第4章 02 §2 对数的运算(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦对数运算，涵盖运算性质、换底公式及综合应用，通过联系指数运算构建学习支架，帮助学生从已有知识自然过渡到对数学习，梳理前后知识脉络。 其亮点在于结合算力技术、蓝藻增长等实际情境，用数学眼光观察现实问题，通过逻辑推理和分步运算培养数学思维，创新题型如围棋棋盘复杂度问题提升数据观念。学生能增强应用能力，教师可高效开展分层教学。

第四章 对数运算与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 §2　对数的运算 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　对数的运算性质 1.[2026江西南昌第二中学期中]计算:lg  +2lg 2- = ( ) A. 　    B.- 　    C. 　    D.1     B     解析　　原式=lg 5-lg 2+2lg 2-3· =lg 5+lg 2- =lg(5×2)- =1- =- . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江西赣州期中]已知m=log210,n=log3 ,则4m·9n= ( ) A.1　    B. 　    C. 　    D.      A     解析　    4m·9n= · =(22 ·(32 = · =100× =1. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026四川成都期末]随着中国算力技术的快速发展和突破,以深度学习计算模式为主的AI算力需求 呈指数级增长.现有一台计算机每秒能进行2×1012次运算,用它处理一段指令需要进行241次运算,那么处 理这段指令所需时间约为(参考数据:lg 2≈0.301 03,100.041≈1.099) ( ) A.0.109 9秒　    B.1.099秒 C.10.99秒　     D.109.9秒     B     解析　　设所需时间为t秒,则t·2×1012=241,两边取对数得lg t+lg 2+lg 1012=lg 241,则lg t+lg 2+12=41lg 2,所 以lg t=40lg 2-12≈40×0.301 03-12=0.041 2, 解得t=100.041 2≈100.041≈1.099. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026山西吕梁三金联盟联考] (1)计算: lg 8-e0+ +lg 25; (2)若log3(a+1)=1,求loga2+loga(a-1)的值. 解析    (1)原式= lg 23-1+ +lg 52=2lg 2-1+ +2lg 5=2×(lg 2+lg 5)- =2×1- = . (2)由log3(a+1)=1知a+1=3,解得a=2, 所以loga2+loga(a-1)=log22+log21=1+0=1. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　换底公式 5.[教材习题改编]若lg 2=a,10b=3,则log2415= ( ) A. 　    B.  C. 　    D.      C     解析　　因为10b=3,所以b=lg 3,所以log2415= = = = . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026江苏苏北四市期末]已知函数f(x)= 则f(log48)= ( ) A. 　    B. 　    C. 　    D.      B     解析　    f(log48)=f(lo 23)=f =f =f = + =2+ = . 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026安徽特色高中教研联谊会联考]已知2x=12y=3,则 - = ( ) A. 　    B. 　    C.1　    D.6     C     解析　　由2x=12y=3,可得x=log23,y=log123, 所以 - = - =log312-2log32=log312-log34=log33=1. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026江西新余四中月考]在某个时期,某湖泊中的蓝藻每天以m%的增长率呈指数增长.若增长为原来 的2.5倍经过了10天,则增长为原来的5倍需要经过的天数约为(参考数据:lg 2≈0.3) ( ) A.12　    B.15　    C.18　    D.20     C     解析　　若原来的蓝藻数量为a,则a(1+m%)10= a,可得1+m%= , 设经过n天后蓝藻增长为原来的5倍,则a(1+m%)n=5a,即 =5, 可得n=10lo 5= = ≈ =17.5≈18. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2025江西赣州上犹中学月考]计算: + - ·log49·log274=_______. 　 1     解析　 原式=1+ - · · =1+ - · · =1+ - × =1. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　对数运算的综合应用 10.[2026山东名校联盟月考]已知f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,且满足f(x)+g(x)=2x,则f(log0.53)的值为_____ ____. 解析　因为f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,所以f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x), 因为f(x)+g(x)=2x,所以f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=2-x,与f(x)+g(x)=2x联立,解得f(x)= , 故f(log0.53)=f(-log23)=f(log23)= = = . 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026天津二十中学情调研]已知log2(2x)+log2(2y)=1,且x>y,则 的最小值为_________.     2     解析　易知log2(2x)+log2(2y)=log2(4xy)=1,则xy= ,且x>0,y>0, 所以 = =(x-y)+ , 又x>y,所以x-y>0, 所以 =(x-y)+ ≥2 =2, 当且仅当x-y= 且xy= ,即x= + ,y= - 时取等号,所以 的最小值为2. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 §2　对数的运算 第1讲　描述运动的基本概念 题组　对数运算的综合应用 1.[2026江西南昌第二中学月考]已知a>1,b>1,且lg a=1-2lg b,则loga2+logb4的最小值为( ) A.10　     B.9 C.9lg 2　    D.8lg 2     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　令m=loga2= ,n=logb4= , 则lg a= ,lg b= = , 代入lg a=1-2lg b,整理得 + =1, 因为a>1,b>1, 所以loga2+logb4=m+n=(m+n)· =5lg 2+  ≥5lg 2+2 =5lg 2+4lg 2=9lg 2,当且仅当 = ,即n=2m,即a=b= 时等号成立. 故loga2+logb4的最小值为9lg 2. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江苏南通二中月考]金针菇采摘后会很快失去新鲜度,甚至腐烂,所以超市销售金针菇时需要用 保鲜膜封闭保存.已知金针菇失去的新鲜度h与其采摘后的时间t(单位:天)满足的函数解析式为h=mln(t +a)(a>0).已知采摘后1天,金针菇失去的新鲜度为40%;采摘后3天,金针菇失去的新鲜度为80%.若现在金 针菇失去的新鲜度为60%,则采摘后的天数约为(结果保留一位小数, ≈1.41)( ) A.1.5　    B.1.9　     C.2.0　    D.2.1     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由题可得  两式相除可得 =2, 则ln(3+a)=2ln(1+a),∴3+a=(1+a)2, 又∵a>0,∴a=1, 设采摘后t天金针菇失去的新鲜度为60%,则mln(t+1)=0.6, 又mln(1+1)=0.4,∴ = , 即2ln(t+1)=3ln 2,∴(t+1)2=23=8, 故t+1=2 ≈2×1.41=2.82, 则t=2.82-1=1.82≈1.9. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026河南九师联盟质检]已知 > (a>b>0,m>0),若x1=log32,x2=log2114,x3=log6328,则 ( ) A.x1<x3<x2　    B.x1<x2<x3 C.x3<x2<x1　    D.x3<x1<x2     A     解析　　由题意知x1=log32= = < = =log6328=x3, x3=log6328= = < = = =log2114=x2,所以x1<x3<x2. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[多选题][2026湖北襄阳枣阳部分学校联考]下列关于对数运算正确的有 ( ) A.设a,b,c均为正实数,且2a=3b=12c,则 = +  B.若log72=a,log75=b,则lg 5=  C.若2x=9,y=log2 ,则x+2y=6 D.若方程(ln x)2+(ln 3+ln 5)ln x+ln 3·ln 5=0的两根为x1,x2,则x1x2=15     ABC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　设2a=3b=12c=k(k>0,k≠1), 则a=log2k,b=log3k,c=log12k,所以 =2logk2, =logk3, =logk12, 因此 + =logk22+logk3=logk12= ,故A正确;  = = =log105=lg 5,故B正确; 由2x=9得x=log29,又y=log2 , 所以x+2y=log29+log2 =log264=log226=6,故C正确; 令t=ln x,则方程变为t2+(ln 3+ln 5)t+ln 3·ln 5=0,t1=ln x1,t2=ln x2, 由根与系数的关系得t1+t2=-(ln 3+ln 5)=-ln 15, 即ln x1+ln x2=ln(x1x2)=-ln 15=ln  ,所以x1x2= ,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026广东东莞部分学校期末]已知函数f(x)=|lg x|,f(a)=f(b),且a≠b,则ab=_________,当2a·3b取得最 小值时, =_____________.     log23         1     解析　由f(a)=f(b)可得|lg a|=|lg b|,所以(lg a)2=(lg b)2, 所以(lg a+lg b)(lg a-lg b)=0, 易知a>0,b>0, 因为a≠b,所以lg a-lg b≠0,故lg a+lg b=0,即lg(ab)=0,即ab=1. 令z=2a·3b,则ln z=ln 2a+ln 3b=a·ln 2+b·ln 3≥2 =2 ,当且仅当a·ln 2=b·ln 3,即 = = log23时,等号成立,ln z取得最小值,此时z也取得最小值. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2025上海复旦大学附属中学期中] (1)设logac,logbc是关于x的方程x2-3x+1=0的两个实数根,求log(ab)c的值; (2)已知x2+y2=1,且x,y>0,若loga(1+x)=m,loga =n,求logay的值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为logac,logbc是关于x的方程x2-3x+1=0的两个实数根, 所以  由logac·logbc=1得 =1, 则logca·logcb=1, 由logac+logbc=3得 + =3, 所以 + =3, 即logca+logcb=3, 则log(ab)c= = = . (2)由loga(1+x)=m,得am=1+x, 第1讲　描述运动的基本概念 由loga =n,得an= ,则a-n=1-x, 所以am·a-n=(1+x)(1-x)=1-x2=y2,即y2=am-n, 故logay= logay2= logaam-n= . 解后反思　带附加条件的指数、对数问题主要是已知一些指数值、对数值或其等量关系,利用这些条 件表示所要求的式子,解决此类问题要充分利用指数、对数的运算性质,必要时利用换底公式化异为 同,同时还要注意整体思想的应用. 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　以围棋棋盘复杂度为载体考查对数运算 7.[多选题][2025江西阶段练习]下围棋是我国发明的最复杂的智力竞技活动之一.现代围棋棋盘共有19 行19列,361个格点,每个格点上可能出现黑子、白子、空三种情况,因此整个棋盘上有3361种不同的情 况,下面对于数字3361的判断正确的是(参考数据:lg 3≈0.477 1) ( ) A.3361的个位数字是3　     B.3361的个位数字是1 C.3361是173位数　     D.3361是172位数     AC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　对于A,B,31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,……,其个位数字分别为3,9,7,1,3,…,每4个为一组循环 出现, 又361÷4=90……1,故3361的个位数字与31的个位数字相同,即3361的个位数字为3,故A正确,B错误; 对于C,D,因为lg 3361=361lg 3≈361×0.477 1=172.233 1, 所以3361=10172.233 1=100.233 1×10172, 因为100.233 1∈(1,2),所以3361为173位数,故C正确,D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 $