3.1不等式的性质（教学课件）数学苏教版2019必修第一册

该高中数学课件聚焦不等式的基本性质，涵盖不等关系的表示、不等式性质（对称性、传递性等）及应用。课堂导入通过电梯限重、牛奶净含量等生活情境，将文字描述转化为数学表达式，联系初中等式性质，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以情境化实例激发兴趣，通过类比等式性质引导学生猜想并证明不等式性质，培养逻辑推理能力。利用作差法比较大小、取值范围求解等例题强化数学运算，结合实际问题构建不等关系渗透数学建模。小结用表格系统梳理性质，学生能提升综合素养，教师可借助丰富例题优化教学流程。

第三章 不等式 3.1不等式的基本性质 苏教版2019必修第一册·高一 学习目标 教学重点：将不等关系用不等式表示出来，理解并证明不等式的性质 教学难点：能用不等式的性质证明一些简单的不等式 通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量关系，掌握不等式的性质； 会用不等式的性质证明简单的不等式； 培养学生观察、类比、辨析、运用的综合思维能力，体会化归与转化、类比等数学思想，提高学生数学运算和逻辑推理能力。 课程目标 学科素养 逻辑推理：运用不等式的性质证明不等式； 数学运算：运用不等式的性质求解证明不等式； 直观想象：在几何图形中发现不等式； 数学建模：能够在实际问题中构建不等关系，解决问题。 新知引入 情境1：在自然界和社会生活中，存在着大量的相等关系、不等关系、函数关系。我们曾经用等式（包括方程）刻画一些相等关系，用不等式刻画一些不等关系，用函数刻画一些函数关系，研究了等式、不等式、函数所具有的性质，并应用这些性质去解决问题。 高矮 胖瘦 轻重 长短 新知引入 情境2：电梯口标“限载人，总重不超过” 问1：如何用不等式表示“总重不超过”？ 问2：若改为“限载人且总重至少”，如何列式？ 情境3：某品牌酸奶质量检查规定，酸奶中脂肪含量应不少于2.5%，蛋白质含量应不少于2.3%。如何用不等式或不等式组表示？用不等式或不等式组表示。 （1）设总重为，则； （2）且人数 新知引入 在数学中，我们用不等式来表示不等关系. 文字语言 数学符号 文字语言 大于 ＞ 大于，高于，超过 小于 ＜ 小于，低于，少于 大于或等于 ≥ 至少，不少于，不低于 小于或等于 ≤ 至多,不多于,不超过 那么我们该如何解不等式呢？与解方程要用等式的性质一样，解不等式要用不等式的性质．为此，我们需要先研究不等式的性质． 新知探究 在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质．那么，这些性质为什么是正确的？还有其他不等式的性质吗？回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实． 形 数 0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆”. 新知探究 在小学和初中，我们知道等式有如下基本性质： 提示：运算中的不变性就是性质. 等式有下面的基本性质： 性质1(对称性) 如果，那么； 性质2(传递性) 如果，,那么； 性质3(可加性) 如果，那么； 性质4(可乘性) 如果，那么； 性质5(可除性) 如果，那么 思考：类比等式的性质，你能猜想出不等式的性质并加以证明吗？ 新知探究 性质1（对称性） 如果，那么；如果，那么 即 证明：由，得 因为正数的相反数是负数， 所以,即 所以 分析 要证 ，只要证. 新知探究 性质2（传递性） 如果，,那么即， 证明: 所以 即 故 分析 要证，只要证 新知探究 性质3（可加性） 如果，那么 证明: 即 . 由性质3可得， 这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边. 分析 要证，只要证，即. 新知探究 性质4（可乘性） 如果，那么如果，那么 证明:因为，所以. 因为, 所以. 所以，则. 同理，因为，所以. 因为, 所以. 所以，则. 小技巧： 本性质告诉我们，不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变； 不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变 新知探究 性质5（同向可加性） 如果，那么 证明:因为由性质3(可加性)，得 ； 由由性质3(可加性)，得 . 再根据性质2(传递性)，即得 小技巧：本性质告诉我们，两个同向不等式两边分别相加，所得的不等式和原不等式同向. 新知探究 性质6（同向同正可乘性） 如果，那么 性质7（同乘方性） 如果，那么 同样的，利用性质4(可乘性)和性质2(传递性)可以推出： 小技巧：性质6告诉我们，两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得的不等式和原不等式同向。 新知探究 如果，那么，即⇔ 可加性 如果那么 可乘性 如果那么，如果那么 同向可加性 如果那么 同向同正可乘性 如果那么 同正可乘方性 如果那么 对称性 如果，那么，如果，那么，即⇔ 传递性 典例精讲 例1. 求解不等式，并用不等式的性质说明理由。 解：不等式两边同乘以，得 . （不等式性质） 两边同加上，得. （不等式性质） 即 两边同乘以，得 （不等式性质） 典例精讲 例2. 已知，，求证： 证明：方法一（作差法）： ∵ 由，得；由，得 因为， 所以. 方法二（性质法）： 因为，所以. 又因为，所以 即 练习巩固 练习1. 练习巩固 变式1-1. 已知，且则下列命题中是真命题的是（ ）. 如果，那么 如果，那么 如果，那么 如果，那么 【答案】 练习巩固 变式1-2 已知，，求证： 证明：方法一（作差法）： ∵ ， 所以， 又因为，所以， 所以 证明：方法二（性质法）： ∵ ∴ 于是，即 由得. 典例精讲 例3. 比较和的大小 解： ∵ 当时，，所以 当时，，所以 作差 变形 判号 结论 作差法比较大小一般步骤 典例精析 作差法比较大小注意： 1.用作差法比较两个数(式)的大小时,其关键是变形,一般采用配方、因式分解、通分、有理化等手段变形,这样有利于定号.特别是作差后的式子为二次三项式时,常考虑因式分解或配方法变形. 2.注意培养逻辑推理素养和数学运算素养. 练习巩固 练习2. 比较和的大小 解： ∵ ∴ 练习巩固 变式2-1. 比较与的大小 解： ∵ ∵ ∴ ∴ 即 练习巩固 变式2-2. 解： 即 所以 练习巩固 练习3. 已知，，求，的取值范围。 解： ∵， ∴ ∴，即 又，∴，即 ∴的取值范围为，的取值范围为 小技巧：求含字母的数(或式子)取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘(同正)不可除. 练习巩固 变式3-1. 已知，，求，的取值范围。 解： ∵， ∴ ∴，即 又，∴，即 ∴的取值范围为，的取值范围为 练习巩固 变式3-2. 已知，，求4的取值范围。 解：（法一）设，得，， ∴ ， ∴ 则，即 故4的取值范围为 练习巩固 变式3-2. 已知，，求4的取值范围。 解：（法二）令， ∴ ∴ ，∴，∴ 又 ，∴ 故4的取值范围为 小结 不等式有下面的基本性质： 性质1(对称性) ； 性质2(传递性) ，； 性质3(可加性) 如果，那么； 性质4(可乘性) 如果，那么 如果，那么； 性质5(同向可加性) 如果，那么； 性质6（同向同正可乘性） 如果，那么 性质7（同乘方性） 如果，那么 感谢聆听 数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正在于各部分之间的联系． ——希尔伯特 $$