课后作业 两个计数原理、排列与组合-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦两个计数原理与排列组合，通过分层题型构建“原理应用-模型转化-综合创新”的解题体系，强化数学思维与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础原理应用|1-8题|分类加法/分步乘法计数原理、直接法/间接法|从基本选法（如第1题）到有限制条件排列（如第2题），构建原理应用逻辑链| |分组分配问题|9-12题|平均分组/非平均分组、正难则反思想|结合排列组合公式（如第9题方程）到实际情境（如第11题课程选修），体现知识迁移| |综合创新应用|13-15题|涂色模型、错排问题、逻辑推理|从区域涂色（第13题）到密码破解（第15题），融合数学语言表达与创新意识|

第1节　两个计数原理、排列与组合 （时间：60分钟，满分：96分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.甲、乙、丙、丁四人打算从北京、上海、西安、长沙四个城市中任选一个前去游玩，其中甲去过北京，所以甲不去北京，则不同的选法有（　　） A.18种 B.48种 C.108种 D.192种 2.从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，那么不同的放法种数为（　　） A. B. C. D. 3.（2026·山东泰安模拟）从5名同学中选择4人参加三天志愿服务活动，有一天安排两人，另两天各安排一人，共有多少种安排方法（　　） A.20 B.60 C.120 D.180 4.（2026·浙江金华模拟）从1，2，3，4，5，6这六个数中任选三个数，至少有两个数为相邻整数的选法种数有（　　） A.8 B.16 C.20 D.24 5.〔多选〕下列说法正确的是（　　） A.88×89×90×…×100可表示为 B.若把英文“hero”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有23种 C.10个朋友聚会，见面后每两个人握手一次，一共握手45次 D.学校有5个“市三好学生”名额，现分给3个年级，每个年级至少一个名额，共有6种分法 6.〔多选〕从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有（　　） A.如果4人全部为男生，那么有30种不同的选法 B.如果4人中男生、女生各有2人，那么有30种不同的选法 C.如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法 D.如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法 7.10个相同的小球，放入3个不同的盒子中，每个盒子至少放1个球，则所有的不同放法有　　　　种. 8.（2026·山东济南模拟）将两个1，两个3，一个5排成一行，则不同的排法种数为　　　　.（用数字作答） 9.（13分）解方程：（1）＝60； （2）＝＋＋. 10.（2026·湖北武汉二调）有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（　　） A.40 B.48 C.52 D.60 11.数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”“世界数学通史”“几何原本”“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选2门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（　　） A.18种 B.36种 C.54种 D.78种 12.〔多选〕现有4个小球和4个小盒子，下面的说法正确的是（　　） A.将4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，共有24种放法 B.将4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，恰有两个空盒的放法共有18种 C.将4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，恰有一个空盒的放法共有144种 D.将编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种 13.（2025·江苏南京二模）英国数学家弗朗西斯·格思里提出四色猜想（四色定理）：任何平面或球面上的地图只需不超过四种颜色即可实现相邻区域颜色不同.该猜想于1976年由阿佩尔和哈肯借助计算机完成证明.如图，一个地区分为6个行政区域，现给地图上的行政区域涂色（注：人工湖不需要涂色），要求：每个区域涂1种颜色，相邻区域不同色.现有红、黄、蓝、绿4种颜色可供选择，则不同的涂色方法有　　　　种（用数字作答）. 14.（15分）一个口袋内有4个不同的红球、6个不同的白球. （1）从中任取4个，使红球的个数不比白球的个数少，这样的取法有多少种？ （2）如果取1个红球记2分，取1个白球记1分，那么从口袋中取5个球，使总分不少于7的取法有多少种？ 15.〔创新设问〕（2026·辽宁省部分重点中学协作体考试）有一个密码锁，它的密码是由三个数字组成.只有当我们正确输入每个位置的数字时，这个密码锁才能够打开.现在我们并不知道密码是多少，当输入249时，提示1个数字正确，并且位置正确；当输入235时，提示1个数字正确，但位置错误；当输入962时，提示2个数字正确，但位置全错.则正确的密码为　　　　. 第1节　两个计数原理、排列与组合 1.D　2.C　3.D　4.B　5.BCD　6.CD 7.36　8.30　 9.解：（1）由已知，可得x∈N*，2x≥4，x≥3， ∴x≥3，且x∈N*， ∴2x（2x－1）（2x－2）（2x－3）＝60x（x－1）·（x－2）， 化简得4x2－23x＋33＝0， 解得x＝3或x＝. ∵x≥3，且x∈N*，∴x＝3， ∴原方程的解为x＝3. （2）由已知，可得n≥2，且n∈N*， ∵＝＋＋， ∴＝＋， ∴＝＋， ∴＋＝＋， ∴＝，即n＋2＝， 解得n＝－1或n＝4， ∵n≥2，且n∈N*，∴n＝4. ∴原方程的解为n＝4. 10.B　先从四对双胞胎中选出一对，有4种选择；然后从剩下的六个人中选出两个人，且不能是同一对双胞胎，这相当于从三对双胞胎中选出两对，再从每对中选出一个人，共有3×2×2＝12种选择.根据分步乘法计数原理，总共有4×12＝48种选法.故选B. 11.C　由题意，三年修完四门选修课程，每学年至多选2门，则每位同学每年所修课程数为1，1，2或0，2，2.若每年所修课程数为1，1，2，则先将4门课程按1，1，2分为三组，有＝6（种）不同的方式，再分配到三个学年，有＝6（种）不同的方式，由分步乘法计数原理，知不同的选修方式共有36种；若每年所修课程数为0，2，2，则先将4门课程按0，2，2分为三组，有＝3（种）不同的方式，再分配到三个学年，有＝6（种）不同的方式，由分步乘法计数原理，知不同的选修方式共有18种.综上，每位同学的不同选修方式有36＋18＝54（种），故选C. 12.BCD　若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，共有44＝256（种）放法，故A错误；若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，且恰有两个空盒，则一个盒子放3个小球，另一个盒子放1个小球或两个盒子均放2个小球，共有（＋1）＝18（种）放法，故B正确；若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，且恰有一个空盒，则两个盒子中各放1个小球，另一个盒子中放2个小球，共有·＝144（种）放法，故C正确；编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，没有一个空盒 但小球的编号和盒子的编号全不相同，若（2，1，4，3）代表编号为1，2，3，4的盒子放入的小球编号分别为2，1，4，3，所有符合要求的情况为（2，1，4，3），（4，1，2，3），（3，1，4，2），（2，4，1，3），（3，4，1，2），（4，3，1，2），（2，3，4，1），（3，4，2，1），（4，3，2，1），共9种放法，故D正确. 13.216　解析：如图，将6个行政区标上序号，区域1有4种颜色可选，共4种方法；区域2与区域1相邻，不能与区域1同色，有3种颜色可选，共3种方法；区域3与区域1、2相邻，不能与区域1、2同色，有2种颜色可选，共2种方法；①若区域4与区域2同色，有1种颜色可选，此时区域5与区域2不同色且有2种涂色方法，此时区域6有2种涂色方法；②若区域4与区域2不同色，有1种颜色可选，此时若区域5与区域2同色，有1种涂色方法，区域6有3种涂色方法，若区域5与区域2不同色，有1种涂色方法，区域6有2种涂色方法，所以一共有4×3×2×[1×2×2＋1×（1×3＋1×2）]＝216种方法. 14.解：（1）从10个球中任取4个，使红球的个数不比白球的个数少的取法，可分三类： 第一类，红球取4个时，有种方法； 第二类，红球取3个、白球取1个时，有种方法； 第三类，红球取2个、白球取2个时，有种方法. 由分类加法计数原理可知，共有＋＋＝115（种）取法. （2）设取红球x个、白球y个，依题意知， 且0≤x≤4，0≤y≤6，由此解得或或这样使总分不少于7的取法可以分为三类： 第一类，红球取2个、白球取3个的方法数为； 第二类，红球取3个、白球取2个的方法数为； 第三类，红球取4个、白球取1个的方法数为. 由分类加法计数原理可知，共有符合条件的取法＋＋＝186（种）. 15.659　解析：题中给出三个信息：①当输入249时，提示1个数字正确，并且位置正确；②当输入235时，提示1个数字正确，但位置错误；③当输入962时，提示2个数字正确，但位置全错，由①②知，密码中不含数字2；由③知，密码中含数字9和6，9不在百位，6不在十位；由①知，密码中也不含数字4，且9在个位数，6在百位；由②知，不可能有数字3，所以有数字5，且5在十位.所以密码为659. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $