02 样本数字特征在频率分布直方图中的应用(突破疑难)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦统计中频率分布直方图的绘制步骤及样本数字特征（众数、中位数、平均数等）的应用，从求全距、定组距组数入手，逐步过渡到列频率分布表、画直方图，再深入数字特征的计算，构建从基础操作到综合应用的学习支架。 其亮点在于通过“深度剖析”“勘破疑难”细化知识要点，结合花卉高度、蔬菜质量等现实情境典例，引导学生用数学眼光观察数据分布规律。通过步骤拆解和公式推导培养数学思维，用表格总结数字特征、规范解析过程强化数学语言表达。学生能提升数据分析能力，教师可借助清晰结构高效开展教学。

第六章 统 计 第1讲　描述运动的基本概念 02　样本数字特征在频率分布 直方图中的应用 重难点 第1讲　描述运动的基本概念 画频率分布直方图的步骤: (1)求全距:用一组数据中的最大值减去最小值. (2)决定组距与组数:组距与组数的确定没有固定的标准,一般取等长组距,并且组距应力求“取整”.当 样本容量不超过100时,常分成5~12组.极差、组距、组数之间有如下关系: ①若 为整数,则 =组数; ②若 不为整数,则 +1=组数(说明:[x]表示不大于x的最大整数). (3)将数据分组:分组时应保证使样本数据落在每组的内部. 第1讲　描述运动的基本概念 (4)列频率分布表:统计各组数据的频数,计算频率,完成频率分布表. (5)画频率分布直方图:画图时,横轴表示分组的数据,纵轴表示 , 实际上是频率分布直方图中各 小矩形的高度. 小矩形的面积=组距× =频率,所以各小矩形的面积表示相应各组的频率,因为各组频率的和为1,所 以各小矩形面积的和为1.这样,频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率的 大小. 第1讲　描述运动的基本概念 特别提醒    1.各组数据的频率之和为1,频数之和等于样本容量,故在列频率分布表时,可以用这种方法 检验是否有数据丢失,因此表格最后一行可加上“合计”. 2.在频率分布表中常用的关系式: =频率,可变形为 =样本容量,样本容量×频率=频数. 第1讲　描述运动的基本概念 深度剖析　对频率分布直方图的理解 (1)纵轴是 ,而不是频率. (2)频率分布直方图中各小矩形的面积之比、高度之比均等于相应频率之比. 第1讲　描述运动的基本概念 频率分布直方图中的数字特征 众数 最高小矩形所在的区间中点对应的数据为众数的估计值 中位数 中位数左边和右边的小矩形的面积和应相等 平均数 用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和近似代替样本平均数 百分位数 p分位数的求法:从左往右累加小矩形的面积,通过与p比较,确定p分位数所在的区间,然后根据p分位数左边的小矩形的面积和等于p列方程求解 极差 最后一组的组上限与第一组的组下限的差 方差与标准差 每个小矩形底边中点的横坐标与平均数的差的平方乘小矩形的面积,再求和,可得到方差的估计值,方差开平方即为标准差 第1讲　描述运动的基本概念 勘破疑难 频率分布直方图中的数字特征的关键点: 众数:最高矩形→区间中点; 中位数:面积平分→插值算; 平均数:组中值×频率→加权和; 方差:(组中值-平均数)2×频率→加权和; 极差:看两端,注意不用组中值相减. 第1讲　描述运动的基本概念 典例1　在践行“乡村振兴”战略的过程中,某地大力发展特色花卉种植业,某农户种植一种观赏花卉, 为了解花卉的长势,随机测量了100株花的高度(单位:cm),得到花卉高度的频率分布直方图,如图所示 (除最后一组为闭区间外,其他组均为左闭右开区间),则 (         )   D A.样本花卉高度的极差不超过20 cm B.样本花卉高度的40%分位数不小于众数 C.样本花卉高度的平均数不大于40%分位数 D.样本花卉高度小于60 cm的占比不超过70% 第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,样本花卉高度的极差为70-40=30(cm),A错误; 对于B,样本花卉高度的众数为 =57.5(cm). 设样本花卉高度的40%分位数为a cm, 前三个小矩形的面积和为(0.012+0.028+0.036)×5=0.38,前四个小矩形的面积和为0.38+0.056×5=0.66,故 a∈[55,60),则0.38+(a-55)×0.056=0.4,解得a≈55.36,则a<57.5,所以样本花卉高度的40%分位数小于众数, B错误; 对于C,样本花卉高度的平均数 =42.5×0.06+47.5×0.14+52.5×0.18+57.5×0.28+62.5×0.24+67.5×0.1=56.5 (cm),则56.5>55.36,所以样本花卉高度的平均数大于40%分位数,C错误; 对于D,样本花卉高度小于60 cm的占比为[1-(0.048+0.020)×5]×100%=66%<70%,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 方法技巧　由频率分布直方图计算样本的p分位数还可以这样进行:(1)确定p分位数所在的区间[a,b); (2)确定小于a和小于b的数据所占的百分比fa,fb,则p分位数为a+(b-a)× ,则本题中40%分位数为55+  ×5≈55.36. 另外,中位数为50%分位数,可以直接把公式中的p看成50%,代入求解即可. 第1讲　描述运动的基本概念 典例2　某机构对某县100名菜农去年种植销售的蔬菜质量(单位:吨)进行了统计调查,将得到的数据按 [15,25),[25,35),[35,45),[45,55)分为4组,画出的频率分布直方图如图所示. (1)求m的值; (2)估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜质量的中位数; (3)估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜质量的平均数与方差(同一组中的数据用该组区间的中点 值作代表). 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题图可得(0.01+m+0.04+0.02)×10=1,得m=0.03. (2)设中位数的估计值为x,前两组数据的频率之和为(0.01+0.03)×10=0.4<0.5, 前三组数据的频率之和为0.4+0.04×10=0.8>0.5,所以x∈[35,45), 则0.4+0.04×(x-35)=0.5,解得x=37.5. 故蔬菜质量的中位数约为37.5吨. (3)平均数 =20×0.1+30×0.3+40×0.4+50×0.2=37(吨), 方差s2=(20-37)2×0.1+(30-37)2×0.3+(40-37)2×0.4+(50-37)2×0.2=81. 特别说明　因为频率分布直方图不能表示原始数据,只能看出数据分布的整体趋势,所以由频率分布直 方图得到的数字特征往往与实际数据不一样,但能粗略地估计这些数字特征. 第1讲　描述运动的基本概念 $