专题02 对数的运算重难点题型专训（4大题型+20道拓展培优）-2024-2025学年高一年级数学重难点专题提升精讲精练（北师大版2019必修第一册）

专题02 对数的运算重难点题型专训（4大题型+20道拓展培优） 题型一 对数的运算 题型二 对数的运算性质的应用 题型三 运用换底公式化简计算 题型四 运用换底公式证明恒等式 知识点1　对数的运算性质 1.如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R). 拓展：logamMn＝logaM(n∈R，m≠0). 知识点2　换底公式 对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1). 特别地：(1)logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1). (2)logab·logbc·logca＝1(a＞0，b＞0，c＞0，且a，b，c≠1)． 【经典例题一 对数的运算】 【例1】（23-24高二下·北京昌平·期末）把液体放在冷空气中冷却，如果液体原来的温度是，空气的温度是，则min后液体的温度可由公式求得．把温度是的液体放在的空气中冷却，液体的温度冷却到和所用时间分别为min，min，则的值约为（    ） （参考数据） A．2.7 B．3.7 C．4.7 D．5.7 1．（2024·北京西城·一模）德国心理学家艾·宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”．“遗忘曲线”中记忆率随时间（小时）变化的趋势可由函数近似描述，则记忆率为时经过的时间约为（    ）（参考数据：） A．2小时 B．0.8小时 C．0.5小时 D．0.2小时 2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）若，，且，则 . 3．（2025高三·全国·专题练习）设，求的值． 【经典例题二 对数的运算性质的应用】 【例2】（23-24高一上·北京西城·期末）已知，，则 （    ） A． B． C． D． 1．（2024高二上·北京·学业考试）（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习） . 3．（25-26高一上·上海·单元测试）（1）已知，，用a、b表示； （2）已知正实数a满足，求的值． 【经典例题三 运用换底公式化简计算】 【例3】（23-24高三上·北京顺义·阶段练习）Peukert于年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数．为测算某蓄电池的Peukert常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间．若计算时取，则该蓄电池的Peukert常数大约为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·内蒙古包头·期末）某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知的质量随时间（年）的指数衰减规律是：（其中为的初始质量）．则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间约为（参考数据：，） A．300年 B．255年 C．175年 D．125年 2．（23-24高三上·天津·阶段练习）已知，且，则的值为 ． 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）计算：； 【经典例题四 运用换底公式证明恒等式】 【例4】（23-24高三上·福建福州·期中）设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高一·全国·课后作业）设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（    ） A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac 2．（22-23高一上·全国·课后作业）若实数、、满足，则下列式子正确的是 a． b． c． d． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）设均为正数，且均不为1.求证：. 1．（2024高一上·江苏·专题练习）已知函数，，则（   ） A．-5 B．-1 C．3 D．4 2．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知 若正实数 满足 则 （    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二下·江西南昌·阶段练习）用某品牌计算器计算对数时，需按log ( a ， b ) ，某学生误按为log ( b ， a ) ，所得结果为正确值的倍.已知，则的关系为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·陕西榆林·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）设方程的两实根是a和b，则等于（    ）． A．1 B．－2 C． D．－4 6．（23-24高二下·河北张家口·期末）已知，，下列条件中，能使不等式成立的充分条件有（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知，则下列等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·吉林延边·期中）下列命题中正确的是（ ） A．已知，，则 B．的值为1 C．若，则的值为 D．若且，则 9．（23-24高一上·安徽淮北·期末）下列说法中正确的有（ ） A． B． C．若，则 D． 10．（23-24高二下·江西·阶段练习）围棋是我国发明的古老的也是最复杂的智力竞技活动之一.现代围棋棋盘共有19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑子､白子､空三种情况，因此整个棋盘上有种不同的情况，下面对于数字的判断正确的是（    ） （参考数据：） A．的个位数是3 B．的个位数是1 C．是173位数 D．是172位数 11．（24-25高三上·贵州·开学考试）已知函数，则 ． 12．（24-25高三上·广东·开学考试）若，则 ． 13．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则用表示为 ． 14．（2025高三·全国·专题练习）设，， （1）用含，的式子表示，形式为 . （2）用含，的式子表示，形式为 . 15．（24-25高三上·山东日照·开学考试）已知函数，若，则实数的值为 . 16．（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）化简下列各式： (1)； (2) 17．（24-25高二上·山西·开学考试）（1）； （2）. 18．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知，，求（用a，b表示）． 19．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知x，y，z为正数，若，求的值． 20．（24-25高一上·上海·单元测试）已知a、b、c为正实数，且a、b、c均不等于1， (1)求证：； (2)设，，，为正实数且（且），请把（1）中结论进行推广，并证明． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 对数的运算重难点题型专训（4大题型+20道拓展培优） 题型一 对数的运算 题型二 对数的运算性质的应用 题型三 运用换底公式化简计算 题型四 运用换底公式证明恒等式 知识点1　对数的运算性质 1.如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R). 拓展：logamMn＝logaM(n∈R，m≠0). 知识点2　换底公式 对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1). 特别地：(1)logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1). (2)logab·logbc·logca＝1(a＞0，b＞0，c＞0，且a，b，c≠1)． 【经典例题一 对数的运算】 【例1】（23-24高二下·北京昌平·期末）把液体放在冷空气中冷却，如果液体原来的温度是，空气的温度是，则min后液体的温度可由公式求得．把温度是的液体放在的空气中冷却，液体的温度冷却到和所用时间分别为min，min，则的值约为（    ） （参考数据） A．2.7 B．3.7 C．4.7 D．5.7 【答案】B 【分析】根据题目给的温度公式，代入计算即可. 【详解】由已知，， 所以，， 所以. 故选：. 1．（2024·北京西城·一模）德国心理学家艾·宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”．“遗忘曲线”中记忆率随时间（小时）变化的趋势可由函数近似描述，则记忆率为时经过的时间约为（    ）（参考数据：） A．2小时 B．0.8小时 C．0.5小时 D．0.2小时 【答案】C 【分析】根据题设得到，两边取对数求解，即可得出结果. 【详解】根据题意得，整理得到，两边取以为底的对数， 得到，即，又， 所以，得到， 故选：C. 2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）若，，且，则 . 【答案】1 【分析】根据对数、指数运算求得正确答案. 【详解】令， 则，，， 故. 故答案为： 3．（2025高三·全国·专题练习）设，求的值． 【答案】1 【分析】根据指数幂与对数的互化公式，得到，再结合对数的运算法则，即可求解. 【详解】由，可得，，则， 所以. 故答案为：. 【经典例题二 对数的运算性质的应用】 【例2】（23-24高一上·北京西城·期末）已知，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将指数式化为对数式得到的表示，然后根据对数的运算性质求解出的值. 【详解】因为，所以， 因为， 所以 故选：B. 1．（2024高二上·北京·学业考试）（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】直接利用对数的运算性质计算即可. 【详解】. 故选：B. 2．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习） . 【答案】/ 【分析】直接根据指数、对数的运算性质计算即可． 【详解】． 故答案为：． 3．（25-26高一上·上海·单元测试）（1）已知，，用a、b表示； （2）已知正实数a满足，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）借助对数运算可得，，结合对数的运算法则即可用a、b表示； （2）左右同取以为底的对数后结合对数的运算法则计算即可得. 【详解】（1）由，，则，， 则； （2）易得且，由，则， 即，即，即， 则. 【经典例题三 运用换底公式化简计算】 【例3】（23-24高三上·北京顺义·阶段练习）Peukert于年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数．为测算某蓄电池的Peukert常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间．若计算时取，则该蓄电池的Peukert常数大约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得出，两个等式相除可得出，利用指数式与对数式的互化可求得的值. 【详解】由已知可得，上述两个等式相除可得， 所以，. 故选：C. 1．（23-24高一上·内蒙古包头·期末）某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知的质量随时间（年）的指数衰减规律是：（其中为的初始质量）．则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间约为（参考数据：，） A．300年 B．255年 C．175年 D．125年 【答案】A 【分析】根据题意列出方程，进而结合对数的运算法则即可求得答案． 【详解】依题意可得， 即， 所以． 故选：A． 2．（23-24高三上·天津·阶段练习）已知，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】由对数的定义求出，，代入，利用对数的运算即可求解. 【详解】由，则，， 则， 因此可得， 故答案为：. 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）计算：； 【答案】 【分析】运用换底公式换底，后结合对数运算性质可解. 【详解】原式 ． 【经典例题四 运用换底公式证明恒等式】 【例4】（23-24高三上·福建福州·期中）设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据指对互化，利用对数表示，再结合对数运算判断选项. 【详解】由，得，，， ，，，则， 根据可知，. 故选：C 1．（22-23高一·全国·课后作业）设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（    ） A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac 【答案】B 【分析】根据换底公式可判断A、B的正误，根据对数的运算性质可判断C、D的正误． 【详解】由logab·logcb＝·≠logca，故A错； 由logab·logca＝·＝＝logcb，故B正确； 对选项C，D，由对数的运算法则，容易知，其显然不成立. 故选：B. 2．（22-23高一上·全国·课后作业）若实数、、满足，则下列式子正确的是 a． b． c． d． 【答案】a 【分析】由指数式化对数式，然后利用换底公式得出，，，利用对数的运算性质和可得出成立. 【详解】由已知，得 ，得 ， ，，所以，，， 而，则， 所以，即 . 故选a. 【点睛】本题考查对数式的运算，同时也考查了指数式与对数式的互化以及换底公式的应用，解题时要需要注意各真数之间的关系，考查计算能力，属于中等题. 3．（23-24高一·上海·课堂例题）设均为正数，且均不为1.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】运用换底公式证明即可. 【详解】由题意，根据换底公式，，命题得证. 1．（2024高一上·江苏·专题练习）已知函数，，则（   ） A．-5 B．-1 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设，可得是奇函数，则，又，则，即可求得. 【详解】设， 则， 所以是奇函数， 则， 所以， 因为， 所以， 则， 因为， 所以. 故选：C． 2．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知 若正实数 满足 则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数的运算法则化简即可得解. 【详解】因为 所以， 由 可得， 所以， 两边取以3为底的对数可得， 即， 所以， 所以， 故选：A 3．（22-23高二下·江西南昌·阶段练习）用某品牌计算器计算对数时，需按log ( a ， b ) ，某学生误按为log ( b ， a ) ，所得结果为正确值的倍.已知，则的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知列式即，再应用对数性质及运算律化简，最后得出的关系式. 【详解】由已知得，， . 故选：A. 4．（23-24高三上·陕西榆林·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】，得，再根据换底公式及对数的运算性质即可得解. 【详解】由，得， 则. 故选：A. 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）设方程的两实根是a和b，则等于（    ）． A．1 B．－2 C． D．－4 【答案】C 【分析】解方程得出，，再由换底公式计算即可. 【详解】方程可化为，即， 解得或，不妨设， . 故选：C 6．（23-24高二下·河北张家口·期末）已知，，下列条件中，能使不等式成立的充分条件有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】结合对数运算与充分条件的定义逐项判断即可得. 【详解】对A：若，则，不符合要求，故A错误； 对B：若，则，符合要求，故B正确； 对C：若，则，符合要求，故C正确； 对D：若，取，，则， 此时，不符合要求，故D错误. 故选：BC. 7．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知，则下列等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据可推出，依此并结合对数运算，一一判断各选项，即可得答案. 【详解】由，得，且， 即，而此时不总是成立，则C错误； 由于，即，结合以上分析可知A错误； 由于，即为，故B正确； 又，D正确， 故选：BD 8．（23-24高一上·吉林延边·期中）下列命题中正确的是（ ） A．已知，，则 B．的值为1 C．若，则的值为 D．若且，则 【答案】ABC 【分析】根据题意，结合指数与对数的运算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为，则，且，则 则，故A正确； ，故B正确； 由可得，则， 故C正确； 因为，则，则， 所以，所以，故D错误； 故选：ABC 9．（23-24高一上·安徽淮北·期末）下列说法中正确的有（ ） A． B． C．若，则 D． 【答案】BCD 【分析】根据对数的运算性质结合选项逐一求解，进而得到正确选项. 【详解】对于A，由于，所以，A错误， 对于B，，B正确， 对于C，，所以，C正确， 对于D，，故D正确， 故选：BCD 10．（23-24高二下·江西·阶段练习）围棋是我国发明的古老的也是最复杂的智力竞技活动之一.现代围棋棋盘共有19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑子､白子､空三种情况，因此整个棋盘上有种不同的情况，下面对于数字的判断正确的是（    ） （参考数据：） A．的个位数是3 B．的个位数是1 C．是173位数 D．是172位数 【答案】AC 【分析】对于AB，因为的个位数以4为周期循环往复，则的个位数与的个位数相同，即可判断AB；对于CD，通过对数运算，得即可判断CD. 【详解】对于AB,由， 个位数分别为以4为周期循环往复， 因为的余数为1， 故的个位数与的个位数相同， 即的个位数为3，故A正确，B错误； 对于CD，因为， 所以， 因为， 所以为173位数，故C正确，D错误. 故选：AC. 11．（24-25高三上·贵州·开学考试）已知函数，则 ． 【答案】/ 【分析】分段函数求值，由内到外，分别代入对应解析式即可得解. 【详解】因为函数， 所以， 所以. 故答案为：. 12．（24-25高三上·广东·开学考试）若，则 ． 【答案】8 【分析】利用指数式与指数式互化关系及对数运算计算即得. 【详解】依题意，，所以． 故答案为：8 13．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则用表示为 ． 【答案】 【分析】根据换底公式及对数运算计算. 【详解】. 故答案为：. 14．（2025高三·全国·专题练习）设，， （1）用含，的式子表示，形式为 . （2）用含，的式子表示，形式为 . 【答案】 【分析】根据对数的运算法则和对数的换底公式，准确运算，即可求解. 【详解】因为，， （1）由； （2）由. 故答案为：；. 15．（24-25高三上·山东日照·开学考试）已知函数，若，则实数的值为 . 【答案】/ 【分析】根据题意，结合分段函数的解析式，分类讨论，即可求解. 【详解】由函数，且， 当时，可得，即，方程无解； 当时，可得，解得， 综上可得，实数的值为. 故答案为：. 16．（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）化简下列各式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助指数幂的运算法则化简计算即可得； （2）借助对数运算法则化简计算即可得. 【详解】（1）原式； （2）原式 . 17．（24-25高二上·山西·开学考试）（1）； （2）. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）应用对数运算律计算化简求值； （2）应用指数运算律计算化简求值. 【详解】（1） （2） 18．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知，，求（用a，b表示）． 【答案】 【分析】根据对数的换底公式及运算性质计算即可. 【详解】因为，所以． 所以 ． 19．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知x，y，z为正数，若，求的值． 【答案】 【分析】指数对数互化，后结合对数的换底公式与运算性质可解. 【详解】令， 所以，，， 因为x，y，z为正数，所以， 所以． 20．（24-25高一上·上海·单元测试）已知a、b、c为正实数，且a、b、c均不等于1， (1)求证：； (2)设，，，为正实数且（且），请把（1）中结论进行推广，并证明． 【答案】(1)证明见解析； (2)推广：，证明见解析． 【分析】（1）利用换底公式通过计算证明； （2）类比推理进行推广，再利用换底公式通过计算证明． 【详解】（1），得证； （2）推广： 证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $$