第5章 04-5.3 02-第2课时 函数的最值(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（苏教版）

该高中数学课件聚焦函数的单调性与最值，从函数概念与性质引入，通过基础过关练与能力提升练，衔接单调性判定与最值求解，以题组和解题模板为支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于通过分类讨论（如二次函数对称轴与区间关系）、解题模板（如双绝对值函数分段法）培养数学思维，结合实例（如含参二次函数最值）提升推理能力，助力学生掌握方法，教师可高效开展分层教学。

第5章 函数概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 5.3　函数的单调性 第2课时　函数的最值 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　函数的单调性与最值 1.[2025北京第五十五中学期中]已知函数f(x)的定义域为[0,1],则“f(x)在区间[0,1]上单调递增”是“f (x)在区间[0,1]上的最大值为f(1)”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件     A     解析　　当f(x)在区间[0,1]上单调递增时, f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(1),故充分性成立;若f(x)在区间 [0,1]上的最大值为f(1),则f(x)在区间[0,1]上不一定单调递增,故必要性不成立.所以“f(x)在区间[0,1]上 单调递增”是“f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(1)”的充分不必要条件. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2025江苏南京外国语学校期中]函数f(x)= 在区间[2,6]上的最大值为 ( ) A.3　　    B. 　　    C.2　　    D.      A     解析　　易知f(x)= = =1+ , 所以函数f(x)在区间[2,6]上单调递减, 所以f(x)在[2,6]上的最大值为f(2)=3. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026江苏常州北郊高级中学期中]已知函数f(x)=|2x-1|+|3-x|,x∈R,则f(x)的最小值为 ( ) A.2.5　　    B.5　　    C.3　　    D.4.5     A     解析　    f(x)=|2x-1|+|3-x|= 所以f(x)在 -∞,  上单调递减,在 上单调递增.所以f(x) 的最小值为f =2.5. 第1讲　描述运动的基本概念 解题模板　含双绝对值的函数最值问题,应先将绝对值函数去掉绝对值符号转换成分段函数的形式,再 求每段函数的取值情况,最后综合各段的函数值,得函数的最值. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026广东深圳期中]已知函数f(x)=2x2-2ax+3. (1)当a=2时,求函数f(x)在区间[-1,2]上的值域; (2)求函数f(x)在区间[-1,1]上的最小值g(a). 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当a=2时, f(x)=2x2-4x+3,其图象的对称轴为直线x=1,故f(x)=2x2-4x+3在区间[-1,1]上单调递减, 在区间[1,2]上单调递增,则f(x)min=f(1)=1, f(x)max=f(-1)=9,故函数f(x)在区间[-1,2]上的值域为[1,9]. (2)函数f(x)=2x2-2ax+3的图象的对称轴为直线x= , 当 <-1,即a<-2时, f(x)在区间[-1,1]上单调递增,故g(a)=f(-1)=5+2a; 当-1≤ ≤1,即-2≤a≤2时, f(x)在区间 -1,  上单调递减,在区间  ,1 上单调递增,故g(a)=f    =-  +3; 当 >1,即a>2时, f(x)在区间[-1,1]上单调递减,故g(a)=f(1)=5-2a. 综上所述,g(a)=  第1讲　描述运动的基本概念 解题模板　求二次函数f(x)在区间[a,b]上的最大(小)值时,先求得f(x)图象的对称轴,再讨论区间[a,b]与 图象的对称轴的位置关系,结合函数的图象与单调性可得f(x)在区间[a,b]上的最大(小)值. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　函数最值的应用 5.二次函数y=ax2+4x+a的最大值是3,则a= ( ) A.-1　　    B.1　　     C.-2　　    D.-      A     解析　　因为二次函数有最大值,所以a<0, 因为二次函数y=ax2+4x+a的最大值为 = ,所以 =3,所以a2-3a-4=0,解得a=4或a=-1. 又因为a<0,所以a=-1. 第1讲　描述运动的基本概念 6.已知函数f(x)=-x2-2x+3在区间[a,2]上的最大值为 ,则a等于 ( ) A. 　　     B. 　　     C.- 　　    D. 或-      C     解析　　函数f(x)=-x2-2x+3=-(x+1)2+4的图象的对称轴为直线x=-1, 若a≤-1,则当x=-1时,函数f(x)取得最大值,且最大值为4,不满足题意; 若-1<a<2,则函数f(x)在区间[a,2]上单调递减,所以当x=a时,函数f(x)取得最大值,且最大值为f(a)=-a2-2a+3, 令f(a)= , 解得a=- 或a=- (舍去). 故a的值为- . 第1讲　描述运动的基本概念 7.[多选题][2025江苏淮安七校联盟期中]已知函数f(x)= 的值域为R,则实数a的取值可 以为 ( ) A.0　　    B.-1　　     C.1　　    D.      AB     解析　　当x≥1时, f(x)=x- ,易知其在[1,+∞)上单调递增,所以f(x)≥0. 要使函数f(x)的值域为R,则需满足 解得-1≤a< . 结合选项可知,实数a的取值可以为0,-1. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026江苏无锡洛社高级中学期中]已知函数f(x)=x|x-4|在区间[a,b]上的值域为[0,4],则b-a的最大值为  ( ) A.2+ 　　     B.4　　     C.2+2 　　    D.4      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　    f(x)=x|x-4|= 作出其图象如图所示.   令f(x)=0,得x=0或x=4; 令f(x)=4,得x=2或x=2+2 . 因为函数f(x)在区间[a,b]上的值域为[0,4],且b-a有最大值, 所以只需a最小,b最大,即a=0,b=2+2 即可,此时b-a=2+2 . 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026江苏扬州期中]已知函数f(x)=x|x-m|,若∀x∈[1,4],都有f(x)≤4,则实数m的取值范围是 ( ) A.[1,4]　　    B.[2,4]　　     C.[3,4]　　    D.[1,3]     C     解析　    ∀x∈[1,4], f(x)≤4,即∀x∈[1,4],x|x-m|≤4,所以∀x∈[1,4],|x-m|≤ ,即∀x∈[1,4],- ≤x-m≤ , 即∀x∈[1,4],x- ≤m≤x+ ,即 ≤m≤ , 易知y=x- 在[1,4]上单调递增,所以当x=4时, =4-1=3, 因为x>0,所以y=x+ ≥2 =4,当且仅当x= ,即x=2时取等号, 所以当x=2时, =2+2=4. 综上,3≤m≤4,即实数m的取值范围是[3,4]. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026江苏无锡市北高级中学检测]设f(x)= 若f(0)是f(x)的最小值,则a的取值范围为 __________.     [-1,0] 解析　当x=0时, f(0)=a2, 因为f(0)是f(x)的最小值, 所以f(x)在(-∞,0]上单调递减,即-a≥0,得a≤0,且a2≤x+ +a,x>0恒成立. 因为当x>0时,x+ ≥2 =2,当且仅当x=1时取等号,所以a2≤2+a,解得-1≤a≤2. 综上,a的取值范围为[-1,0]. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 5.3　函数的单调性 第2课时　函数的最值 第1讲　描述运动的基本概念 题组　函数最值的应用 1.[多选题][2026安徽皖江名校联盟联考]已知函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值,则函数g(x)=  在区间[1,+∞)上一定 ( ) A.单调递减　　    B.单调递增 C.有最小值　　    D.有最大值     BC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　易知函数f(x)的图象开口向上,对称轴方程为x=a. 因为函数f(x)在(-∞,1)上有最小值,所以a<1. 易得g(x)= = =x+ -2a. 当a=0时,g(x)=x,其在[1,+∞)上单调递增,有最小值,无最大值. 当0<a<1时,函数g(x)在[1,+∞)上单调递增,有最小值,无最大值. 当a<0时,函数g(x)在[1,+∞)上单调递增,有最小值,无最大值. 综上,函数g(x)在[1,+∞)上单调递增,有最小值,无最大值. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江苏苏州国际外语学校检测]已知函数f(x)=x2+2,g(x)=- +m,若∃x1∈[-2,3],∀x2∈ ,使得f (x1)≥g(x2),则实数m的取值范围为 ( ) A.{m|m≤6}　　    B.{m|m≤7} C.{m|m≤-3}　　    D.{m|m≤-2}     A     解析　　由题意得f(x)在[-2,3]上的最大值大于或等于g(x)在 上的最大值.易知函数f(x)=x2+2在[- 2,0]上单调递减,在[0,3]上单调递增,且f(-2)=(-2)2+2=6, f(3)=32+2=11,所以当x∈[-2,3]时,f(x)max=11. 易知函数g(x)=- +m在 上单调递增,所以当x∈ 时,g(x)max=g =- +m=m+5.所以11 ≥m+5,解得m≤6,所以实数m的取值范围是{m|m≤6}. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[多选题][2025湖北部分高中联考协作体期中]已知函数f(x)=x+ 在[2,4]上的最大值比最小值大1,则 正数a的值可以是 ( ) A.2　　    B.2 　　    C.2- 　　    D.2+      AD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　易知函数f(x)=x+ (a>0)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增, 当0<a≤2时,函数f(x)在[2,4]上单调递增,所以当x∈[2,4]时, f(x)max=f(4)=4+ , f(x)min=f(2)=2+ ,所以4+  -2- =1,解得a=2或a=-2(舍去). 当a≥4时,函数f(x)在[2,4]上单调递减,所以当x∈[2,4]时, f(x)min=f(4)=4+ , f(x)max=f(2)=2+ ,所以2+ -4 - =1,解得a=±2 (舍去). 当2<a<4时,函数f(x)在[2,a]上单调递减,在[a,4]上单调递增,所以当x∈[2,4]时, f(x)min=f(a)=2a,且f(2)=2+  , f(4)=4+ , 若4+ >2+ ,即2<a<2 ,则4+ -2a=1,解得a=2(舍去)或a=6(舍去); 第1讲　描述运动的基本概念 若4+ ≤2+ ,即2 ≤a<4,则2+ -2a=1,解得a=2+ 或a=2- (舍去). 综上所述,a=2+ 或a=2. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026江苏宿迁宿豫中学调研]设函数f(x)= 若f(x)存在最小值,则实数a的最小值为( ) A.-4　　    B.-3　　    C.-2　　    D.0     B 解析　    y=x+4在(a,+∞)上单调递增,对应值域为(a+4,+∞), 当a≤-2时,y=(x+2)2在(-∞,a]上单调递减,对应值域为[(a+2)2,+∞), 而(a+2)2-a-4=a2+3a=a(a+3), 若a(a+3)>0,则a<-3(a>0舍),此时(a+2)2>a+4, f(x)不存在最小值, 若a(a+3)≤0,则-3≤a≤0,即-3≤a≤-2,此时(a+2)2≤a+4,则f(x)的最小值为(a+2)2, 当a>-2时,y=(x+2)2在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,a]上单调递增,对应值域为[0,+∞),此时a+4>2>0,则f(x)的 最小值为0. 综上,a≥-3,故a的最小值为-3. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025江苏南京师范大学附属中学期中]已知5≤a≤50,函数f(x)=x+ 在(0,a]上的最小值为m1,在[a,+ ∞)上的最小值为m2,若存在两个不同的a,使得m1m2=t成立,则实数t的取值范围是_____________.     (400,500] 解析　易知f(x)在(0,10)上单调递减,在[10,+∞)上单调递增. 当5≤a<10时,函数f(x)在(0,a]上单调递减,在(a,10)上单调递减,在[10,+∞)上单调递增,所以m1=f(a)=a+  ,m2=f(10)=20,所以m1m2=20 ∈(400,500]. 当a=10时,函数f(x)在(0,10]上单调递减,在[10,+∞)上单调递增,所以m1=m2=f(10)=20,所以m1m2=400. 当10<a≤50时,函数f(x)在(0,10]上单调递减,在(10,a)上单调递增,在[a,+∞)上单调递增,所以m1=f(10)=20, m2=f(a)=a+ ,所以m1m2=20 ∈(400,1 040]. 因为存在两个不同的a,使得m1m2=t成立,所以t∈(400,500]∩(400,1 040]=(400,500]. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026江苏淮阴中学月考]已知函数f(x)=x|x-a|+2,若∃x1,x2∈[0,2],使得|f(x1)-f(x2)|>2,则实数a的取值范围 为__________________.     (-∞,1)∪(2  ,+∞) 第1讲　描述运动的基本概念 解析　命题“∃x1,x2∈[0,2],使得|f(x1)-f(x2)|>2”的否定为命题q:“∀x1,x2∈[0,2],都有|f(x1)-f(x2)|≤2”, 若命题q成立,则当x∈[0,2]时, f(x)max-f(x)min≤2. 当x∈[0,2]时, f(x)=x|x-a|+2≥2,且f(0)=2,所以f(x)min=f(0)=2,所以f(x)max≤4. 当x∈[0,2]时, f(x)=x|x-a|+2=|x(x-a)|+2,所以|x(x-a)|max≤2,即-2≤x(x-a)≤2在x∈[0,2]上恒成立. 当x=0时,上式成立. 当x≠0时,x- ≤a≤x+ 在x∈(0,2]上恒成立,所以 ≤a≤ (x∈(0,2]). 易知函数y=x- 在(0,2]上单调递增,所以 =2-1=1. 因为x+ ≥2 ,当且仅当x= ,即x= 时,等号成立,所以 =2 , 所以1≤a≤2 .所以所求实数a的取值范围为(-∞,1)∪(2 ,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026江苏常熟期中]已知函数f(x)=x2+ax-1- + . (1)当x∈[1,3]时, f(x)的最小值为 ,求实数a的值; (2)当x∈[2,+∞)时, f(x)≥-2恒成立,求实数a的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)f(x)=x2+ +a -1= +a +1. 令t=x- ,x∈[1,3]. 因为函数t=x- 在[1,3]上单调递增,所以t∈ , 令g(t)=t2+at+1,t∈ . 所以问题转化为g(t)=t2+at+1,t∈ 的最小值为 ,求实数a的取值范围. 易知函数y=t2+at+1的图象开口向上,对称轴方程为t=- . 当- ≤0,即a≥0时,g(t)在 上单调递增,所以g(t)min=g(0)=1≠ ,与题意不符. 当0<- < ,即- <a<0时,g(t)在 上单调递减,在 上单调递增,所以g(t)min=g =- +1,所以 第1讲　描述运动的基本概念 - +1= ,所以a=- . 当- ≥ ,即a≤- 时,g(t)在 上单调递减,所以g(t)min=g = + ,所以 + = ,解得a=- ,因为-  >- ,所以a=- 不合题意,舍去. 综上,a=- . (2)当x≥2时,t=x- ≥2- = ,所以问题转化为g(t)≥-2在 上恒成立,求实数a的取值范围. 由t2+at+1≥-2得at≥-t2-3, 所以a≥- 在 上恒成立. 因为t+ ≥2 ,当且仅当t= ,即t= 时取等号,所以- ≤-2 , 所以a≥-2 ,故实数a的取值范围为[-2 ,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026吉林白山第二中学期中]设f(x)=x2-2tx+1,g(x)=-x2+4tx+1,其中t>0,记F(x)=min{f(x),g(x)}. (1)若t=1,求F(x)的值域; (2)若t>0,记函数h(x)=f(x)+tx-1+t2,对任意的x∈ ,总存在m∈ ,使得h(x)=m成立,求实数t的取值 范围; (3)若∀x∈[0,3], ≤ ,求实数t的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    解析    (1)当t=1时, f(x)=x2-2x+1,g(x)=-x2+4x+1. 在同一平面直角坐标系中作出y=f(x),y=g(x)的图象,如图1所示,则y=F(x)的图象如图2所示.        由图2可知F(x)的值域为(-∞,4]. (2)易得h(x)=f(x)+tx-1+t2=x2-tx+t2= + t2. 因为t>0,且 <t,所以t>1. 第1讲　描述运动的基本概念 当t> 时, < t,所以h(x)在 上单调递减,在 上单调递增,且t- t> t- ,所以h(x)在x=t处取得最 大值t2,在x= t处取得最小值 t2,所以h(x)∈ . 当1<t≤ 时, ≥ t,所以h(x)在 上单调递增,所以h(x)∈ . 若对任意的x∈ ,总存在m∈ ,使得h(x)=m成立,则h(x)在x∈ 上的值域为 的子集, 所以 或  解得 <t≤2或1<t≤ ,所以实数t的取值范围为(1,2]. (3)令f(x)=g(x),解得x=0或x=3t,所以y=F(x)的图象如图3所示. 第1讲　描述运动的基本概念   因为∀x∈[0,3], ≤ , 所以∀x∈[0,3],-1≤F(x)≤2,易得F(0)=1,F(3t)=3t2+1,F(t)=1-t2, 当t≥3时,F(x)在[0,3]上单调递减, 所以只需F(3)≥-1即可,即F(3)=f(3)=10-6t≥-1,解得t≤ ,与t≥3矛盾,舍去. 当1<t<3时,3t>3,此时F(x)在[0,3]上的最小值为F(t)=1-t2, 所以只需要F(t)=1-t2≥-1,F(3)=f(3)=10-6t≤2,解得 ≤t≤ . 第1讲　描述运动的基本概念 当0<t≤1时,3t≤3,此时F(x)在[0,3]上的最大值为F(3t),所以只需F(t)=1-t2≥-1,F(3)=g(3)=-8+12t≥-1且F(3 t)=3t2+1≤2,无解. 综上,实数t的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 $