06-一元二次不等式中的恒(能)成立问题(突破疑难)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（苏教版）

该高中数学课件聚焦一元二次不等式中的恒（能）成立问题，系统梳理“开口方向+判别式”法、最值直接转化法等四种常用方法，课堂导入可衔接二次函数图象与不等式性质，搭建学习支架帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于通过典例解析对比多种方法，结合数学思维（推理、运算）和数学眼光（多角度观察），如变换主元法培养学生转换视角能力。采用方法总结与易错点提示，学生能提升问题解决能力，教师可获得清晰教学思路与策略。

第3章 不等式 第1讲　描述运动的基本概念 06　一元二次不等式中的恒(能)成立问题 疑难点 第1讲　描述运动的基本概念 解决一元二次不等式中的恒(能)成立问题的常用方法 (1)“开口方向+判别式”法 此方法仅适用于解决在R上的恒(能)成立问题,具体情况如下: 不等式 ax2+bx+c>0(a≠0) ax2+bx+c<0(a≠0) 恒成立     能成立 a>0或  a<0或  第1讲　描述运动的基本概念 (2)最值直接转化法 此方法是直接利用函数的最值求参数的取值范围,是处理一元二次不等式恒(能)成立问题最直接、最 通用的方法.在求函数在所给范围内的最值时,一般涉及二次函数图象的对称轴和给定范围的相对位置 的讨论(对称轴在给定范围左侧、对称轴在给定范围右侧、对称轴在给定范围内);当给定范围为全体 实数R时,二次函数的最值即为二次函数图象顶点的纵坐标,此时该方法等价于“开口方向+判别式” 法. (3)分离参数法 此方法对于解决在R上和在给定范围内的恒(能)成立问题均适用,一般将不等式化为一边是参数,另一 边是关于变量x的表达式(注意分离时需保证分母符号确定,或对分母正负分类讨论),依据不等号和表达 式的最值求参数的取值范围.如:m>y恒成立⇔m>ymax;当x∈[s,t]时,m>y有解⇔当x∈[s,t]时,m>ymin(y是关于 x的表达式). 第1讲　描述运动的基本概念 (4)变换主元法 若目标代数式中含有两个变量,我们要将其中一个变量看成主元,另一个变量看成次元,将问题化归为 有关主元的函数、方程或不等式问题.通常情况下,已知哪个变量的取值范围,就选这个变量当主元(将 问题转化为主元函数在其范围内恒(能)成立问题);求哪个变量的取值范围,就选这个变量当参数,从而 利用主元函数的性质求解参数范围. 第1讲　描述运动的基本概念 勘破疑难 1.在利用“开口方向+判别式”法时,若二次项系数含参数,且题目未指明不等式是一元二次不等式,则 还需考虑系数为0的情况.如:ax2+bx+c>0在R上恒成立的条件为 或  2.特别地,对于y=ax2+bx+c(a≠0),①当a>0时,y<0在α≤x≤β时恒成立⇔ ②当a<0时,y>0在α≤x≤ β时恒成立⇔  深度剖析 一个恒成立的不等式中含有a和x,习惯将x看作变量,a看作参数.但如果题目中已知a的范围,求x的范围, 那么此时要更换主元,将a看作变量,x看作参数,式子是关于a的函数,结合a的取值范围及不等式恒成立 的条件列关于x的关系式,求x的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 典例　已知不等式2x-1>m(x2+2). (1)若∀x∈R,不等式恒成立,求实数m的取值范围; (2)若∃x>1,使不等式能成立,求实数m的取值范围; (3)当-1≤m≤- 时,不等式恒成立,求x的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)对2x-1>m(x2+2)变形,得mx2-2x+2m+1<0. 二次项系数含参数,需对m是不是0进行分类讨论. 当m=0时,不等式为-2x+1<0,解得x> ,不符合题意. 当m≠0时,若不等式恒成立, 则需满足 解得m<-1. 综上,实数m的取值范围是{m|m<-1}. (2)解法一(分离参数法):已知x的范围,求m的范围,所以x是变量,m是参数. 因为x>1, 所以对2x-1>m(x2+2)分离参数,得m< . 第1讲　描述运动的基本概念 由题意得m< ,x>1. 令2x-1=t,则x= ,t>1,所以 = = = ≤ = ,当且仅当t=3,即x=2时取 等号,故 = ,所以实数m的取值范围是 m m<  . 解法二(最值直接转化法):结合(1)知,∃x>1,mx2-2x+2m+1<0能成立. 当m=0时,不等式为-2x+1<0,解得x> ,符合题意. 当m<0时,y=mx2-2x+2m+1的图象开口向下,符合题意. 当m>0时,y=mx2-2x+2m+1的图象开口向上,若∃x>1,使不等式能成立,则需满足y|x=1<0或 解得m< 第1讲　描述运动的基本概念  或0<m< ,所以0<m< . 综上,实数m的取值范围为 m m<  . (3)给定的不等式中含有两个变量,已知m的范围求x的范围,所以将m看作主元,研究关于m的函数的最值. 因为当-1≤m≤- 时,2x-1>m(x2+2)恒成立, 所以当-1≤m≤- 时,(x2+2)m-2x+1<0恒成立. 易知x2+2>0,所以[(x2+2)m-2x+1]max=(x2+2)× -2x+1<0,解得x<-4或x>0, 所以x的取值范围为{x|x<-4或x>0}. 第1讲　描述运动的基本概念 名师点睛 对比第(2)问中的两种方法可以看出,分类讨论的思维量较大,所以若能分离参数,首选参变分离,然后利 用二次函数的性质或基本不等式求最值. 第1讲　描述运动的基本概念 $