第二章 函数(综合检测卷)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（北师大版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了函数的概念、性质及应用，涵盖幂函数、分段函数、单调性、奇偶性等核心内容，通过知识框架将函数定义、图像特征、性质判断与实际应用串联，帮助学生构建完整的函数知识体系。 其亮点在于采用“基础辨析-性质探究-综合应用”的复习策略，如通过幂函数参数判断（第1题）培养抽象能力，结合分段函数单调性求参数范围（第4题）发展逻辑推理，设计公交车发车时间优化问题（第17题）提升数学建模与应用意识。分层练习让不同水平学生巩固提升，教师可通过错题解析精准把握学情，提高复习效率。

第二章 函数 满分:150分 时间:120分 第1讲　描述运动的基本概念 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的) 1.“k=-1”是“幂函数f(x)=(k2-2k-2)x2k在区间(0,+∞)上单调递减”的 ( ) A.充要条件　　     B.充分不必要条件 C.必要不充分条件　　    D.既不充分也不必要条件     A     解析　因为f(x)是幂函数,所以k2-2k-2=1,解得k=3或k=-1.当k=-1时,f(x)=x-2= ,f(x)在区间(0,+∞)上单调递 减;当k=3时,f(x)=x6,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,舍去. 故k=-1,故为充要条件. 第1讲　描述运动的基本概念 2.已知f(x)= 则f  +f  等于 ( ) A.-2　　    B.4　　     C.2　　    D.-4     B     解析　∵ >0,∴f  =2× = , ∵- <0,∴f  =f  =f  =f  =f  = ,∴f  +f  =4. 第1讲　描述运动的基本概念 3.已知函数f(x)= 的最大值为M,最小值为m,则M+m= ( ) A.2　　    B.4　　    C.6　　    D.8     B     解析    f(x)= =2- ,设g(x)=- ,则g(x)的定义域为R, 又g(-x)= =-g(x),所以g(x)为奇函数,其图象关于原点对称, 故g(x)max+g(x)min=0, 因为f(x)=g(x)+2,所以M+m=g(x)max+2+g(x)min+2=4. 第1讲　描述运动的基本概念 4.已知函数f(x)= 在R上单调递增,则实数a的取值范围为 ( ) A. 　　    B. 　　     C. 　　    D.      C     解析　由函数f(x)在R上单调递增, 得 解得 <a≤ , 故a的取值范围是 . 第1讲　描述运动的基本概念 5.函数f(x)= 的大致图象为 ( )  　　       　　          D     第1讲　描述运动的基本概念 解析    f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称, 又f(-x)= =- =-f(x), 所以f(x)= 为奇函数,其图象关于原点对称,排除A; 当x>1时,f(x)= =x- , 因为函数y=x,y=- 在(1,+∞)上均单调递增, 所以函数f(x)=x- 在(1,+∞)上单调递增,排除B,C,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 6.记max{a,b}= 设f(x)=max{|x-1|,2x2},则函数f(x)的最小值是 ( ) A.0　　　B. 　　　C.1　　　D.2 　B     解析　画出f(x)的图象,如图中实线部分,   由图可知当x= 时,f(x)取得最小值,为1- = . 第1讲　描述运动的基本概念 7.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(-x)=0,∀x1,x2∈[0,+∞),当x1≠x2时,都有  <1,则不等式 f(2x)-f(5-x)<5-3x的解集为 ( ) A. 　　　B. 　　　C. 　　　D.  　C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　不妨令x2>x1≥0,则由 <1得f(x1)+x1<f(x2)+x2, 令g(x)=f(x)+x,则g(x)在[0,+∞)上单调递增, ∵f(x)的定义域为R,且f(x)+f(-x)=0,∴g(x)的定义域为R,且g(x)+g(-x)=f(x)+x+f(-x)-x=0, ∴g(x)为奇函数,∴g(x)在R上单调递增, 由f(2x)-f(5-x)<5-3x得f(2x)+2x<f(5-x)+5-x, 即g(2x)<g(5-x),∴2x<5-x,解得x< , 即不等式f(2x)-f(5-x)<5-3x的解集为 . 第1讲　描述运动的基本概念 8.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)为增函数,且f(x)·f  =1,则f(1)等于 ( ) A. 　　　 B. 　　     C. 或 　　　D.  　B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于f(x)·f f(x)+  =1(*), 令x=1,得f(1)f(f(1)+1)=1, 令t=f(1),易知t≠0,则tf(t+1)=1,所以f(t+1)= . 对于(*)式,令x=t+1,则f(t+1)f  = ·f  =1, 所以f  =t=f(1). 因为函数f(x)为定义在(0,+∞)上的增函数, 所以 + =1,变形可得t2-t-1=0, 解得t= 或t= , 第1讲　描述运动的基本概念 所以f(1)= 或f(1)= . 对于(*)式,令x=2,得f(2)f  =1, 令s=f(2),易知s≠0,则sf =1,所以f s+  = , 对于(*)式,令x=s+ ,则f  ·f  f  +  = f   +  =1,则f  =s=f(2). 因为函数f(x)为定义在(0,+∞)上的增函数, 所以 + =2,变形可得4s2-2s-1=0, 解得s= 或s= , 第1讲　描述运动的基本概念 所以f(2)= 或f(2)= . 因为f(1)<f(2),所以f(1)= . 第1讲　描述运动的基本概念 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选 对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.下列说法正确的是 ( ) A.y= · 与y= 表示同一个函数 B.若函数f(x)的定义域为[-3,1],则函数f(2x-1)的定义域为[-1,1] C.函数y=x+ 的值域为[0,+∞) D.已知函数f(x)满足f(x)+2f =x,则f(x)=- + (x≠0) 　ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,由 解得-1≤x≤1,所以y= · 的定义域为[-1,1], 由1-x2≥0,解得-1≤x≤1,所以y= 的定义域为[-1,1], 又y= · = ,所以两函数有相同的定义域及对应关系,表示同一个函数,A正确; 对于B,因为f(x)的定义域为[-3,1],所以-3≤2x-1≤1,解得-1≤x≤1,所以f(2x-1)的定义域为[-1,1],B正确; 对于C,由x-1≥0,可得x≥1,故函数y=x+ 的定义域为[1,+∞), 易知y=x+ 在[1,+∞)上单调递增,所以y=x+ ≥1+ =1, 所以y=x+ 的值域为[1,+∞),C错误; 对于D,因为f(x)+2f =x①,所以f +2f(x)= ②, ②×2-①得3f(x)= -x,所以f(x)=- + (x≠0),D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 10.已知函数f(x)=|3-x|,构造函数g(x)=f(x)-f(-x),则下列说法正确的是 ( ) A.h(x)=g(x)-g(-x)是偶函数　　     B.p(x)=g(x)+g(-x)是偶函数 C.q(x)=g(x)|g(x)|是奇函数　　     D.s(x)=g(x)g(|x|)是奇函数 　BCD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得g(x)=|3-x|-|3+x|,显然g(x)的定义域为R,关于原点对称,且g(-x)=|3+x|-|3-x|=-g(x),故g(x)是 奇函数. 对于A,由于g(x)-g(-x)=g(x)+g(x)=2g(x),且h(x)的定义域为R,故h(x)是奇函数,不是偶函数,A错误; 对于B,显然g(-x)+g(x)=-g(x)+g(x)=0,且p(x)的定义域为R,故p(x)是偶函数,B正确; 对于C,由于g(-x)|g(-x)|=-g(x)|-g(x)|=-g(x)|g(x)|,且q(x)的定义域为R,故q(x)是奇函数,C正确; 对于D,由于g(-x)g(|-x|)=-g(x)g(|x|),且s(x)的定义域为R,故s(x)是奇函数,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 11.已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),∀x,y∈(0,+∞)都有f(xy)=f(x)+f(y),且当x>1时, f(x)>0,f  =-1,则下 列说法正确的是( ) A. f(1)=0 B.函数f(x)在(0,+∞)上单调递增 C.f(2)+f  +f(3)+f  +…+f(2 024)+f  =2 024 D.满足不等式f(x)-f(x-2)≥2的x的取值范围是  　ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),∴f(1)=0,A正确; 对于B,∀x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2, 令x=x2,y= ,得f(x1)=f(x2)+f , 即f(x1)-f(x2)=f  , 因为当x>1时,f(x)>0,且 >1,所以f  >0, 故f(x1)-f(x2)>0,所以f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增,B正确; 对于C,令y= ,得f(x)+f =f(1)=0, 故f(2)+f =f(3)+f  =…=f(2 024)+f  =0, 第1讲　描述运动的基本概念 故f(2)+f  +f(3)+f  +…+f(2 024)+f  =0,C错误; 对于D,因为f  =-1,f(x)+f =0, 所以f(2)=1, 令x=y=2,得f(4)=2f(2)=2, f(x)-f(x-2)≥2即f(x)≥2+f(x-2)=f(4)+f(x-2)=f(4x-8), 由B知f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增, 故 所以x∈ ,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=x2-2x,则方程f(x)=3的解集为__________.     {-3,3} 解析　当x≥0时,f(x)=x2-2x, 若f(x)=3,则x2-2x=3,解得x=3或x=-1(舍去), 因为函数y=f(x)是定义在R上的偶函数, 所以当x<0时,f(x)=3的解为x=-3. 故方程f(x)=3的解集为{-3,3}. 第1讲　描述运动的基本概念 13.已知函数f(x)= 存在最小值,则实数a的取值范围为__________.     [-1,3] 解析　画出f(x)的大致图象,如图, 若x≥a,则函数f(x)=x2-2x,其图象的对称轴为直线x=1. 当a≤1时,f(x)=x2-2x在[a,+∞)上的最小值为f(1)=-1; 当a>1时,f(x)=x2-2x在[a,+∞)上的最小值为f(a)=a2-2a. 若x<a,则f(x)=-x+2a>-a+2a=a. f(x)存在最小值时,需满足 或  解得-1≤a≤3. 第1讲　描述运动的基本概念 14.设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)= f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=-x(x-1).若对任意的x∈[m,+∞),都有 f(x)≤ ,则m的取值范围是___________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　当x∈(-1,0]时,x+1∈(0,1],又 x∈(0,1]时,f(x)=-x(x-1), 所以f(x+1)=-(x+1)(x+1-1)=-x(x+1), 又f(x+1)= f(x),所以当x∈(-1,0]时,f(x)=2f(x+1)=-2x(x+1); 当x∈(-2,-1]时,f(x)=2f(x+1)=-2×2(x+1)(x+1+1)=-4(x+1)(x+2), 依此类推,可作出f(x)的部分图象,如图所示:   第1讲　描述运动的基本概念 结合上图,要使f(x)≤ ,则需x≥x1, 由-4(x+1)(x+2)= ,解得x1=- 或x1=- (舍去),所以m≥- , 故m的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知f(x)=(m2-2m-2)xm是幂函数,且在(0,+∞)上单调递增. (1)求实数m的值; (2)判断g(x)=f(x)-x-1在(1,+∞)上的单调性,并用定义证明; (3)设a=2 0253-2 026,b=2 0263-2 027,c=2 0273-2 028,请比较a,b,c的大小,并说明理由. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意得m2-2m-2=1,解得m=3或m=-1, (1分) 又f(x)=(m2-2m-2)xm在(0,+∞)上单调递增, 故m>0,故m=3. (2分) (2)g(x)在(1,+∞)上单调递增.证明如下: (3分) 由(1)知f(x)=x3,则g(x)=x3-x-1,任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2, 则g(x1)-g(x2)= -x1-1-( -x2-1)=( - )-(x1-x2)=(x1-x2)( +x1x2+ )-(x1-x2)=(x1-x2)( +x1x2+ -1). (6分) 因为x1<x2,x1,x2∈(1,+∞),所以x1-x2<0, +x1x2+ -1>0, 故g(x1)-g(x2)=(x1-x2)( +x1x2+ -1)<0, (8分) 故g(x1)<g(x2),所以g(x)在(1,+∞)上单调递增. (9分) (3)a<b<c.理由如下: (10分) 由(2)知g(x)=x3-x-1在(1,+∞)上单调递增, 第1讲　描述运动的基本概念 故g(2 025)<g(2 026)<g(2 027), 即2 0253-2 026<2 0263-2 027<2 0273-2 028, 即a<b<c. (13分) 第1讲　描述运动的基本概念 16.(15分)已知函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,当0≤x≤2时,f(x)=x2+2x. (1)求f(-1); (2)求函数f(x)的解析式; (3)若f(2a-1)+f(4a-3)>0,求实数a的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,当0≤x≤2时,f(x)=x2+2x,所以f(-1)=-f(1)=-3. (3分) (2)因为当0≤x≤2时,f(x)=x2+2x, 所以当x∈[-2,0)时,-x∈(0,2],且f(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x. (5分) 因为函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数, 所以f(x)=-f(-x)=-x2+2x, (7分) 所以f(x)=  (8分) (3)易知当0≤x≤2时,f(x)=x2+2x单调递增,且f(x)≥f(0)=0, 因为f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,所以f(x)在[-2,0)上单调递增,且f(x)<f(0)=0,所以f(x)在[-2,2]上单调递 增. (11分) 由f(2a-1)+f(4a-3)>0可得f(2a-1)>-f(4a-3)=f(3-4a), 第1讲　描述运动的基本概念 所以 解得 <a≤ , (14分) 故实数a的取值范围是 . (15分) 第1讲　描述运动的基本概念 17.(15分)某地一辆市内公交车发车时间间隔t(单位:分钟)满足5≤t≤20,t∈N.经测算,该公交车的载客 量p(t)(单位:人)与发车时间间隔t满足p(t)= 其中t∈N. (1)求p(6),并说明p(6)的实际意义; (2)若该公交车每分钟的净收益y(单位:元)满足y= -10,则当发车时间间隔为多少时,该公交车每 分钟的净收益最大?并求出每分钟的最大净收益. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)p(6)=60-16=44, (2分) p(6)的实际意义:当发车时间间隔为6分钟时,这辆公交车的载客量为44人. (5分) (2)∵p(t)= t∈N, ∴当5≤t<10时,y= -10=110- ≤110-2 =38,当且仅当6t= ,即t=6时,等 号成立,此时y的最大值为38; (9分) 当10≤t≤20时,y= -10= -10, 易知y= -10在t∈[10,20]上单调递减, ∴当t=10时,y取得最大值,为28.4. (13分) ∵38>28.4,∴当发车时间间隔为6分钟时,这辆公交车每分钟的净收益最大,最大净收益为38元. (15分) 第1讲　描述运动的基本概念 18.(17分)已知二次函数f(x)满足f(0)=f(1)=1,且f(x)的最小值是 . (1)求f(x)的解析式; (2)若关于x的方程f(x)=x+m在区间(-1,2)上有唯一实数根,求实数m的取值范围; (3)函数g(x)=f(x)-(2t-1)x对任意的x1,x2∈[4,5]都有|g(x1)-g(x2)|<4恒成立,求实数t的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为二次函数f(x)满足f(0)=f(1), 所以函数f(x)的图象的对称轴为直线x= , (1分) 又f(x)的最小值是 ,所以可设f(x)=a + (a≠0),由f(0)=1得a=1,所以f(x)=x2-x+1. (3分) (2)由f(x)=x+m得m=x2-2x+1,则原题转化为直线y=m与函数y=x2-2x+1,x∈(-1,2)的图象有且只有一个交 点, (5分) 作出函数y=x2-2x+1在x∈(-1,2)上的图象(图略), 易得当m=0或m∈[1,4)时二者只有一个交点, 所以m的取值范围是{0}∪[1,4). (7分) (3)由题意知g(x)=x2-2tx+1.假设存在实数t满足条件,则对任意的x1,x2∈[4,5]都有|g(x1)-g(x2)|<4成立,即  <4,故有g(x)max-g(x)min<4,x∈[4,5].(9分) 第1讲　描述运动的基本概念 g(x)=x2-2tx+1=(x-t)2-t2+1,x∈[4,5], 当t≤4时,g(x)max-g(x)min=g(5)-g(4)<4,即9-2t<4,解得t> ,所以 <t≤4; (11分) 当4<t≤ 时,g(x)max-g(x)min=g(5)-g(t)<4,即t2-10t+21<0,解得3<t<7,所以4<t≤ ; (13分) 当 <t≤5时,g(x)max-g(x)min=g(4)-g(t)<4,即t2-8t+12<0,解得2<t<6,所以 <t≤5; (15分) 当t>5时,g(x)max-g(x)min=g(4)-g(5)<4,即2t-9<4,解得t< ,所以5<t< . 综上所述,实数t的取值范围为 . (17分) 第1讲　描述运动的基本概念 19.(17分)已知定义在R上的非常数函数y=f(x),y=g(x),若对任意实数x,y,均有f(x+y)f(x-y)=[g(y)]2-[g(x)]2 成立,则称y=g(x)为y=f(x)的相关函数. (1)判断g(x)=x+1是不是f(x)=x的相关函数,并说明理由; (2)若y=g(x)为y=f(x)的相关函数,证明:y=f(x)为奇函数; (3)在(2)的条件下,如果g(0)=1,g(4)=-1,当0<x<4时,-1<g(x)<1,且f(x+T)=f(x)对所有实数x均成立,求满足要 求的最小正数T,并说明理由. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)g(x)不是f(x)的相关函数,理由如下: (1分) 易知f(x+y)f(x-y)=(x+y)(x-y)=x2-y2①, 而[g(y)]2-[g(x)]2=(y+1)2-(x+1)2=y2-x2+2y-2x②, (3分) 显然①②两式不恒相等,故g(x)=x+1不是f(x)=x的相关函数. (4分) (2)证明:设a,b∈R,令x= ,y= , 则f(a)f(b)= g  2- g  2, (5分) 令x= ,y= ,则f(a)f(-b)= g  2- g  2, 两式相加得f(a)[f(b)+f(-b)]=0, (7分) 因为y=f(x)是定义在R上的非常数函数, 第1讲　描述运动的基本概念 所以f(a)不恒为0, 所以f(b)+f(-b)=0,故y=f(x)是奇函数. (9分) (3)令y=0,则[f(x)]2=[g(0)]2-[g(x)]2=1-[g(x)]2,即[f(x)]2+[g(x)]2=1, 因为g(4)=-1,所以f(4)=0, 由(2)知f(-4)=-f(4),则f(-4)=0. (11分) 令y=x+4,则f(2x+4)f(-4)=[g(x+4)]2-[g(x)]2=0, 令y=4,则f(x+4)f(x-4)=[g(4)]2-[g(x)]2=1-[g(x)]2, 即f(x+8)f(x)=1-[g(x+4)]2=1-[g(x)]2=[f(x)]2, 即f(x)[f(x)-f(x+8)]=0, 由f(x)为非常数函数知f(x)=0不恒成立, 则f(x+8)=f(x)恒成立, 第1讲　描述运动的基本概念 综上可知,T=8满足题意. (13分) 再用反证法证明T=8是满足题意的最小正数: 若存在0<t0<8满足要求,即f(x+t0)=f(x)③. 令x=0,y= ,则 ∈(0,4), 即 g  2<1, 故f f = g  2-[g(0)]2<0, (15分) 而由(2)知-f =f ,由③知f =f , 所以f =f =0,矛盾,故不符合题意. 所以T=8是满足题意的最小正数. (17分) 第1讲　描述运动的基本概念 $