课时规范练60 排列与组合专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 以分类分步计数原理为核心，通过三级梯度系统整合排列组合的直接法、间接法、捆绑插空等解题方法，构建“概念-方法-应用”逻辑链条，培养数学思维与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|10题|直接法、间接法、特殊元素优先|从基本计算到简单限制条件应用，强化分类分步原理| |综合提升|6题|分组分配、捆绑插空法|复杂情境方法综合，深化排列与组合的区别联系| |创新应用|2题|组合数恒等式推理、实际建模|原理到应用，培养逻辑推理与创新意识|

课时规范练60　排列与组合 基础巩固组 1.有5名同学被安排在周一至周五值日,已知同学甲只能在周一值日,那么5名同学值日顺序的编排方案共有(　　) A.12种 B.24种 C.48种 D.120种 2.(多选)下列等式中,成立的有(　　) A. B. C. D.=n 3.甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(　　) A.30种 B.60种 C.120种 D.240种 4.从4名男生和2名女生中选出2名男生和1名女生担任元旦联欢晚会的主持人,则不同的选法共有(　　) A.6种 B.12种 C.24种 D.18种 5.某大学计算机学院的丁教授在今年人工智能方向招收了6名研究生.丁教授拟从人工智能领域的语音识别、人脸识别、数据分析、机器学习、服务器开发共5个方向展开研究.每个方向均有研究生学习,每位研究生只参与一个方向的学习.其中小明同学因录取分数最高主动选择学习人脸识别,其余5名研究生均表示服从丁教授统一安排,则这6名研究生不同的分配方向共有(　　) A.480种 B.360种 C.240种 D.120种 6.某医院安排3名男医生和2名女医生去甲、乙、丙三所医院支援,每所医院安排一到两名医生,其中甲医院要求至少安排一名女医生,则不同的安排方法有(　　) A.18种 B.30种 C.54种 D.66种 7.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有(　　) A.144个 B.120个 C.96个 D.72个 8.某中学为了弘扬我国二十四节气文化,特制作出二十四节气宣传橱窗,其中“雨水”“惊蛰”“谷雨”“芒种”“白露”“寒露”6块知识展板放置在排成一排的六个文化橱窗里.要求“雨水”和“谷雨”两块展板不相邻,且“白露”与“寒露”两块展板不相邻,则不同放置方式的种数为(　　) A.144 B.240 C.336 D.456 9.某校举办优质课比赛,决赛阶段共有6名教师参加.如果甲、乙、丙三人中有一人第一个出场,且最后一个出场的只能是甲或乙,则不同的出场方案共有　　　　　种.  10.甲、乙、丙3人在公交总站上了同一辆公交车,已知3人都将在第4站至第8站的某一公交站点下车,且在每一个公交站点最多只有两人同时下车,从同一公交站点下车的两人不区分下车的顺序,则甲、乙、丙3人下车的不同方法总数是　　　　.  综合提升组 11.在一次学校组织的研究性学习成果报告会上,有A,B,C,D,E,F共6项成果要汇报,如果B成果不能最先汇报,而A,C,D按先后顺序汇报(不一定相邻),那么不同的汇报安排种数为(　　) A.100 B.120 C.300 D.600 12.某市践行“干部村村行”活动,现有3名干部下乡到5个村蹲点指导工作,每个村必须有1名干部,每名干部至多去3个村,则不同的选派方案共有(　　) A.243种 B.210种 C.150种 D.125种 13.有互不相同的5盆菊花,其中2盆为白色,2盆为黄色,1盆为红色.现要摆成一排,白色菊花不相邻,黄色菊花也不相邻,共有(　　)种不同的摆放方法. A.24 B.36 C.42 D.48 14.2024年4月6号岳阳马拉松暨全国半程马拉松锦标赛(第三站)开赛,比赛结束后,其中5男3女共8位运动员相约在赛道旁站成前后两排合影,每排各4人,若男运动员中恰有2人左右相邻,则不同的排列方法共有(　　) A.732种 B.2 260种 C.4 320种 D.8 640种 15.(2025广西南宁三模)某志愿者协会安排甲、乙等5名志愿者到A,B,C三个社区进行志愿者服务,要求每个社区都要有志愿者去,且甲和乙都不能去A社区,则不同的安排方式有　　　　　种.(用数字作答)  16.信息技术辅助教学已经成为教学的主流趋势,为了了解学生利用学习机学习的情况,某研究机构在购物平台上购买了6种主流的学习机,并安排4人进行相关数据统计,且每人至少统计1种学习机的相关数据(不重复统计),则不同的安排方法有　　　　　种.  创新应用组 17.从装有n+1个不同小球的口袋中取出m个小球(0<m≤n,m,n∈N),共有种取法.在这种取法中,可以视作分为两类:第一类是某指定的小球未被取到,共有种取法;第二类是某指定的小球被取到,共有种取法.显然,即等式成立.试根据上述想法,下面式子+…+(其中1≤k<m≤n,k,m,n∈N)应等于(　　) A. B. C. D. 18.已知某超市为顾客提供A,B,C,D四种结账方式.若顾客甲不能用D方式结账,顾客乙只能用A方式结账,顾客丙、丁用哪种方式结账都可以.这四名顾客购物后,恰好用了其中的三种结账方式,那么他们结账方式的可能情况有　　　　种.  参考答案 1.B　解析因为同学甲只能在周一值日,所以除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日,所以5名同学值日顺序的编排方案共有=24(种).故选B. 2.BCD　解析=n(n-1)·…·(n-m+1)=,故A错误;根据组合数性质知B,C正确;=n,故D正确.故选BCD. 3.C　解析(方法1　直接法)甲在6种课外读物中任选2种,有种选法,乙先在甲选的2种课外读物中选1种,有种选法,再在甲选2种课外读物后剩下的4种中选1种有种选法,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有×2×4=120种. (方法2　间接法)甲、乙两位同学各自选读2种课外读物共有种选法,甲、乙所选都不同有种选法,甲、乙所选都相同有种选法,故这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法有·(-1)=120种.故选C. 4.B　解析由题意,从4名男生和2名女生中选出2名男生和1名女生担任元旦联欢晚会的主持人,可分两步:第一步,先从4名男生中选出2人,有=6种选法;第二步,从2名女生中选出1人,有=2种选法.由分步乘法计数原理可得,共有=12种不同的选法.故选B. 5.B　解析分两类:(1)人脸识别方向不安排其他研究生,则有=240种不同的分配方向. (2)人脸识别方向安排1名其他研究生,则有=120种不同的分配方向. 综上,共有240+120=360种不同的分配方向. 6.C　解析 由题意可知,向甲、乙、丙三所医院分配医生的人数有三种类型,分别为1,2,2;2,1,2;2,2,1. 因为甲医院要求至少有一名女医生,第一种方案共有=12种. 第二种方案分两种情况,甲医院有两名女医生、甲医院有一名女医生,共有=21种. 同理,第三种方案有21种. 所以共有12+21+21=54种不同的安排方法.故选C. 7.B　解析由题意可知,4开头的满足题意的偶数的个数为,5开头的满足题意的偶数的个数为,根据分类加法计数原理可得,比40 000大的偶数共有=120个.故选B. 8.C　解析 根据题意,第一步,让“雨水”和“谷雨”不相邻,不同放置方式的种数为=480;第二步,让“雨水”和“谷雨”不相邻,且“白露”和“寒露”相邻,不同放置方式的种数为=144.所以不同放置方式的种数为480-144=336.故选C. 9.96　解析若第一场比赛甲或乙出场,则最后一个出场的是甲或乙,故不同的出场方案有=48种; 若第一场比赛丙出场,最后一个出场的是甲或乙,故不同的出场方案有=48种. 根据分类加法计数原理,不同的出场方案共有48+48=96(种). 10.120　解析 由题意得,3人都在第4站至第8站的某一公交站点1人独自下车,共有=60种不同的方法,3人中有2人在同一个公交站点下车,另1人在另外一个公交站点下车,共有=60种不同的方法,故甲、乙、丙3人下车的不同方法总数是60+60=120. 11.A　解析不考虑限制条件共有种,B最先汇报共有种,如果B不能最先汇报,而A,C,D按先后顺序汇报(不一定相邻)有=100种不同的安排. 12.C　解析3名干部可供选派,下乡到5个村蹲点指导工作,每个村都需要1名干部,每名干部至多去3个村,于是可以把5个村分为(1,1,3)和(1,2,2)两组.当为(1,1,3)时,有=60种不同的选派方案;当为(1,2,2)时,有=90种不同的选派方案.根据分类加法计数原理,可得不同的选派方案共60+90=150(种).故选C. 13.D　解析 红色菊花在正中间位置时,白色菊花不相邻,黄色菊花也不相邻,即红色菊花两边各一盆白色、一盆黄色菊花,故有=16(种)不同的摆法;红色菊花在首位或尾端时,先排白色菊花,产生3个空再对黄色菊花分类摆,故有×(2+2)=16(种)不同的摆法;红色菊花在第2或第4个位置时,先给首位或尾端任意放一种,剩下的3盆花位置就确定了,故有×2=16(种)不同的摆法.综上,共有16+16+16=48(种)不同的摆放方法.故选D. 14.D　解析 根据题意,只能一排为3男1女,另一排为2男2女,且相邻的2位男运动员在“3男1女”这一排中.先确定“3男1女”这一排,5男选3人,3女选1人,所选3男选2人相邻,与余下的1男安排在1女的两侧,不同的排列方法有=360种;再确定“2男2女”这一排,2男先排好有种方式,2女相邻并放在2男之间有1×种方式,或2女放在2男排成的两空有2×种方式,排列方法有3=12种.因此不同的排列方法总数为2×360×12=8 640.故选D. 15.62　解析 因为甲和乙都不能去A社区,对A社区去的志愿者人数进行分类讨论. 若只有1个人去A社区,有3种情况,然后将剩余4人分为两组,再将这两组分配给B,C两个社区,此时有3(=42种不同的安排方式;若有2人去A社区,有=3种情况,然后将剩余3人分为两组,再将这两组分配给B,C两个社区,此时有3=18种不同的安排方式;若有3人去A社区,只需将甲、乙两人分配给B,C社区即可,每个社区1个人,此时有=2种不同的安排方式.由分类加法计数原理可知,不同的安排方式种数为42+18+2=62. 16.1 560　解析 由题意,学习机的分配方法有3,1,1,1和2,2,1,1两类情况,若按3,1,1,1分组再分配给4人,共有=20×24=480种安排方法. 若按2,2,1,1分组再分配给4人,共有=1 080种安排方法. 故共有480+1 080=1 560(种)不同的安排方法. 17.A　解析在+…+中,从第一项到最后一项表示从装有n个白球,k个黑球的袋子里,取出m个球的所有情况取法总数的和,故式子表示的意思为从装有n+k个球中取出m个球的不同取法数.故选A. 18.26　解析①当甲、丙、丁顾客都不选C方式时,则甲有2种选择,当甲选择A方式时,其余2人有=2(种)选择;当甲选择B方式时,丙、丁可以都选D方式,或者其中一人选择D方式,另一人只能选A或B方式,有1+=5(种)选择.故有2+5=7(种)选择. ②当甲、丙、丁顾客都不选B方式时,则甲有2种选择,当甲选择A方式时,其余2人有=2(种)选择;当甲选择C方式时,丙、丁可以都选D方式,或者其中一人选择D方式,另一人只能选C或A方式,故有1+=5(种)选择.故有2+5=7(种)选择. ③当甲、丙、丁顾客都不选D方式时,若有人使用A方式,则有=6(种)选择;若没有人使用A方式,则有=6(种)选择.故有6+6=12(种)选择. 根据分类加法计数原理可得共有7+7+6+6=26(种)不同的结账方式. 1 学科网（北京）股份有限公司 $