1.1.1 集合-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（湘教版）

该高中数学课件围绕集合的核心概念展开，从集合与元素的定义及特性切入，逐步延伸至元素与集合的关系、常用数集、集合分类及表示方法，构建起由基础概念到应用的学习支架。 其亮点在于通过知识辨析题培养学生的抽象能力（数学眼光），结合含参数集合及方程问题的典例训练推理能力（数学思维），并以规范的集合表示方法强化数学语言表达。采用概念辨析与例题结合的教学方法，帮助学生深化理解，教师可借助此资料提升教学的逻辑性和实效性。

1.1　集合 1.1.1　集合 知识点 1 集合与元素 必备知识 清单破 1.集合与元素 　　在数学语言中,把一些对象放在一起考虑时,就说这些对象组成了一个集合或集.这些对 象中的每一个,都叫作这个集合的一个元素. 2.集合具有的基本属性 (1)互异性:同一集合中的元素是互不相同的. (2)确定性:集合中的元素是确定的. (3)无序性:集合中的元素没有顺序. 第1章　集合与逻辑 高中同步 第1讲　描述运动的基本概念 3.元素与集合的关系 关系 语言表达 符号表示 读法 属于 a是集合S 的一个元素 a∈S a属于S 不属于 a不是集合 S的元素 a∉S (或a􀱁S,a⋷S) a不属 于S 特别提醒 (1)a∈S与a∉S取决于a是不是集合S中的元素,在a∈S与a∉S这两种情况中,必有一种且只有 一种成立. (2)符号“∈”“∉”只能用在元素与集合之间,表示元素与集合之间的归属关系. 第1章　集合与逻辑 高中同步 第1讲　描述运动的基本概念 1.常用数集及其记法 知识点 2 常用数集与集合的分类 常用数集 自然数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N Z Q R 　　通常用R+表示全体正实数组成的集合;类似的有R-,Z+,N+,Q-,…. 2.集合的分类 (1)有限集:元素个数有限的集合. (2)无限集:元素无限多的集合. 　　注意:没有元素的集合叫空集,记作⌀;空集也是有限集. 第1章　集合与逻辑 高中同步 第1讲　描述运动的基本概念 1.列举法 　　把集合中的元素一一列举出来的方法叫作列举法.列举法表示的集合的结构如下: 2.描述法 　　把集合中元素共有的,也只有该集合中元素才有的属性描述出来,以确定这个集合的方 法叫作描述法.描述法表示的集合的一般结构如下: 知识点 3 表示集合的方法 第1章　集合与逻辑 高中同步 第1讲　描述运动的基本概念 1.设a,b是两个实数,a<b. 知识点 4 区间的概念及表示 名称 符号 数轴表示 闭区间 [a,b]   开区间 (a,b)   左闭右开区间 [a,b)   左开右闭区间 (a,b]   2.实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),满足条件x≥a,x>a,x≤b,x<b的实数x组成的集合可用 区间分别表示为[a,+∞),(a,+∞),(-∞,b],(-∞,b). 第1章　集合与逻辑 高中同步 第1讲　描述运动的基本概念 1.数轴上离原点距离很近的所有点能否构成一个集合? 2.某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合? 3.若集合A中含有两个元素a,b,则a,b应满足什么关系? 4.如何区分0,⌀,{0},{⌀}? 5.有人认为{x|y=x2+1},{y|y=x2+1}与{(x,y)|y=x2+1}表示的集合是一样的,这个说法正确吗? 知识辨析 第1章　集合与逻辑 高中同步 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.不能.数轴上离原点距离很近的所有点不满足集合中元素的确定性,因此不能构成一个集 合. 2.能.某班身高高于175厘米的男生是确定的,能构成一个集合. 3.a≠b. 4.0是一个数,⌀,{0},{⌀}都是集合.⌀不含任何元素,{0}含有一个元素0,{⌀}含有一个元素 ⌀. 5.不正确.{x|y=x2+1}=R,{y|y=x2+1}=[1,+∞),{(x,y)|y=x2+1}可表示抛物线y=x2+1上的点的集合. 第1章　集合与逻辑 高中同步 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 集合中元素的特性及应用 关键能力 定点破 1.确定性.它是确定一些对象能否构成集合的重要依据,元素在集合中,元素就满足集合的限 制条件,元素不在集合中,元素就不满足集合的限制条件. 2.互异性.它是决定集合中元素互不相同的依据,意味着集合中不能有重复元素.在含参数的 集合问题中,尤其要注意应用互异性检验所求得的参数的值是否合理. 3.无序性.集合中的元素可以交换顺序,解题过程中仅改变元素顺序并没有改变集合. 第1章　集合与逻辑 高中同步 第1讲　描述运动的基本概念 典例　已知集合A={-1,a2-2a+1,a-4},若4∈A,则a的值为　　　    . 解析    因为4∈A,所以a2-2a+1=4或a-4=4. 若a2-2a+1=4,则a=3或a=-1, 当a=-1时,A={-1,4,-5},满足题意, 当a=3时,a-4=-1,此时不满足集合中元素的互异性,舍去. 若a-4=4,则a=8,此时A={-1,4,49},满足题意. 综上所述,a的值为-1或8. -1或8 第1章　集合与逻辑 高中同步 第1讲　描述运动的基本概念 　　集合的表示方法有列举法和描述法,它们各有优缺点,应根据具体问题进行选择,一般遵 循最简原则. 1.列举法的适用范围 (1)元素个数少时,一般可全部列举出来,如不大于4的正整数可表示为{1,2,3,4}. (2)元素个数多且有限时,若可以将元素按某种规律排列,则可采用列举部分元素,中间用省略 号表示的方法,如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1,2,3,…,1 000}. (3)元素个数无限但有规律时,也可以结合省略号采用列举法,如自然数集N可以表示为{0,1,2, 3,…}. 2.用描述法表示集合时的注意点 (1)写清楚集合中的代表元素,如数或点等. 定点 2 集合的表示方法 第1章　集合与逻辑 高中同步 第1讲　描述运动的基本概念 (2)说明该集合中元素所具有的共同特征. (3)不能出现未经说明的字母. (4)所有描述的内容都要写在大括号内,语言要力求简洁、准确. (5)“{}”有“所有”“全体”的含义,如{x|x为自然数}即代表自然数集N,不能表示为{x|x为 所有自然数}或{N}. 第1章　集合与逻辑 高中同步 第1讲　描述运动的基本概念 典例　用适当的方法表示下列集合: (1)24的正因数组成的集合; (2)大于2且小于5的有理数组成的集合; (3)被3除余2的整数组成的集合; (4)由直线y=-x+4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合; (5)已知集合A= ,用列举法表示集合A. 第1章　集合与逻辑 高中同步 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}. (2)用描述法表示为{x|2<x<5且x∈Q}. (3)用描述法表示为{x|x=3k+2,k∈Z}. (4)解法一:用描述法表示为{(x,y)|y=-x+4,x∈N,y∈N}. 解法二:用列举法表示为{(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)}. (5)∵ ∈N,∴8-x可取的值有1,2,4,8,16,∴x的可能取值有7,6,4,0,-8, 又x∈N,∴x可取7,6,4,0, ∴ 可取16,8,4,2,∴A={2,4,8,16}. 第1章　集合与逻辑 高中同步 第1讲　描述运动的基本概念 　　与方程有关的集合问题中,往往用集合表示方程的解,集合中的元素就是方程的实数根. (1)当方程中含有参数时,一般需对参数进行分类讨论,如在研究方程ax2+bx+c=0(a,b不同时为 0)的解时,需分a=0和a≠0两种情况讨论. (2)在根据方程根的情况确定参数的值或取值范围时,还需要对集合中元素的互异性进行检 验. 定点 3 与方程有关的集合问题 第1章　集合与逻辑 高中同步 第1讲　描述运动的基本概念 典例　已知集合A={x|kx2-8x+16=0}. (1)若集合A中只有一个元素,求实数k的取值集合; (2)若集合A中至少有一个元素,求实数k的取值集合. 思路点拨    集合中只有一个元素表明关于x的方程kx2-8x+16=0只有一个实数根或有两个相 等的实数根;集合中至少有一个元素表明关于x的方程kx2-8x+16=0有一个根或两个根.解题时 应注意对方程的最高次项的系数进行分类讨论. 第1章　集合与逻辑 高中同步 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)①当k=0时,方程kx2-8x+16=0变为-8x+16=0,解得x=2,满足题意; ②当k≠0时,要使集合A={x|kx2-8x+16=0}中只有一个元素, 则方程kx2-8x+16=0有两个相等的实数根, 所以Δ=64-64k=0,解得k=1,此时集合A={4},满足题意. 综上所述,实数k的取值集合为{0,1}. (2)由题意可知,方程kx2-8x+16=0至少有一个实数根. ①当k=0时,方程kx2-8x+16=0变为-8x+16=0,解得x=2,符合题意; ②当k≠0时,要使方程kx2-8x+16=0至少有一个实数根,则Δ=64-64k≥0,即k≤1. 所以k≤1且k≠0. 综上可知,实数k的取值集合为{k|k≤1}. 第1章　集合与逻辑 高中同步 第1讲　描述运动的基本概念 $