第5章 12-单元整合练2 函数性质的综合运用(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（苏教版）

该高中数学课件聚焦函数概念与性质，涵盖奇偶性、单调性、对称性及综合应用，从基础性质判定入手，逐步过渡到综合题与新定义问题，构建从基础到创新的学习支架，帮助学生梳理知识脉络。 其亮点在于通过多样化题型和创新情境，如“互倒函数”“双最值问题”，培养学生用数学眼光观察新问题、用数学思维推理分析（如构造函数转化不等式），用数学语言表达逻辑。学生能提升综合应用与创新能力，教师可借助详细解析优化教学。

第5章 函数概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 专题专项练 单元整合练2　函数性质的综合运用 第1讲　描述运动的基本概念 1.[2026江苏南通期中]已知f(x)=x3+5x,若对于正数a,b,满足f(2a-b)+f(2b-1)=0,则 的最大值为( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.3-2           D 第1讲　描述运动的基本概念 解析　　因为函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=(-x)3+5(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数. 因为y=x3,y=5x均在R上单调递增, 所以f(x)在R上单调递增. 因为f(2a-b)+f(2b-1)=0,所以f(2a-b)=-f(2b-1)=f(1-2b),所以2a-b=1-2b,即2a+b=1,易得 = ,因为 +  =(2a+b)· =3+ + ≥3+2 =3+2 ,当且仅当 = ,即 时取等号,所以 + 的最 小值为3+2 , 所以 的最大值为 =3-2 . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2025江苏扬州中学期中]下列关于函数f(x)= 的说法正确的是 ( ) A.f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2] B.f(x)的值域为[-1,1] C.f(x)的图象关于原点对称 D.f(x)在定义域上单调递增     AC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　要使函数f(x)有意义,需满足 解得-2≤x≤2且x≠0,所以函数f(x)的定义域为[-2,0) ∪(0,2],故A正确. (解4x2-x4≥0,即x2(x-2)(x+2)≤0时,可利用“数轴穿根法”(从右到左,从上到下,奇穿偶切)进行求解) 当0<x≤2时, f(x)= =- ,易知函数f(x)单调递增,所以f(x)∈(-2,0]; 当-2≤x<0时, f(x)= = ,易知函数f(x)单调递增, 所以f(x)∈[0,2), 所以f(x)的值域为(-2,2),故B错误. 由A知f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2],关于原点对称,所以f(x)= = ,又f(-x)=-f(x),所以f(x)为 奇函数,其图象关于原点对称,故C正确. 第1讲　描述运动的基本概念 由B知f(x)的单调递增区间是(0,2],[-2,0),故D错误. (单调区间不能用“∪”连接,所以不能说f(x)的单调递增区间是[-2,0)∪(0,2]) 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025广东汕尾期末]函数g(x)与t(x)的图象关于y轴对称,且t(x)=-x3+12x,g(x)=f(x+2)+16,下列判断正确 的是 ( ) A.g(x)=x3+12x　　     B.g(x)是偶函数 C. f(x)是奇函数　　     D. f(x)的图象关于点(2,-16)对称     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　对于A,因为g(x)与t(x)的图象关于y轴对称,所以g(x)=t(-x)=-(-x)3+12(-x)=x3-12x,故A错误. 对于B,g(x)=x3-12x,其定义域为R,关于原点对称,g(-x)=(-x)3-12(-x)=-x3+12x=-g(x),所以g(x)是奇函数,故B 错误. 对于C,因为g(x)=f(x+2)+16,所以f(x+2)=g(x)-16=x3-12x-16,所以f(x)=(x-2)3-12(x-2)-16=x3-6x2+12x-8-12x+24 -16=x3-6x2, 因为f(-x)=(-x)3-6(-x)2=-x3-6x2, f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x),所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数,故C错误. 对于D,由g(x)=f(x+2)+16,可知将g(x)的图象向右平移2个单位长度,再向下平移16个单位长度得到f(x)的 图象,因为g(x)是奇函数,其图象关于原点对称,所以f(x)的图象关于点(2,-16)对称,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026江苏南京金陵中学月考]已知函数f(x)和g(x)的定义域均为R,y=f(x)为偶函数,y=g(x)+1为奇函数, ∀x∈R,均有f(x)+g(x)=x2+4,则f(4)g(4)= ( ) A.21　　    B.-21　　    C.121　　    D.0     B     解析　　因为y=f(x)为偶函数, 所以f(-4)=f(4). 因为y=g(x)+1为奇函数,所以g(-4)+1=-g(4)-1,所以g(-4)=-g(4)-2. 因为f(x)+g(x)=x2+4,所以f(4)+g(4)=42+4=20①, f(-4)+g(-4)=(-4)2+4=20,即f(4)-g(4)-2=20,所以f(4)-g(4)=22 ②. 联立①②,得f(4)=21,g(4)=-1, 所以f(4)g(4)=-21. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026江苏连云港期中]已知f(x)是定义在R上的函数, f(x)的图象关于点(0,0)对称,对任意的x1,x2∈[0,+ ∞),都有  <-1,若f(a2-1)+f(a-1)+a2+a>2,则实数a的取值范围为 ( ) A.{a|a<-1或a>2}　　    B.{a|a<-2或a>1}　　     C.{a|-2<a<1}　　     D.{a|a<1或a>2}     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由题意得, f(x)为奇函数. 因为  <-1, 所以  +1<0, 即  <0. 构造函数g(x)=f(x)+x, 则 <0,所以g(x)在R上单调递减. 易得g(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x=-g(x),且g(x)的定义域关于原点对称,所以g(x)为奇函数. 由f(a2-1)+f(a-1)+a2+a>2得f(a2-1)+a2-1>-[f(a-1)+(a-1)],即g(a2-1)>-g(a-1),即g(a2-1)>g(1-a), 所以a2-1<1-a,即a2+a-2<0,解得-2<a<1, 所以实数a的取值范围为{a|-2<a<1}. 第1讲　描述运动的基本概念 6.已知函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数.记函数g(x)=2f(2x+1)+1,则 g = ( ) A.25　　    B.27　　    C.29　　    D.31     D 第1讲　描述运动的基本概念 解析　　因为f(x+1)为奇函数,且f(x+1)的图象是由f(x)的图象向左平移1个单位长度得到的,所以f(x)的 图象关于点(1,0)对称,所以f(2-x)=-f(x),f(1)=0. 因为f(x+2)为偶函数,且f(x+2)的图象是由f(x)的图象向左平移2个单位长度得到的,所以f(x)的图象关于 直线x=2对称,所以f(2-x)=f(2+x),则f(3)=0, f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(2k-1)=0,k∈Z. 因为f(x)的图象关于直线x=2对称,也关于点(1,0)对称, 所以f(x)的图象关于点(3,0)对称,所以f(2)+f(4)=0, 所以f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0, 所以 f(k+1)=7[f(2)+f(3)+f(4)+f(5)]+[f(2)+f(3)+f(4)]=0, 因为g =2f(k+1)+1,k∈Z, 所以 g =2 f(k+1)+31=31. 第1讲　描述运动的基本概念 知识拓展　函数y=f(x)的定义域为D,∀x∈D, (1)存在常数a,b,使得f(x)+f(2a-x)=2b,即f(a+x)+f(a-x)=2b,则函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称; (2)存在常数a,使得f(x)=f(2a-x),即f(a+x)=f(a-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2025江苏苏州期中]已知函数f(x)= 若f(2)是函数f(x)的最小值,则实数a的取值范围是 _________.     [2,4] 第1讲　描述运动的基本概念 解析　当a<2且x≤2时, f(x)=|x-a|+2≥2=f(a),与f(x)min=f(2)矛盾,所以a≥2. 易知函数y=x2-ax+2a的图象的对称轴为直线x= . 当 ≤2,即2≤a≤4时,函数f(x)在(2,+∞)上单调递增,所以f(2)=|2-a|+2=a-2+2=a≤4-2a+2a=4,所以2≤a≤ 4. 当 >2,即a>4时,对于x>2, f(x)min=f  =2a- , 由题意得f(2)=a≤2a- ,整理得a2-4a≤0,解得0≤a≤4,所以当a>4时,无符合题意的a. 综上,实数a的取值范围是[2,4]. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026江苏启东中学测试]设函数f(x)的定义域为R,f(-1-x)=-f(-1+x),f(3+x)=f(1-x),当x∈[-1,2]时,f(x)=ax2+ b.若f(1)+f(3)=0,且f(-4)+f(3)=-3,则f =_____. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为f(-1-x)=-f(-1+x), 所以f(-2-x)=-f(x). 因为f(3+x)=f(1-x),所以f(4-x)=f(x),所以f(-2-x)=-f(4-x), 所以f(x+6)=-f(x),所以f(x+12)=-f(x+6)=f(x). 对于f(3+x)=f(1-x),令x=0,得f(3)=f(1),又f(1)+f(3)=0,所以f(1)=0,所以f(1)=a+b=0①. 因为f(-4)+f(3)=-3, f(-1-x)=-f(-1+x),所以-f(2)+f(1)=-3,所以f(2)=3,所以f(2)=4a+b=3②. 联立①②,得a=1,b=-1, 所以当x∈[-1,2]时, f(x)=x2-1, 所以f =f =f =-f =-f =-f =-f =- = . 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026湖北荆州中学期中]若对于函数f(x)定义域内的每一个x,都有f(x)=f 成立,则称该函数为“互倒 函数”.已知函数f(x)是定义域为 的“互倒函数”,且当x∈[1,4]时, f(x)= + ,若存在区间[m,n](m< 1)满足:∀x1∈[m,n],∃x2∈[m,n],使得f(x1)·f(x2)=1,则mn的取值范围为___________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为当x∈[1,4]时, f(x)= + 且f(x)为“互倒函数”, 所以当x∈ 时, f(x)=f =x2+ ,画出y=f(x)在 上的图象,如图.   当n≤1时, f(x)在[m,n]上单调递增,故f(x)在[m,n]上的值域为 (设为D1), 则 在[m,n]上的值域为 (设为D2), 第1讲　描述运动的基本概念 由题意得D1⊆D2, 故m2+ ≥ 且n2+ ≤ , 所以  =1,所以n2= - ,其中 ≤m<n≤1, 故 故 ≤m2< ,所以m2n2= - m2= -  , 易知 ≤m2+ <1,函数y=t+ 在 上单调递减, 所以2<m2+ + ≤ , 第1讲　描述运动的基本概念 所以 ≤m2n2< ,所以 ≤mn< . 当1<n≤4时, f(x)在[m,1)上单调递增,在[1,n]上单调递减,故f(x)在[m,n]上的值域为 min m2+ , +  ,   ,故 在[m,n]上的值域为 , 由题意可得min = , 若m< ,则m2+ = ,故m2= ,即m= ,故mn= n, 又1<n< = ,所以 <mn<1, 若 ≤m,则 + = ,故n2=6,即n= ,故mn= m,又 ≤m<1,所以1≤mn< . 第1讲　描述运动的基本概念 综上,mn的取值范围是 . 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026四川南充嘉陵第一中学月考]已知函数f(x)=x2+ax+3,a∈R. (1)若函数y= 的定义域为R,求实数a的取值范围; (2)若对任意的x∈(1,2], f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围; (3)若函数g(x)=f(x)-(a-2)x+a,函数y=g(g(x))的最小值是5,求实数a的值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意得,对任意的x∈R,x2+ax+3≠0,所以Δ=a2-12<0,解得-2 <a<2 ,所以实数a的取值范围 是(-2 ,2 ). (2)由f(x)≥a得x2+ax+3≥a,即-a·(x-1)≤x2+3. 因为x∈(1,2],所以0<x-1≤1. 令m=x-1,则m∈(0,1],x=m+1, 所以-am≤(m+1)2+3=m2+4+2m, 所以-a≤m+ +2. 令p(m)=m+ +2,m∈(0,1], 易知函数p(m)在(0,1]上单调递减, 所以p(m)min=p(1)=7,所以-a≤7,解得a≥-7. 第1讲　描述运动的基本概念 所以实数a的取值范围是[-7,+∞). (3)易得g(x)=f(x)-(a-2)x+a=(x+1)2+a+2≥a+2. 令t=g(x),则t≥a+2,y=g(g(x))=g(t)=(t+1)2+a+2,t≥a+2. 易知g(t)的图象开口向上,对称轴方程为t=-1. 当a+2<-1,即a<-3时,g(t)在[a+2,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,所以g(t)≥g(-1)=a+2=5,解得a=3,不 满足a<-3,舍去. 当a+2≥-1,即a≥-3时,g(t)在[a+2,+∞)上单调递增,所以g(t)≥g(a+2)=a2+7a+11=5,解得a=-1或a=-6(舍去). 综上,a=-1. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026江苏盐城期中]已知函数f(x)的定义域为R,∀x,y∈R, f(x+y)=f(x)+f(y)-1,当x>0时, f(x)<1,且f(1)=- 2. (1)求f(0)的值,并证明y=f(x)-1是奇函数; (2)证明:f(x)是R上的减函数; (3)解关于x的不等式f(2x2)-2f(x)<f(3x)+4. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)对于f(x+y)=f(x)+f(y)-1, 令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0)-1,所以f(0)=1. 令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)-1,所以f(x)+f(-x)=2,所以f(-x)-1=-[f(x)-1],所以y=f(x)-1是奇函数. (2)证明:任取x1,x2∈R,且x1>x2. f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-1-f(x2)=f(x1-x2)-1. 因为x1>x2,所以x1-x2>0. 又因为x>0时, f(x)<1,所以f(x1-x2)<1,即f(x1-x2)-1<0,即f(x1)-f(x2)<0,所以f(x1)<f(x2),所以f(x)是R上的减函数. (3)由f(2x2)-2f(x)<f(3x)+4,得f(2x2)<f(x)+f(x)+f(3x)+4,即f(2x2)<f(x)+f(x)-1+f(3x)+5,即f(2x2)<f(2x)+f(3x)+5,即f (2x2)<f(2x)+f(3x)-1+6,即f(2x2)<f(5x)+6. 因为f(1)=-2,所以f(2)=2f(1)-1=-5,又f(-2)+f(2)=2,所以f(-2)=7, 所以f(2x2)<f(5x)+f(-2)-1=f(5x-2). 第1讲　描述运动的基本概念 由(2)知, f(x)是R上的减函数,所以2x2>5x-2,即2x2-5x+2>0,解得x< 或x>2,所以不等式f(2x2)-2f(x)<f(3x)+4 的解集为 ∪(2,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2026江苏南京第二十九中学检测]已知函数f(x)=x|x|+ax+a,g(x)= ,a,b∈R且a<b. (1)判断函数g(x)的奇偶性; (2)若g(x)为奇函数,且对任意的x1∈[1,+∞),都存在x2∈[1,+∞),使得f(x2)=g(x1),求实数a的取值范围; (3)若函数f(x)与g(x)在区间(a3,b3)上单调性一致(同时递增或同时递减),求b-a的最大值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当b=0时,g(x)= ,其定义域为{x|x≠0},关于原点对称,又g(-x)=- =-g(x),所以g(x)为奇函数. 当b≠0时,g(x)的定义域为{x|x≠-b},因为b≠0,所以定义域不关于原点对称,所以g(x)既不是奇函数也不 是偶函数. (2)因为g(x)为奇函数,所以结合(1)得g(x)= . 因为对于任意的x1∈[1,+∞),都存在x2∈[1,+∞),使得f(x2)=g(x1),所以函数g(x)在区间[1,+∞)上的值域是 函数f(x)在区间[1,+∞)上的值域的子集. 易知当x∈[1,+∞)时,g(x)= 的值域为(0,2]. 若x≥1,则f(x)=x2+ax+a,易知函数y=x2+ax+a的图象的对称轴方程为x=- . ①若- ≤1,即a≥-2,则f(x)=x2+ax+a在[1,+∞)上的最小值为f(1)=2a+1, 第1讲　描述运动的基本概念 故值域为[2a+1,+∞),所以2a+1≤0,所以-2≤a≤- . ②若- >1,即a<-2,则f(x)=x2+ax+a在[1,+∞)上的最小值为f =- +a, 故值域为 ,所以- +a≤0,解得a≤0或a≥4,所以a<-2. 综上,实数a的取值范围为 -∞,-  . (3)易知g(x)= 在(-∞,-b),(b,+∞)上单调递减,所以要求f(x)的单调递减区间. 易得f(x)=  易知y=-x2+ax+a的图象的对称轴方程为x= ,y=x2+ax+a的图象的对称轴方程为x=- . 当a≥0时,x= ≥0,x=- ≤0,所以f(x)在R上单调递增,不满足题意. 第1讲　描述运动的基本概念 当a<0时,x= <0,x=- >0,所以f(x)在 , 上单调递增,在 上单调递减, 所以 所以- ≤a<0, 所以b3≤- ≤ ,所以b≤ , 所以b-a≤ - = ,当且仅当a=- ,b= 时,等号成立, 此时a3=- ,b3= . 所以g(x)= 在 和 上单调递减,易得g(x)在 上单调递减. 第1讲　描述运动的基本概念 由上述分析得,当a<0时, f(x)在 上单调递减,所以f(x)在 上单调递减,满足题意. 所以b-a的最大值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　创设新情境考查函数的基本性质 13.[2025辽宁名校联盟联考] {f(x,y)}表示当自变量x∈A时函数f(x,y)的最大值, {f(x,y)}表示当自变 量x∈A时函数f(x,y)的最小值,已知函数f(x,y)=-5xy+ (x+y)-2,则 { {f(x,y)}}=_________. 　-  第1讲　描述运动的基本概念 思路点拨 当y∈[0,1]时,f(x,y)= y+ x-2,将其看成关于y的函数,结合一次函数的单调性得 {f(x,y)}=  再结合分段函数的性质分析求解. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得 {f(x,y)} =   =   =  所以 { {f(x,y)}} =  , 第1讲　描述运动的基本概念 当0≤x≤ 时,函数t1=- x- 单调递减,故t1=- x- 的最小值为- × - =- ; 当 <x≤1时,函数t2= x-2单调递增,所以t2= x-2> × -2=- , 故  =- , 即 { {f(x,y)}}=- . 第1讲　描述运动的基本概念 $