3.1 指数幂的拓展新授课2026-2027学年高一上学期

该高中数学课件聚焦指数幂的拓展，涵盖n次方根、根式性质、分数与无理数指数幂等核心知识点，通过从正整数指数幂出发，结合实例抽象根式概念，探究性质后过渡到分数指数幂，最终拓展到实数指数幂，构建知识递进学习支架。 其亮点是以数学抽象和数学运算为核心素养，通过“思考问题”引导探究（如正数n次方根个数、分数指数幂底数规定），题型分层设计（基础自测、题型探究、课堂检测），帮助学生从概念理解到运算应用，既培养学生逻辑思维，又为教师提供系统教学资源和分层练习设计参考。

§1　指数幂的拓展 【素养目标】 1．能从教材实例中抽象出根式的概念．(数学抽象) 2．能结合教材探究总结出根式的性质．(数学运算) 3．能从教材实例中抽象出分数指数幂的意义．(数学抽象) 4．结合教材实例了解无理数指数幂的意义．(数学抽象) 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 【学法解读】 本节的重点是分数指数幂的概念及根式与分数指数幂的互化运算，了解指数幂的拓展过程． 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基 必备知识•探新知 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 基础知识 　　　n次方根 如果xn＝a，那么x叫a的n次方根，其中n＞1，n∈N*．可用下表表示： 知识点1 n为奇数 n为偶数 a∈R a＞0 a＝0 a＜0 x＝______ x＝________ x＝0 不存在 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 思考1：正数a的n次方根一定有两个吗？ 提示：不一定．当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，且互为相反数，当n为奇数时，正数a的n次方根只有一个且仍为正数． 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 知识点2 根指数　 被开方数　 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 　　　分数指数幂的意义(a＞0，m，n∈N*，且n＞1) 知识点3 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 思考3：为什么分数指数幂的底数规定a＞0? 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 知识点4 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 思考4：指数幂是怎样从正整数指数幂推广到实数指数幂的？ 提示： 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 基础自测 B　 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） A　 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） C　 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） C　 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） (－∞，6]　 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 关键能力•攻重难 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 题型探究 题型一 n次方根的概念  例 1 ±4　 [分析]　解答此类问题应明确n次方根中根指数对被开方数的要求及n次方根的个数要求． [2，＋∞)　 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 【对点练习】❶　计算下列各值： (1)27的立方根是_____； (2)256的4次算术方根是_____； (3)32的5次方根是_____． [解析]　(1)∵33＝27， ∴27的立方根是3． (2)∵(±4)4＝256， ∴256的4次算术方根为4． (3)∵25＝32， ∴32的5次方根为2． 3　 4　 2　 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 题型二 利用根式的性质化简或求值  例 2 [分析]　对被开方数进行配方处理，可化为完全平方式． 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） －a　 π－3　 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 题型三 写分数指数幂  　　　　把下列各式中的正数a写成分数指数幂的形式： (1)a7＝26； (2)a－3＝47； (3)am＝5n(m，n∈N＋)； (4)a－2m＝76n(m，n∈N＋)． 例 3 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 题型四 分数指数幂的运算  例 4 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　关于分数指数幂的计算 分数指数幂计算的依据是定义，一般先将要求的指数幂设为b，再变形后利用同方次的指数幂底数相等来求值． 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） A　 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 课堂检测•固双基 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） C　 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） [解析]　由于2＜a＜3，所以2－a＜0，3－a＞0，所以原式＝a－2＋3－a＝1，故选C． C　 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 3．以下说法正确的是 (　　) A．正数的n次方根是正数 B．负数的n次方根是负数 C．0的n次方根是0(其中n＞1且n∈N*) D．负数没有n次方根 C　 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） [解析]　对于A，正数的偶次方根中有负数， ∴A错误； 对于B，负数的奇次方根是负数，偶次方根不存在， ∴B错误； 对于C，当n＞1且n∈N*时，0的n次方根是0， ∴C正确； 对于D，n为奇数时，负数的奇次方根是负数， ∴D错误． 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 　 ±　 　　　根式 (1)定义：式子______叫作根式，这里n叫作__________， a叫作____________． (2)性质：(n＞1，且n∈N*) ①()n＝a． ②＝ 　 思考2：()n与中的字母a的取值范围是否一样？ 提示：取值范围不同．式子()n中隐含a是有意义的，若n为偶数，则a≥0，若n为奇数，a∈R；式子中，a∈R． 正分数指数幂 a＝ 负分数指数幂 a－＝＝ 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 提示：(1)当a＜0时，若n为偶数，m为奇数，则a，a－无意义； (2)当a＝0时，a0无意义． 　　　无理数指数幂 一般地，给定正数a，对于任意的正无理数α，aα是一个实数．规定：a－α＝． 1．等于 (　　) A．2　 B．－2 C．±2　 D．－8 [解析]　＝＝－2． 2．下列各式正确的是 (　　) A．()3＝a　 B．()4＝－7 C．()5＝|a|　 D．＝a [解析]　()3＝a，()4＝7， ()5＝a，＝|a|＝，故选A． 3．4－可化为 (　　) A．8　 B．2 C．　 D．2 [解析]　4－＝＝＝＝． 4．若n＜m＜0，则－等于 (　　) A．2m　 B．2n C．－2m　 D．－2n [解析]　原式＝－＝|m＋n|－|m－n|，因为n＜m＜0，所以m＋n＜0，m－n＞0，所以原式＝－(m＋n)－(m－n)＝－2m． 5．若有意义，则实数x的取值范围为_________． [解析]　要使式子有意义，应满足6－x≥0， ∴x≤6． 　　　　(1)16的平方根为_______，－27的5次方根为______； (2)已知x7＝6，则x＝______； (3)若有意义，则实数x的取值范围是______________． 　 　 [解析]　(1)∵(±4)2＝16，∴16的平方根为±4．－27的5次方根为． (2)∵x7＝6，∴x＝． (3)要使有意义，则需x－2≥0, 即x≥2．因此实数x的取值范围是[2，＋∞)． [归纳提升]　(1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数． (2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性决定． 　　　　(1)＋＝_______． (2)－＋＝_______． (3)若＝，则实数a的取值范围是_________． 2　 2　 　 [解析]　(1)原式＝＋ ＝＋＝＋1＋－1＝2． (2)原式＝－＋ ＝＋－(2－)＋2－＝2． (3)因为＝＝|| ＝，所以1－3a≥0，a≤． [归纳提升]　根式化简与求值的思路及注意点 (1)思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简． (2)注意点： ①正确区分()n与两式． ②运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，必要时要进行讨论． 【对点练习】❷　计算下列各式： (1)＝________； (2)＝_________； (3)－－＝______． 　 [解析]　(1)＝－a． (2)＝＝π－3． (3)－－ ＝－－ ＝－－＝． [解析]　(1)a＝26． (2)a＝4－． (3)a＝5． (4)a＝7－＝7－． [归纳提升]　关于写分数指数幂 写分数指数幂时可以利用等价式an＝bm⇔a＝b(a，b＞0，m，n∈N＋，m，n互素，n＞1)，书写时注意m，n的顺序不能颠倒． 【对点练习】❸　把下列各式中的b(b＞0)写成分数指数幂的形式： (1)b－4＝81； (2)b3＝5－4； (3)b－3n＝π5m(m，n∈N＋)． [解析]　(1)b＝81－． (2)b＝5－． (3)b＝π－． 　　　　用分数指数幂表示下列各式： (1)(m＞0)； (2)(a＞b)． [解析]　(1)＝m； (2)＝(a－b)． 【对点练习】❹　(1)根式等于 (　　) A．a－　 B．a C．a　 D．－a－ (2)计算＝______． 　 [解析]　(1)原式＝a． (2)＝＝3×＝＝． 1．已知m＜，则化简的结果为 (　　) A．　 B．－ C．　 D．－ [解析]　∵m＜，∴3m－2＜0，排除A，B， 又(3m－2)2＞0，所以为正，所以选C． 2．若2＜a＜3，化简＋的结果是 (　　) A．5－2a　 B．2a－5 C．1　 D．－1 4．求值：＝______． 　 [解析]　＝＝． $