第五章 二次函数 问题解决活动：怎样围面积最大-同步练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦“围面积最大”问题，通过基础题与拔高题分层设计，构建从单一矩形面积计算到综合实际情境建模的巩固路径，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础题|单一矩形面积计算、无限制条件下二次函数最值|如选择1、填空3-13，直接应用矩形面积公式与二次函数求最值，巩固基本方法| |拔高题|含限制条件（墙长、动点、多矩形组合）的综合应用|如选择2（动点问题）、解答17-18（剪正方形折盒子、车棚面积计算），需建立复杂模型，发展推理能力与应用意识|

第五章问题解决活动：怎样围面积最大 一、选择题： 1.如图，利用一面墙，用长的篱笆围成一块矩形场地，如果墙足够长，那么围成的矩形场地的最大面积是(    ) A. B. C. D. 2.（拔高题）如图，在中，，，，点从点出发，沿方向以的速度向点运动同时点从点出发，沿方向以的速度向点运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，那么的最大面积是(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 3.如图，利用一面墙墙的长度不限，用长的篱笆围成一个矩形菜园当          时，菜园的面积最大． 4.如图，小明的父亲想用长为米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园已知房屋外墙长米，则可围成的菜园的最大面积是          平方米． 5.用长的绳子围成长方形绳子全部用完，设长方形一边的长为，面积为，取          时，最大，为          ． 6.如图，某农场拟建造由甲，乙两个矩形组成的羊圈，饲养室的一面靠长的墙，其余的部分用栅栏围成甲、乙两部分．已知提前准备的建筑材料可以建造长的栅栏，则该羊圈最大面积可以建造          ． 7.如图，某建筑队在一边靠墙处，计划用长的铁栅栏围成一个长方形仓库，仓库总面积为，在平行于墙的一边留下一个宽的缺口作小门设，则关于的函数关系式为          ． 如图，某建筑队在工地一边靠墙处，用长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为，为方便取物，在各个仓库之间留出了宽的缺口作为通道，在平行于墙的一边留下一个宽的缺口作小门设，则关于的函数关系式为          ． 8.用长为的铝合金制成如图所示的矩形窗框，则窗户的最大透光面积为          ． 9.如图，九班劳动实践基地位于形围墙的内侧，已知，墙长米，墙长米．同学们准备用米长的围栏，在基地内围出一块矩形菜地可利用围墙，则他们能围出的最大面积是          平方米． 10.如图，王明用总长为的篱笆围成一个一边靠墙墙足够长的矩形菜园，中间的一条篱笆隔离栏将这个矩形菜园分割成两个较小的矩形设大矩形垂直于墙的一边长为，菜园的总面积为 若关于的函数图象如图所示，则的值是          ． 11.为了节省材料，某工厂利用岸堤岸堤足够长为一边，用总长为米的材料围成一个由四块面积相等的小矩形组成的矩形区域如图若米，则下列结论：米矩形的最大面积为平方米其中正确结论的序号是          ． 12.如图，在四边形中，，，，，，分是边与边上的动点当时，的最小值为          ． 13.将一条长为的绳子截成两部分，分别用这两条绳子围成两个正方形，则这两个正方形面积和的最小值为          ． 14.（拔高题）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角两边足够长，用长的篱笆围成一个矩形花园篱笆只围，两边，设。若在点处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内含边界，不考虑树的粗细，则花园面积的最大值为          。 三、解答题： 15.本小题分某学校为方便开展劳动教育，要在学校一处靠墙的空地上设计一片矩形菜园如图是学校围墙一角的平面图，两道墙之间的夹角为直角，两道墙可用于建菜园的长度都不超过可用的篱笆总长度为把篱笆按如图所示的方式扎下后和两道墙构成矩形设的长为，菜园的面积为． 求菜园面积单位：关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围 求菜园面积的最大值． 16.本小题分一根铝合金型材长为，用它制作一个“日”字形窗户的框架如图，如果恰好用完整条铝合金型材，那么，分别为多少米时，窗户的面积最大？ 17.（综合拔高题）本小题分如图，把一张长，宽的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子纸板的厚度忽略不计，设四周小正方形的边长为． 求盒子的侧面积与的函数关系式 求当正方形的边长为何值时，侧面积有最大值，并求出的最大值 当侧面积为时，小正方形的边长为多少 18.（综合拔高题）本小题分如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙可利用墙长为，其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后出口不占用不锈钢栅栏，不锈钢栅栏状如“山”字形备注信息：在自行车车棚后面距教学楼后墙处，规划有机动车停车位 设自行车车棚的面积为，车棚宽度为． 车棚的长          用含的式子表示． 求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围． 若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少请通过计算说明． 答案和解析 1. 2. 3. 4. 5. 6. 【解析】设宽为，则长为，则，解得，由题意得，配方得，该羊圈最大面积可以建造． 7.【小题】【小题】 8. 【解析】设窗框的高度为，则宽度为，， 窗户的最大透光面积． ，当时，取得最大值，最大值为． 9. 【解析】设矩形菜地的宽为米，面积为平方米．墙长米，墙长米，围栏的长为米，当以，为边围成矩形时，矩形的面积为平方米当矩形的长大于米，宽小于米时，矩形的长为米，，当时，随着的增大而增大．，  当矩形的长小于米，宽大于米时，矩形的长为米，，当时，有最大值，为．，综上，他们能围出的最大面积是平方米．故答案为． 10.  11.  12.  13. 14. 【解析】设其中一条绳子的长度为，则另一条绳子的长度为，，两个正方形的边长分别为，． 设两个正方形的面积之和为， ． ， 当时，取得最小值，为， 这两个正方形面积和的最小值为． 15.【小题】解：根据题意列不等式组得 解得，． 【小题】 ， 当时，有最大值，最大值是． 16.解：设窗架的长为米，则宽为米， 则，即， 要使窗架的面积最大， 则， 于是宽为， 所以要使做成的窗架的面积最大， 故该窗的，分别为米，米时，窗架的面积最大．  【解析】设窗架的长为米，则宽为米，根据面积公式列出二次函数解析式，根据二次函数的性质即可求解． 此题考查的是二次函数在实际生活中的运用及求函数最值的方法，属较简单题目．解题的关键是用一个未知数表示出长和宽，利用面积公式来列出函数表达式后再求其最值． 17.【小题】解：由题意可得，， 即盒子的侧面积与的函数关系式是． 【小题】由知，， 当时，侧面积有最大值，此时． 【小题】 由题意可得，，解得，， 答：当侧面积为时，小正方形的边长为或． 18.【小题】 【小题】由题意，得解得与之间的函数关系式为． 【小题】．，，当时，取最大值，．自行车车棚面积最大可达到． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $