专题一 微专题(一)　集合情境的新定义课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“集合情境的新定义”专题，依据高考评价体系梳理了新概念、新运算两大核心考查方向，通过典型例题（如集合划分、P(m)子集问题）明确高频考点分布，构建了“理解定义—关联知识—迁移应用”的解题思路体系，体现高考备考的针对性。 课件亮点在于“题型分类+方法提炼+变式训练”的实战策略，如例1通过分类枚举法解析4元素集合的划分问题，培养学生的数学思维和创新意识，方法与技巧部分指导信息迁移能力，帮助学生掌握新定义问题的解题关键，教师可据此精准开展专题复习，提升学生高考冲刺效率。

微专题(一)　集合情境的新定义 题型探究 题型1 题型2 返回目录 题型1　集合情境的新概念 题型探究 返回目录 D 题型探究 返回目录 题型探究 返回目录 方法与技巧 题型探究 返回目录 变式探究 12 题型探究 返回目录 题型探究 返回目录 题型探究 返回目录 题型2　集合情境的新运算 题型探究 返回目录 题型探究 返回目录 题型探究 返回目录 题型探究 返回目录 题型探究 返回目录 题型探究 返回目录 题型探究 返回目录 方法与技巧 题型探究 返回目录 变式探究 题型探究 返回目录 题型探究 返回目录 题型探究 返回目录 题型探究 返回目录 所谓“新定义”型试题，是指题目涉及中学数学教材中未出现过的、学生未知的新概念、新图形、新性质、新运算、新公式等，需要学生利用题干中的信息，现学现用，进行阅读理解并解答题目．这类试题集新颖性、独特性、综合性、应用性、探索性和开放性于一体，在全面考查数学知识、方法及思想的基础上，进一步考查创新探究能力与学习潜力等综合素质，需要学生利用已有知识、能力进行阅读理解并解决问题，旨在考查学生的阅读理解能力、应变能力和创新能力． 集合的新定义问题属于创新性题型，题目中涉及的集合概念往往是教材中没有出现过的，需先理解题干的新定义，找到它与已有知识的联系，并运用这些联系来解题，旨在考查学生的阅读理解、解决问题的能力． 【例1】 如果集合U存在一组两两不交(两个集合交集为空集时，称为不交)的非空子集A1，A2，…，Ak(k∈N*，k≥2)，且满足A1∪A2∪…∪Ak＝U，那么称子集组A1，A2，…，Ak构成集合U的一个k划分．若集合I中含有4个元素，则集合I的所有划分的个数为(　　) A．7 B．9 C．10 D．14 解析：不妨设I＝{1，2，3，4}，则I的2划分有{2，3，4}∪{1}，{1，3，4}∪{2}，{1，2，4}∪{3}，{1，2，3}∪{4}，{1，2}∪{3，4}，{1，3}∪{2，4}，{1，4}∪{2，3}； I的3划分有{1，2}∪{3}∪{4}，{1，3}∪{2}∪{4}，{1，4}∪{2}∪{3}，{2，3}∪{1}∪{4}，{2，4}∪{1}∪{3}，{3，4}∪{1}∪{2}； I的4划分只有{1}∪{2}∪{3}∪{4}． 综上，I的划分共有7＋6＋1＝14(个)，D正确．故选D. 集合的新概念有关问题的求解策略：通过给出一个集合的新概念来创设新问题的情境，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的． 1．已知集合M＝{x∈N|1≤x≤12}，集合A1，A2，A3满足：①每个集合都恰有4个元素；②A1∪A2∪A3＝M.集合Ai(i＝1，2，3)中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai的特征数，记为Xi，则X1＋X2＋X3的最大值与最小值的差为　　　　． 解析：因为A1，A2，A3满足①每个集合都恰有4个元素，②A1∪A2∪A3＝M， 所以A1，A2，A3一定各包含4个不同数值，集合A1，A2，A3中元素的最小值分别是1，2，3，最大值分别是12，9，6时，特征数的和X1＋X2＋X3最小，如： A1＝{1，10，11，12}，特征数为13； A2＝{2，7，8，9}，特征数为11； A3＝{3，4，5，6}，特征数为9， 则X1＋X2＋X3最小，最小值为13＋11＋9＝33， 当集合A1，A2，A3中元素的最小值分别是1，4，7，最大值分别是12，11，10时， 特征数的和X1＋X2＋X3最大，如： A1＝{1，2，3，12}，特征数为13； A2＝{4，5，6，11}，特征数为15； A3＝{7，8，9，10}，特征数为17， 则X1＋X2＋X3最大，最大值为13＋15＋17＝45， 故X1＋X2＋X3的最大值与最小值的差为45－33＝12. 这类问题通常将一个特殊符号和已知运算结合起来表示一种新的运算，需要学生深刻理解所定义的运算法则和运算过程． 【例2】 已知集合A＝{1，2，3，…，n}(n∈N，n≥3)，W⊆A，若W中元素的个数为m(m≥2)，且存在u，v∈W(u≠v)，使得u＋v＝2k(k∈N)，则称W是A的P(m)子集． (1)若n＝4，写出A的所有P(3)子集； (2)若W为A的P(m)子集，且对任意的s，t∈W(s≠t)，存在k∈N，使得s＋t＝2k，求m的值； (3)若n＝20，且A的任意一个元素个数为m的子集都是A的P(m)子集，求m的最小值． 解析：(1)当n＝4时，A＝{1，2，3，4}，A的所有P(3)子集为{1，2，3}，{1，3，4}． (2)当n≥3时，取W＝{1，3}，因为1＋3＝22，所以W是A的P(2)子集，此时m＝2； 若m≥3，设a1，a2，a3∈W且1≤a1<a2<a3， 根据题意，a1＋a2＝2k1，a1＋a3＝2k2，a2＋a3＝2k3，其中k1，k2，k3∈N； 因为a1＋a2<a1＋a3<a2＋a3， 所以2k1<2k2<2k3，所以k1<k2<k3. 又因为k1，k2，k3∈N，所以k3≥k2＋1. 因为2(a1＋a2＋a3)＝2k1＋2k2＋2k3， 所以a1＋a2＋a3＝ eq \f(1,2)(2k1＋2k2＋2k3)， 所以a1＝ eq \f(1,2)(2k1＋2k2＋2k3)－2k3＝ eq \f(1,2)(2k1＋2k2－2k3). 因为2k1＋2k2<2k2＋2k2＝2k2＋1≤2k3， 所以2k1＋2k2－2k3<0， 所以a1<0，与a1≥1矛盾．综上所述，m＝2. (3)设A1＝{20，12}，A2＝{19，13}，A3＝{18，14}，A4＝{17，15}，A5＝{11，5}，A6＝{10，6}，A7＝{9，7}，A8＝{1，3}， B1＝{2}，B2＝{4}，B3＝{8}，B4＝{16}， 设W的元素个数为m， 若W不是A的P(m)子集， 则W最多能包含A1，A2，A3，…，A8中的一个元素以及B1，B2，B3，B4中的元素． 令W0＝{20，19，18，17，11，10，9，3，16，8，4，2}， 易验证W0不是A的P(12)子集， 当m≤12时，W0的任意一个元素个数为m的子集都不是A的P(m)子集， 所以，若A的任意一个元素个数为m的子集都是A的P(m)子集，则m≥13. 当m≥13时，存在i∈{1，2，3，4，5，6，7，8}，使得W中必有两个元素属于Ai， 同时Ai中两个元素之和为2的某个正整数指数幂， 所以W是A的P(m)子集， 所以m的最小值为13. 集合的新运算问题的求解策略：通过约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情境，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，按新运算的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决． 2．已知集合S＝{1，2，…，n}(n≥3且n∈N*)，A＝{a1，a2，…，am}，且A⊆S.若对任意ai∈A，aj∈A(1≤i≤j≤m)，当ai＋aj≤n时，存在ak∈A(1≤k≤m)，使得ai＋aj＝ak，则称A是S的m元完美子集． (1)判断下列集合是否是S＝{1，2，3，4，5}的3元完美子集，并说明理由． ①A1＝{1，2，4}；②A2＝{2，4，5}． (2)若A＝{a1，a2，a3}是S＝{1，2，…，7}的3元完美子集，求a1＋a2＋a3的最小值． (3)若A＝{a1，a2，…，am}是S＝{1，2，…，n}(n≥3且n∈N*)的m元完美子集，求证：a1＋a2＋…＋am≥ eq \f(m(n＋1),2)，并指出等号成立的条件． 解析：(1)①因为1＋2＝3≤5，又3∉A1，所以A1不是S的3元完美子集． ②因为2＋2＝4≤5，且4∈A2，而5＋5>4＋5>4＋4>2＋5>2＋4>5， 所以A2是S的3元完美子集． (2)不妨设a1<a2<a3. 若a1＝1，则a1＋a1＝2∈A，1＋2＝3∈A，1＋3＝4∈A，与3元完美子集矛盾； 若a1＝2，则a1＋a1＝4∈A，2＋4＝6∈A，而2＋6>7，符合题意，此时a1＋a2＋a3＝12. 若a1≥3，则a1＋a1≥6，于是a2≥4，a3≥6，所以a1＋a2＋a3≥13. 综上，a1＋a2＋a3的最小值是12. (3)证明：不妨设a1<a2<…<am，对任意1≤i≤m，都有ai＋am＋1－i≥n＋1， 否则，存在某个i(1≤i≤m)，使得ai＋am＋1－i≤n. 由a1<a2<…<am，得ai<ai＋a1<ai＋a2<…<ai＋am＋1－i≤n. 所以ai＋a1，ai＋a2，…，ai＋am＋1－i是A中m＋1－i个不同的元素，且均属于集合{ai＋1，ai＋2，…，am}，该集合恰有m－i个不同的元素，显然矛盾． 所以对任意1≤i≤m，都有ai＋am＋1－i≥n＋1. 于是2(a1＋a2＋…＋am－1＋am)＝(a1＋am)＋(a2＋am－1)＋…＋(am－1＋a2)＋(am＋a1)≥m(n＋1). 即a1＋a2＋…＋am≥ eq \f(m(n＋1),2). 等号成立的条件是a1＝ eq \f(n＋1,m＋1)∈N*且ai＝ eq \f((n＋1)i,m＋1)(2≤i≤m). $