概念 1.解决此类问题,一般先建立待求范围的整体与已知范围的关系,然后利用不等式的性质进行 运算,求得待求式的范围. 2.同向(异向)不等式的两边可以相加(相减),但这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多 次使用这种转化,就有可能扩大其取值范围. 定点 2 利用不等式的性质求代数式的取值范围 第1讲　描述运动的基本概念 典例1　已知10<m<25,7<n<23,求m-n与 的取值范围. 解析    ∵7<n<23,∴-23<-n<-7, 又∵10<m<25,∴-13<m-n<18. ∵7<n<23,∴ < < , 又∵10<m<25,∴ < < . 第1讲　描述运动的基本概念 典例2　已知-1<a+b<5,-4<a-b<2,求2a-4b的取值范围. 解析    设2a-4b=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b(x,y∈R), 则 解得  ∴2a-4b=-(a+b)+3(a-b). ∵-1<a+b<5,-4<a-b<2, ∴-5<-(a+b)<1,-12<3(a-b)<6, ∴-17<-(a+b)+3(a-b)<7, 即-17<2a-4b<7. 第1讲　描述运动的基本概念 $