课时规范练64　离散型随机变量的分布列、均值与方差-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 课时规范练64聚焦离散型随机变量的分布列、均值与方差，通过基础巩固、综合提升、创新应用三层设计，实现从概念理解到实际应用的递进，适配一轮复习知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固组|分布列、均值、方差的基本计算|单选为主，如已知分布列求参数，培养运算能力与推理意识| |综合提升组|分布列与概率、分层抽样的综合应用|多选与解答题结合，如结合发球规则分析期望，发展数据观念| |创新应用组|实际情境中的随机变量模型构建|结合猜成语大赛等情境，需建立数学模型，提升应用意识与创新意识|

课时规范练64　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础巩固组 1.已知随机变量X的分布列如下: X 1 2 P m n 若E(X)=,则m=(　　) A. B. C. D. 2.设随机变量X的分布列如下表,则P(|X-2|=1)=(　　) X 1 2 3 4 P m A. B. C. D. 3.设随机变量X的分布列如下表, X 0 1 2 3 P 0.1 a 0.3 0.4 则方差D(X)=(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 4.设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3,4,P(X=k)=ak+b(k=1,2,3,4),又X的均值为E(X)=3,则a+b=(　　) A. B.0 C.- D. 5.袋中有2个白球,3个红球,从中随机连续抽取4次,每次取一个球.若每次抽取后都不放回,设取到红球的个数为X,则X的方差为(　　) A. B. C. D. 6.(多选)设随机变量ξ的分布列为P=ak(k=1,2,3,4,5),则(　　) A.15a=1 B.P(0.5<ξ<0.8)=0.2 C.P(0.1<ξ<0.5)=0.2 D.P(ξ=1)=0.3 7.(2025上海卷,6)已知随机变量X的分布列为 X 5 6 7 P 0.2 0.3 0.5 则期望E(X)=　　　　　.  8.某校体育节组织定点投篮比赛,每位参赛选手共有3次投篮机会.统计数据显示,每位选手投篮投进与否满足:若第k次投进的概率为p(0<p<1),当第k次投进时,第k+1次也投进的概率保持p不变;当第k次没能投进时,第k+1次能投进的概率降为. (1)若选手甲第1次投进的概率为p(0<p<1),求选手甲至少投进一次的概率; (2)设选手乙第1次投进的概率为,每投进1球得1分,投不进得0分,求选手乙得分X的分布列与均值. 综合提升组 9.已知排球发球考试规则:每位考生最多可发球三次,若发球成功,则停止发球,否则一直发到3次结束为止.某考生一次发球成功的概率为p(0<p<1),发球次数为X,若X的均值E(X)>1.75,则p的取值范围为 (　　) A. B. C. D. 10.(多选)已知m,n均为正数,随机变量X的分布列如下表, X 0 1 2 P m n m 则下列结论一定成立的是(　　) A.P(X=1)<P(X≠1) B.E(X)=1 C.mn≤ D.D(X+1)<1 11.(多选)袋内有形状、大小完全相同的2个黑球和3个白球,从中不放回地每次任取1个小球,直至取到白球后停止取球,设取球次数为ξ,则下列说法正确的是(　　) A.抽取2次后停止取球的概率为 B.停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为 C.取球次数ξ的均值为2 D.取球次数ξ的方差为 12.一个袋中共有5个大小形状完全相同的红球、白球和黑球,其中有1个红球.每次从袋中拿1个小球,不放回,拿出红球即停.记拿出的黑球个数为ξ,且P(ξ=0)=,则随机变量ξ的均值E(ξ)=　　　　.  13.某校高三1 000名学生的一模考试数学成绩频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是[30,50),[50,70),[70,90),[90,110),[110,130),[130,150]. (1)求图中a的值; (2)根据频率分布直方图,估计这1 000名学生的一模考试数学成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值代表); (3)从一模数学成绩位于[90,110),[110,130)的学生中采用分层随机抽样抽取8人,再从这8人中随机抽取2人,这2人中一模数学成绩在区间[90,110)的人数记为X,求X的分布列及均值. 14.为更好地发挥高考的育才作用,部分新高考试题采用了多选题这一新题型.多选题的评分规则如下:对于多选题,每个小题给出的四个选项中有两项或三项是正确的,满分6分.全部选对得6分,有错选或全不选的得0分.正确答案为两项时,选对1个得3分;正确答案为三项时,选对1个得2分,选对2个得4分.某数学小组研究发现,多选题正确答案是两个选项的概率为p,正确答案是三个选项的概率为1-p(0<p<1).现有一道多选题,学生小李完全不会,此时他有三种答题方案:Ⅰ.随机选一个选项;Ⅱ.随机选两个选项;Ⅲ.随机选三个选项. (1)若p=,且学生小李选择方案Ⅰ,求本题得分的数学期望; (2)以本题得分的数学期望为决策依据,p的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好? 创新应用组 15.邯郸是历史文化名城,被誉为“中国成语典故之都”.为了让广大市民更好地了解并传承成语文化,当地文旅局拟举办猜成语大赛.比赛共设置n道题,参加比赛的选手从第一题开始答题,一旦答错则停止答题,否则继续,直到答完所有题目.设某选手答对每道题的概率均为p(0<p<1),各题回答正确与否相互之间没有影响. (1)记答题结束时答题个数为X,当n=3时,若E(X)>1.75,求p的取值范围. (2)①记答题结束时答对个数为Y,求E(Y); ②当p=时,求使E(Y)>4的n的最小值. (参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477) 参考答案 1.B　解析 由已知得解得m=.故选B. 2.C　解析由+m+=1,得m=,所以P(|X-2|=1)=P(X=1)+P(X=3)=. 3.B　解析由题得,a=1-0.1-0.3-0.4=0.2,则E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.4=2,E(X2)=1×0.2+4×0.3+9×0.4=5,D(X)=E(X2)-[E(X)]2=5-4=1.故选B. 4.A　解析依题意可得X的分布列为 X 1 2 3 4 P a+b 2a+b 3a+b 4a+b 依题意得, 解得a=,b=0,故a+b=.故选A. 5.A　解析 X的可能取值为2,3, P(X=2)=,P(X=3)=, 故E(X)=2×+3×,D(X)=.故选A. 6.ABC　解析随机变量ξ的分布列为P=ak(k=1,2,3,4,5),P(ξ=)+P(ξ=)+P(ξ=)+P(ξ=)+P(ξ=1)=a+2a+3a+4a+5a=15a=1,解得a=,故A正确;P(0.5<ξ<0.8)=P=3×=0.2,故B正确;P(0.1<ξ<0.5)=P+P+2×=0.2,故C正确;P(ξ=1)=5×≠0.3,故D错误.故选ABC. 7.6.3　解析 由题设有E(X)=5×0.2+6×0.3+7×0.5=1+1.8+3.5=6.3. 8.解 (1)记选手甲第k次投进为事件Ak(k=1,2,3),未投进为事件,选手甲至少投进一次这一事件的概率为1-P(). P()=(1-p)(1-) (1-)=1-, 故选手甲至少投进一次的概率为1-P()=. (2)得分X等于乙投进的次数,则X的可能取值为0,1,2,3. 记选手乙第k次投进为事件Bk(k=1,2,3), 由题意可知P(B1)=,P(B2)=,P(B3)=,P(X=0)=P()=, 投进1次对应事件为B1B2B3,P(X=1)=, 投进2次对应事件为B1B2+B1B3+B2B3,P(X=2)=, 投进3次对应事件为B1B2B3,P(X=3)=.所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P(X) 选手乙得分的均值E(X)=0×+1×+2×+3×. 9.A　解析由题可知P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2p+(1-p)3=(1-p)2,则E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=p+2(1-p)p+3(1-p)2>1.75,解得p>或p<,由p∈(0,1),可得p∈.故选A. 10.BCD　解析由分布列的性质,得m+n+m=2m+n=1,P(X=1)=n,P(X≠1)=2m.当m=,n=时,P(X=1)=P(X≠1),故选项A错误;因为E(X)=n+2m=1,故选项B正确;因为m,n均为正数,所以1=n+2m≥2,即mn≤,当且仅当n=2m=时,等号成立,故选项C正确;由n=1-2m>0,得0<m<.又E(X)=1,所以D(X+1)=D(X)=2m<1,故选项D正确.故选BCD. 11.BD　解析由题意可知随机变量ξ的可能取值有1,2,3,则P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=.对于A选项,抽取2次后停止取球的概率为P(ξ=2)=,A选项错误;对于B选项,停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为P(ξ=1)+P(ξ=2)=,B选项正确;对于C选项,取球次数ξ的均值为E(ξ)=1×+2×+3×,C选项错误;对于D选项,取球次数ξ的方差为D(ξ)=,D选项正确.故选BD. 12.　解析 设有n个白球,显然n≠0,n≠4.若n=1,则P(ξ=0)=,符合. 若n≥2,则P(ξ=0)=+…=+…>,故n=1.故黑球有3个, P(ξ=1)=, P(ξ=2)=. 因为P(ξ=0)=,所以P(ξ=3)=1-×3=. 故E(ξ)=(0+1+2+3)×. 13.解 (1)由题干中频率分布直方图可知,(0.002 5+2a+0.007 5+2×0.015 0)×20=1,所以a=0.005 0. (2)该1 000名学生的数学成绩的平均分约为 40×0.05+60×0.15+80×0.3+100×0.3+120×0.1+140×0.1=91. (3)由(1)知,a=0.005 0,所以一模数学成绩在区间[90,110)与[110,130)的人数之比为3∶1, 所以抽取的8人中有6人的数学成绩在区间[90,110)内,所以X的可能取值为0,1,2, P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=, 所以X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)=0×+1×+2×. 14.解 (1)记X为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”,则X可以取0,2,3, P(X=0)=,P(X=2)=×0+, P(X=3)=×0+, 所以X的分布列为 X 0 2 3 P 则数学期望E(X)=0×+2×+3×. (2)记ξ为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”,则ξ的所有可能取值为0,2,3, 则P(ξ=0)=p×+(1-p)×, P(ξ=2)=p×0+(1-p)×(1-p), P(ξ=3)=p×+(1-p)×0=p, 所以E(ξ)=0×+2×(1-p)+3×p=; 记ε为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”,则ε的所有可能取值为0,4,6, 则P(ε=0)=p×+(1-p)×p+, P(ε=4)=p×0+(1-p)×(1-p), P(ε=6)=p×+(1-p)×0=p, 所以E(ε)=0×(p+)+4×(1-p)+6×p=2-p; 记η为“从四个选项中随机选择三个选项的得分”,η的所有可能取值为0,6, 则P(η=0)=p×1+(1-p)×p+, P(η=6)=p×0+(1-p)×(1-p), 所以E(η)=0×(p+)+6×(1-p)=(1-p). 要使唯独选择方案Ⅰ最好,则解得<p<1,故p的取值范围为(,1). 15.解 (1)根据题意,X可取1,2,3, P(X=1)=1-p, P(X=2)=p(1-p),P(X=3)=p2, E(X)=1-p+2p(1-p)+3p2=p2+p+1. 由E(X)=p2+p+1>1.75,得p>. 又0<p<1,故p的取值范围是(,1). (2)①P(Y=k)=pk(1-p),其中k=0,1,2,…,n-1,P(Y=n)=pn, Y的均值为E(Y)=p(1-p)+2p2(1-p)+…+(n-1)pn-1(1-p)+npn=(1-p)[p+2p2+3p3+…+(n-1)pn-1]+npn. 设Sn=p+2p2+3p3+…+(n-1)pn-1, 利用乘公比错位相减,可得(1-p)Sn=p+p2+p3+…+pn-1-(n-1)pn, 所以E(Y)=p+p2+p3+…+pn-1-(n-1)pn+npn=p+p2+p3+…+pn-1+pn=. ②依题意,>4, 即,即n+1>≈9.848, 所以n>8.848.又n∈N*,故n的最小值为9. 1 学科网（北京）股份有限公司 $