14-思想方法练2(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第二册（人教B版）

该高中数学课件聚焦统计与概率，系统呈现数形结合、函数与方程、转化与化归等思想方法。通过古典概型、统计图表分析等例题，搭建从维恩图、树形图到频率分布直方图的知识支架，帮助学生衔接前后知识点。 其亮点在于以数学眼光观察现实问题，如用维恩图直观判断事件关系，培养几何直观；以数学思维分析问题，如通过方程求频率分布直方图参数，发展推理能力；以数学语言表达问题，如用树形图列举样本点，提升数据观念。采用思想方法专项训练，学生能深化知识理解，教师可高效开展教学。

第五章 统计与概率 第1讲　描述运动的基本概念 思想方法练2 第1讲　描述运动的基本概念 一、数形结合思想在统计与概率中的应用 1.已知一个古典概型的样本空间Ω中包含12个样本点,事件A中包含6个样本点,事件B中包含4个样本点, 事件A∪B中包含8个样本点,则事件A与事件 ( ) A.是互斥事件,不是相互独立事件 B.不是互斥事件,是相互独立事件 C.既是互斥事件,也是相互独立事件 D.既不是互斥事件,也不是相互独立事件     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得维恩图:   利用维恩图,探究事件之间的关系. 由图知A∩B≠⌀,且A∩ ≠⌀, ∴事件A与事件 不是互斥事件.由题意得P(A)= = ,P(A )= = ,P( )= ,∴P(A )=P(A)·P( ),∴事 件A与事件 不是互斥事件,是相互独立事件. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江西新余期末]已知甲、乙两名同学在高一的6场数学周测的成绩统计如图,则下列说法不正确 的是 ( ) A.甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数 B.若甲、乙成绩的平均数分别为 分, 分,则 >  C.甲成绩的极差大于乙成绩的极差 D.甲的成绩比乙的成绩稳定     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　观察题中折线图的特点直接得出相关统计量的关系. 对于A,甲成绩的中位数大于90分,乙成绩的中位数小于90分,所以甲成绩的中位数大于乙成绩的中位 数,A中说法正确; 对于B,甲只有第2次的成绩低于乙,其他都高于乙,则 > ,B中说法正确; 对于C,极差为样本数据的最大值与最小值的差,观察题图知甲成绩的极差小于乙成绩的极差,C中说法 不正确; 对于D,甲成绩的波动性小于乙,所以甲的成绩比乙的成绩稳定,D中说法正确. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026安徽阜阳质量监测]甲、乙、丙三人玩“剪刀、石头、布”游戏(剪刀赢布,布赢石头,石头赢剪 刀),规定每局中:①三人出现同一种手势,则每人各得1分;②三人出现两种手势,则赢者得2分,输者负1 分;③三人出现三种手势,则均得0分,当有人累计得分大于或等于3分时,游戏结束,得分最高者获胜.已知 三人之间及每局游戏互不影响. (1)求甲在一局中得2分的概率P1; (2)求游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率P2; (3)求游戏经过两局就结束的概率P3. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)三人所出手势的情况用列举法表示容易混乱,可用树形图的形式表示出来. 根据题意,画出树形图,如图:   所以每局中共有27种情况,其中甲在一局中得2分的情况有(手势顺序按甲、乙、丙记录):(剪刀、剪 刀、布)、(剪刀、布、剪刀)、(剪刀、布、布)、(石头、石头、剪刀)、(石头、剪刀、石头)、(石头、 第1讲　描述运动的基本概念 剪刀、剪刀)、(布、布、石头)、(布、石头、布)、(布、石头、石头),共9种, 所以甲在一局中得2分的概率P1= = . (2)游戏经过两局后甲恰得3分且是唯一获胜者的情况有2种: (i)甲第一局得2分,第二局得1分,乙第一局得负1分,第二局得1分,丙第一局得负1分,第二局得1分,故满足 的情况如下: 第一局:(剪刀、布、布)、(石头、剪刀、剪刀)、(布、石头、石头), 第二局:(剪刀、剪刀、剪刀)、(布、布、布)、(石头、石头、石头), 此时概率为 × = ; (ii)甲第一局得1分,第二局得2分,乙、丙第一局均得1分,第二局均得负1分, 故满足的情况如下: 第1讲　描述运动的基本概念 第一局:(剪刀、剪刀、剪刀)、(布、布、布)、(石头、石头、石头), 第二局:(剪刀、布、布)、(石头、剪刀、剪刀)、(布、石头、石头), 此时概率为 × = . 综上所述,游戏经过两局后甲恰得3分且是唯一获胜者的概率P2= + = . (3)游戏经过两局就结束总共有4种情况: ①仅1人得3分,记为事件A,则P(A)= ×3= ; ②有2人得3分,记为事件B,则P(B)=3× = ; ③仅1人得4分,记为事件C,有以下几种情况: a.一人得4分,另两人各得负2分的概率为3× = , 第1讲　描述运动的基本概念 b.一人得4分,一人得负2分,一人得1分的概率为3×  × ×2 = , c.一人得4分,另两人各得1分的概率为3× ×2= , 则P(C)= + + = ; ④有2人得4分,记为事件D,则P(D)=3× = . 故游戏经过两局就结束的概率P3= + + + = . 第1讲　描述运动的基本概念 思想方法　数形结合思想是统计与概率中的一种重要的思想方法.结合统计图对样本数据进行分析,能 够使样本数据的特征(分布状况、变化趋势等)更直观,进而可估计总体的状况;利用树形图可以快速准 确地得到样本点的个数;利用维恩图直观形象的特点可以快速判断事件之间的关系;利用统计图得到相 关频率,进而可估计相关事件的概率. 第1讲　描述运动的基本概念 二、函数与方程思想在统计与概率中的应用 4.[多选题][2026四川成都期末]2025年9月20日,四川省城市足球联赛(简称“川超”)开幕式暨揭幕战观众达21 448人.为了解各年龄层对“川超”的关注程度,随机选取了200名年龄(单位:岁)在[10,50]内的观众进行调查,并绘制如图所示的频率分布直方图(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),则 (　　　　　)   AC     A.a=0.03 B.该场观众年龄的众数的估计值为40岁 C.该场观众年龄的50%分位数为35岁 D.该场观众年龄的平均数的估计值为35岁 第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,由题意得(0.01+0.02+0.04+a)×10=1, 根据频率分布直方图中小矩形的面积之和为1,列方程. 解得a=0.03,A正确; 对于B,年龄(单位:岁)处于区间[30,40]内的观众频率最大,故该场观众年龄的众数的估计值为 = 35岁,B错误; 对于C,由于(0.01+0.02)×10=0.3<0.5,(0.01+0.02+0.04)×10=0.7>0.5,故该场观众年龄的50%分位数在[30,40]内,设为x岁,则(x-30)×0.04=0.5-0.3, 根据百分位数的定义列方程. 解得x=35,所以该场观众年龄的50%分位数为35岁,C正确; 对于D,该场观众年龄的平均数的估计值为(15×0.01+25×0.02+35×0.04+45×0.03)×10=34(岁),D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025湖北武汉检测]A校和B校是某市两所著名的高中,为了相互学习和交流,现随机抽取2 000名A校 学生和2 000名B校学生参加同一场知识问答竞赛,得到的竞赛成绩(单位:分)全部在区间[40,100)内,现 分别对两校学生的成绩作统计分析:对A校学生的成绩分析后发现,可将其分成组距为10的6组数,作频 率分布直方图,且频率分布直方图中的Y 满足函数关系Y= (n为组数序号,n ∈Z),B校学生成绩的频率分布直方图如下图所示,假定每组数据都是均匀分布的. 第1讲　描述运动的基本概念   (1)求k的值; (2)若B校准备给前100名的学生奖励,则应该奖励多少分以上的学生? (3)现在设置一个标准t分来判断某一学生是属于A校还是属于B校,将成绩小于t分的学生判为B校,大于t 分的学生判为A校,将A校学生误判为B校学生的概率称为误判率a,将B校学生误判为A校学生的概率称 为误判率b,误判率a与误判率b之和称作总误判率,记为f(t).若t∈[50,70),求总误判率f(t)的最小值,以及此 时t的值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由频率之和为1,得Y之和为0.1,0.1×(k+2k+4k+4k+3k+2k)=0.1,解得k= . (2)根据B校学生成绩的频率分布直方图,设应奖励x分以上的学生,由0.006 25×10×2 000=125知x∈[70, 80], 则(80-x)×0.006 25×2 000=100,解得x=72,所以应该奖励72分以上的学生. (3)根据题意进行分类讨论,写出f(t)的解析式,根据函数的单调性求f(t)的最值. 当t∈[50,60)时,f(t)=0.1×10× +0.1× ×(t-50)+0.037 5×(60-t)+0.125=- t+ , 当t∈[60,70)时,f(t)=0.1×10× +0.1×10× +0.1×(t-60)× +0.006 25×(70-t)+0.062 5= - , 由f(t)的单调性知, f(t)min=f(60)= ,所以总误判率最小为 ,此时t=60. 思想方法　函数与方程思想在本章中的应用主要体现在:①利用频率和为1列方程求参数值;②在样本 数字特征的计算中,构造函数求相应量的最值. 第1讲　描述运动的基本概念 三、转化与化归思想在统计与概率中的应用 6.[2025江西赣州期末]小陈喜欢打排球和踢足球,他打算在连续的三天假期中每天下午选其中一项进 行体育锻炼.如果某天选排球,那么他第二天还选排球的概率为 ;如果某天选足球,那么他第二天还选 足球的概率为 .若小陈第1天随机选其中一项运动,则小陈第3天选排球的概率为_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　设事件Ai(i=1,2,3)表示第i天选排球,Bi(i=1,2,3)表示第i天选足球,则P(A1)=P(B1)= , 设小陈第3天选排球为事件A,则A=A1A2A3+A1B2A3+B1B2A3+B1A2A3, 将复杂事件转化为比较简单的几个互斥事件的和事件. 所以P(A)=P(A1A2A3+A1B2A3+B1B2A3+B1A2A3)=P(A1A2A3)+P(A1B2A3)+P(B1B2A3)+P(B1A2A3)= × × + × ×  + × × + × × = . 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2025广东珠海检测]某城市为了了解居民对航空航天知识的认知程度,针对不同社区、不同年龄和 不同职业的人举办了一次航空航天知识竞赛,满分100分(90分及以上为认知程度高),其中认知程度高 的有m人,按年龄分为[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45],共5组,得到如图所示的频率分布直方图.   (1)根据频率分布直方图,估计这m人年龄的85%分位数; (2)现从以上各组中用分层抽样的方法抽取20人担任宣传使者. 若有甲(年龄31),乙(年龄34),丙(年龄42)三人已确定入选宣传使者, 现计划从第三组和第五组被抽到的宣传使者中,再随机抽取2名作为组长,求甲、乙、丙三人中至少有一人被选上的概率. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由频率分布直方图得年龄在[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45]内的频率分别为0.05,0.35,0. 3,0.2,0.1,由各组频率知85%分位数在[35,40)内,设年龄的85%分位数为a岁,则(40-a)×0.04=0.9-0.85,解得 a=38.75,所以这m人的年龄的85%分位数为38.75岁. (2)易知第三组应抽取20×0.3=6(人),第五组应抽取20×0.1=2(人), 不妨设从第三组和第五组被抽到的宣传使者中,除甲、乙、丙三人外的其他五人分别为A,B,C,D,E,则 从第三组和第五组被抽到的宣传使者中抽取2人的所有情况为甲A,甲B,甲C,甲D,甲E,甲乙,甲丙,乙A, 乙B,乙C,乙D,乙E,乙丙,丙A,丙B,丙C,丙D,丙E,AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,共28种, 其中甲、乙、丙都没被抽到的情况有AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,共10种, 转化为对立事件的概率,进而求解. 所以甲、乙、丙三人至少有一人被选上的概率为1- = . 第1讲　描述运动的基本概念 思想方法　在解决概率问题时常利用互斥、对立事件的关系将求复杂事件的概率转化为求简单事件 的概率,利用独立性将事件分为若干个简单的步骤解决,利用频率估计概率等,都涉及转化与化归思想 的应用. 第1讲　描述运动的基本概念 $