09 基本不等式的拓展(突破疑难)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件围绕基本不等式链及柯西、权方和不等式展开，从预备知识中的二元基本不等式导入，逐步拓展至n元形式及其他不等式，通过对比结构特征与适用场景构建知识支架。 其亮点在于结合易错警示与多解法典例（如用基本不等式链和柯西不等式解选项B），培养学生数学思维（推理能力）与数学眼光（抽象能力），总结不等式适用条件助学生精准应用，教师可提升教学效率，学生增强解题能力。

第一章 预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 09　基本不等式的拓展 拓展点 第1讲　描述运动的基本概念 1.基本不等式链 (1)内容:若a>0,b>0,则 ≤ ≤ ≤ ,当且仅当a=b时取等号,即调和平均数≤几何平均数 ≤算术平均数≤平方平均数. (2)作用:用于比较不同平均数之间的大小、不能利用配凑定值直接求最值的问题. (3)拓展:若a1,a2,…,an>0,则 ≥ ≥ ≥ ,当且仅当a1=a2= …=an时取等号. 第1讲　描述运动的基本概念 2.柯西不等式 (1)内容:若a,b,c,d∈R,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时取等号. (2)作用:常用于求含有根式的最值、平方和或乘积和的最值. 3.权方和不等式 (1)内容:若a,b,x,y>0,则 + ≥ ,当且仅当 = 时取等号.(2)作用:常用于速求一些分式和的最值. 第1讲　描述运动的基本概念 易错警示 在利用拓展不等式时,要注意变量的范围,式子的结构以及等号成立的条件,注意不要混淆. 勘破疑难 1.(1)当变量为正数时,已知a2+b2,a+b,ab, + 中的一个为定值,求其余各式的最值时,考虑选用基本不等 式链求解. (2)当出现“平方和”与“和平方”结构或“根式”结构的最值问题时,考虑选用柯西不等式求解. (3)当式子是多个正项分式的和,且分子次数比分母次数高1时,考虑选用权方和不等式求解. 2.使用时,可以先列出相关公式,再结合公式对比着进行变形和拼凑. 第1讲　描述运动的基本概念 典例　设正实数x,y满足x+y=1,则 (         ) A.xy的最大值为  B.x2+y2的最小值为  C. + 的最小值为3 D. + 的最大值为2  B 第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,1=x+y≥2 ,所以xy≤ ,当且仅当x=y= 时,等号成立,故A错误. 对于B,解法一:已知x+y为定值,求x2+y2的最值,考虑利用基本不等式链求解. 由基本不等式链知 ≥ = ,所以x2+y2≥ ,当且仅当x=y= 时取等号,故B正确. 解法二:所求代数式满足“平方和”的形式,考虑配凑使用柯西不等式求解. x2+y2=(x2+y2)×(12+12)× ≥ (x+y)2= ,当且仅当x=y= 时取等号,故B正确. 对于C,解法一: + =  (2x+2y+1)=  2+2+ +  ≥  4+2  = ,当且 仅当 = 且x+y=1,即x= ,y= 时取等号,故C错误. 解法二:所求代数式是“分式和”的形式,考虑使用权方和不等式求解. 第1讲　描述运动的基本概念  + = + =2 ≥2× = ,当且仅当 = 且x+y=1,即x= ,y= 时取等号, 故C错误. 对于D,解法一:待求式含根号且无法通过配凑得到积为定值,所以将待求式与算术平均数联系起来,考 虑用基本不等式链求解.  ≤ = =2,所以 + ≤2 ,当且仅当 = 且x +y=1,即x=1,y=0时等号成立,又y>0,所以等号取不到, 所以 + <2 ,故D错误. 解法二:待求式含根号,考虑用柯西不等式求解. ( + )2≤(12+12)[(x+1)+(y+2)]=8,所以 + ≤2 ,当且仅当 = 且x+y=1,即x= 1,y=0时等号成立,又y>0,所以等号取不到,所以 + <2 ,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 解后反思　对于分式和求最值问题,当题目满足幂次差为1时,使用权方和不等式求解比使用常值代换 法求解速度更快,因为使用权方和不等式时不用构造“1”,直接套公式即可,可减少恒等变形. 第1讲　描述运动的基本概念 $