第三章函数的概念与性质单元检测卷（能力卷01）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高一数学必修一第三章函数单元检测卷，以真实情境应用与梯度设计为特色，覆盖定义域、单调性、奇偶性等核心知识，通过利润计算、设备方案等实际问题培养数学建模与逻辑推理能力，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|定义域（第1题）、函数最值（第2题）、幂函数性质（第3题）|结合文创定价（第4题）考查二次函数建模| |多选题|3|函数概念辨析（第9题）、同一函数判断（第10题）|抽象函数性质（第11题）融合单调性与凸性| |填空题|3|单调性解不等式（第12题）、分段函数求值（第13题）|二次函数根与解集综合（第14题）| |解答题|5|函数解析式（第15题）、单调性证明（第16题）|设备盈利方案（第19题）对比两种函数模型应用|

高一数学必修一第三章函数的概念与性质单元检测卷（能力卷01） 一、单选题 1．已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A． B． C． D． 2．已知函数，的最小值是：（    ） A． B．0 C．4 D．8 3．已知幂函数为偶函数，若函数在区间上为单调函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．某文旅公司设计了一款文创纪念品，打算批量生产并在旅游景区进行售卖.前期设计费和宣传费需要固定投入5万元，每件纪念品的生产成本为40元，经市场调研预估，若以60元的单价出售，则能销售1万件，在销售单价60元的基础上，每降价1元，销量在1万件的基础上增加1千件，要使得该款纪念品的利润最大，则每件纪念品的定价应为（    ） A．50元 B．52元 C．53元 D．55元 5．若函数|在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 6．若函数为偶函数且在上是减函数，又，则;的解集为 A．（－3,3） B．（－∞，－3）∪（3，＋∞） C．（－3,0）∪（3，＋∞） D．（－∞，－3）∪（0,3） 7．已知函数，若对于任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝1 000＋5x＋x2，Q＝a＋，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大．此时每吨的价格为40元，则有(　　) A．a＝45，b＝－30 B．a＝30，b＝－45 C．a＝－30，b＝45 D．a＝－45，b＝－30 二、多选题 9．下列各项说法正确的有（    ） A．可以表示y是x的函数 B．与是相同函数 C． 是奇函数 D． 在定义域内是减函数 10．下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 11．函数满足条件：①对于定义域内任意不相等的实数恒有；②对于定义域内的任意两个实数都有成立，则称其为函数.下列函数为函数的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．定义在上的函数为减函数，满足不等式的的集合为______. 13．设函数，则______. 14．存在两个相等的实数根，且不等式的解集为，则实数的值是____. 四、解答题 15．已知为一次函数，为二次函数，且． (1)求的解析式； (2)若与轴及都相切，且，求的解析式． 16．已知函数. (1)若，判断的奇偶性并加以证明. (2)当时，先用定义法证明函数在上单调递增，再求函数在上的最小值. (3)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 17．已知函数，且 (1)求实数a的值； (2)判断函数在上的单调性，并证明； (3)求函数在上的最值. 18．已知幂函数． (1)若的定义域为R，求的解析式； (2)若为奇函数，，使成立，求实数k的取值范围． 19．某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元.使用若干年后对该设备处理的方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额（注：年平均盈利额）达到最大值时，该设备以30万元的价格处理. (1)设前年的总盈利额为（不含设备处理收益），写出方案一中与的函数关系式 (2)哪种方案较为合理？并说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《人教A版必修第一册第三章单元检测卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D D B C D A BC AC 题号 11 答案 ACD 1．B 【分析】由已知函数的定义域求得的定义域，再由在的定义域内求得的取值范围. 【详解】解：由题意得： 函数的定义域是 设 ，则的定义域为 ，解得. 故选：B 2．B 【分析】利用二次函数的单调性即可. 【详解】由题意可知，在上单调递增，则最小值为. 故选：B 3．D 【分析】幂函数为偶函数，解得，函数在区间上为单调函数，利用二次函数的性质，列不等式求实数a的取值范围. 【详解】为幂函数，则，解得或， 时，；时，. 为偶函数，则. 函数在区间上为单调函数， 则或，解得或， 所以实数a的取值范围为. 故选：D. 4．D 【分析】设该款纪念品降价元，根据题意得到利润，根据二次函数的最值即可得到答案. 【详解】依题意，设该款纪念品降价元，则销售单价为元，销售量为万件， 利润为，当时，取得最大值，即定价为55元时，利润最大. 故选：D. 5．B 【详解】,分三种情况讨论. 当时，，所以； 当时，，在上显然单调； 当时，，所以. 综上：或. 故选B. 点睛：含绝对值的函数问题，一般的思路是去绝对值，即将函数转成分段函数，含参数时，只需讨论参数范围即可. 6．C 【详解】试题分析：由函数为偶函数可得，所以不等式转化为，由在上是减函数可知在上是增函数转化为不等式组或，结合图像可知解集为（－3,0）∪（3，＋∞） 考点：函数单调性与奇偶性解不等式 7．D 【分析】确定是增函数，奇函数，利用这两个性质变形不等式，再由分离参数法化为，然后利用勾形函数的单调性求得右边的最大值即得． 【详解】是上的增函数，又，即是奇函数， 所以不等式可化为， 所以，又，所以， 由勾形函数的性质知在上是增函数，所以时，， 所以， 故选：D． 8．A 【详解】设生产x吨产品全部卖出，获利润为y元， 则y＝xQ－P＝x－＝·x2＋(a－5)x－1 000(x＞0)． 由题意知，当x＝150时，y取最大值，此时Q＝40. 所以解得 答案：A 9．BC 【分析】对于A，B，由函数定义可判断；对于C，由奇函数的定义可判断；对于D，由函数单调性可判断. 【详解】对于A，一个x对应两个y，所以y不是x的函数，故A项错误； 对于B，由两函数的对应法则和定义域都相同，即为相同函数，故B项正确； 对于C，由解析式知定义域关于原点对称，且则，有知：是奇函数，故C项正确； 对于D，函数在和上单调递减，但在定义域内不具有单调性，故D项错误. 故选：BC 10．AC 【分析】根据同一函数的定义判断即可（函数三要素里只需要定义域和对应法则一样即为同一函数）. 【详解】对A， 与定义域都为，且对应法则一样，与为同一函数； 对B，由得 ：，的定义域为，且，同理：的定义域为，两函数的定义域一样，对应法则不一样，与不是同一函数； 对C，与的定义域都为，且，两函数的定义域一样和对应法则一样，与是同一函数； 对D， ，而，两函数的对应法则一样，但定义域不一样，与不是同一函数. 故选：AC 11．ACD 【分析】直接利用定义判断是函数；再根据题意分析函数满足单调递增且图象上凸，结合图象对BCD逐一判断即可. 【详解】依题意，对于定义域内任意不相等的实数恒有，即 是增函数； 对于定义域内的任意两个实数都有成立， 是上凸函数. A选项中，是增函数，且，故满足条件，是 函数； B选项中，是增函数，如图可知，图象下凸， ，不是 函数； C选项中，是增函数，如图可知，图象上凸， ，是 函数； D选项中，是增函数，如图所示，图象上凸， 同理可知满足，是 函数. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛： 本题解题关键在于弄清楚函数满足的函数特征：增函数、上凸函数，才能结合图象突破难点. 12． 【分析】由函数是定义在上的减函数，可将不等式转化为，解出即可. 【详解】解：因为函数是定义在上的减函数， 又， 所以， 解得：， 故答案为 【点睛】本题考查利用函数单调性解抽象函数不等式，是基础题. 13． 【分析】根据题意，结合函数的解析式，逐次计算，即可求解. 【详解】由函数， 则. 故答案为：. 14． 【分析】由根的判别式得到，并设的两个根分别为，由题意得，结合韦达定理得到方程，求出答案. 【详解】存在两个相等的实数根， 故， 设的两个根分别为，即的两个根为， 由韦达定理得， 由题意得， 即， 解得. 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）假设解析式，利用可构造方程组求得； （2）利用可得；根据与轴和相切，利用判别式即可求得的值，由此可得. 【详解】（1）由题意可设：，， ， ， ，，解得：，. （2），，； 与轴相切，，即，； 与相切，有且仅有一个实根， ，解得：，，. 16．(1) 函数为奇函数，证明如下： 由题意，， 则函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数为奇函数. (2) 当时，， 取，且， ， 因为，所以，，， 则，即， 所以，函数在上单调递增， 所以函数在上的最小值为． (3) 【分析】（1）根据得函数的解析式，再利用奇偶性的定义证明即可； （2）先利用函数的单调性的定义证明，再根据单调性求最小值； （3）分离参数，将恒成立问题转化为最值问题，再根据函数的性质求最值即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由题意，对任意，恒成立， 则对任意，恒成立；进而得， 设函数，根据二次函数的性质可得， 函数在上单调递增，所以在上的最小值为， 因此，实数的取值范围是. 17．(1) (2) 函数在上单调递增，证明如下： 由（1）可得，， 任取，不妨设， 则 因为且， 所以， 所以，即， 所以在上单调递增. (3)最小值为，最大值为 【分析】（1）由题意得方程，求解即可； （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）根据单调性可得最值. 【详解】（1）因为，且，所以，所以. （2）略 （3）由（2）知，函数在上单调递增， 则当时，有最小值； 当时，有最大值. 18．(1) (2) 【分析】（1）由题意可知，求解的值，并验证定义域即可求解； （2）由（1）可知，，使成立，即，使成立，令，则，判断函数的单调性并求最值即可求解 【详解】（1）因为是幂函数， 所以， 解得或， 当时，，定义域为，符合题意； 当时，，定义域为，不符合题意； 所以； （2）由（1）可知为奇函数时，， ，使成立，即，使成立， 所以，使成立， 令，则， 且，则 ， 因为， 所以， 所以，即， 所以在上是减函数， 所以， 所以，解得， 所以实数k的取值范围是 19．(1) (2)方案二合理，理由如下： 方案一：， 当时，总盈利额取得最大值90万元， 此时处理掉设备，则总利润为万元； 方案二：由（1）可得年平均利润额为 ， 当且仅当即时等号成立， 即当时，年平均盈利额最大为20万元，此时总盈利额万元， 此时处理掉设备，则总利润为万元； 综上，两种方案获利都是110万元，但方案一需要5年，而方案二仅需要4年， 故方案二合理. 【分析】（1）利用已知条件即可写出与的函数关系式； （2）分别写出两种方案的总利润以及所需要的时间，即可得出结论. 【详解】（1）根据题意可得， 则方案一中与的函数关系式为：； （2）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $