12.1 函数-【学海风暴】2026-2027学年八年级上册数学同步备课（沪科版·新教材）

第12章 函数与一次函数 12.1 函数 第1课时 函数及其相关概念 恋圆梳理 1.变量和常量：在一个变化过程中，可以取不同数值的量叫作变量，保持不变的量叫作常量， 2.函数：一般地，设在一个变化过程中有两个变量x,y,如果对于x在它允许取值范围内的每一个值，y都 有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，其中x是自变量 已课内基础闯关 忽略不计).下列关于乌鸦喝水的描述正确 的有 () 知识点①变量与常量 ①瓶子的高度是常量；②自变量是瓶中水面 1.在圆的周长计算公式C=2πR中，对于变量 高度；③投入石子的数量是变量；④乌鸦投 和常量的说法正确的是 ( 入的石子数量与水面高度满足函数关系 A.2是常量，C,π，R是变量 A.1个 B.2个 C.3个D.4个 B.2,π是常量，C,R是变量 6.(2025一2026宿州砀山期末)如下图，长方形 C.2,C,π是常量，R是变量 ABCD的四个顶点在互相平行的两条直线 D.2,π，R是常量，C是变量 上，AB=10cm.当点C,D在平行线上同方 2.(教材变式)以固定的速度vom/s竖直向上 向匀速运动时，长方形的面积发生了变化 抛一个小球，小球的高度hm与小球运动的 (1)在这个变化过程中，自变量是 时间ts之间的关系是h=vt一4.9t2.其中 ,因变量是 常量是 ,变量是 知识点② 函数的概念 (2)如果长方形的长BC为x(单位：cm),那 3.下列两个变量间不存在函数关系的是( 么请用含x的式子表示长方形ABCD的面 A.长方形的面积一定，它的长和宽的关系 积y(单位：cm2). B.x+2与x的关系 (3)当长方形的长BC从15cm变到20cm C.匀速运动的火车，时间与路程的关系 时，长方形的面积怎么变化？ D.某人的身高和体重的关系 4.下列关于变量x,y的关系式中：①3x一2y =5;②y=x|;③2x-y2=10.其中，y是x 的函数的是 (填序号). 巴课外拓展提高 5.情境应用乌鸦在井旁找到了一个装有小半 瓶水的玻璃瓶，由于瓶口狭窄，它想到办法 将旁边的石子投入圆柱形玻璃瓶中使水面 上升（假设石子的大小相同，瓶颈口的高度 10 八年级数学HK版 第2课时 函数关系的表示方法一列表法和解析法 要固梳理 1.通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫作列表法 2.用数学式子表示函数关系的方法叫作解析法，其中的数学式子叫作函数表达式（或函数解析式）. 课内基础闯关 已课外拓展提高 知识点① 用列表法表示函数关系 7.某油箱容量为60L的汽车，加满汽油后行驶 1.某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依 了100km时，油箱中的汽油大约消耗了号 据的是下表的数据： 如果加满汽油后汽车行驶的路程为xkm, 鸭的质量x/kg0.511.522.533.54 油箱中剩余油量为yL,那么y与x之间的 烤制时间t/min406080100120140160180 函数表达式为 ,自变 估计当x=3.2时，t的值为 量的取值范围为 A.140 B.138 C.148 D.160 8.新定义题十八世纪伟大的数学家欧拉最先 知识点② 用解析法表示函数关系 用记号f(x)的形式来表示关于x的多项 2.已知一个长方形的周长为46cm,相邻两边 式，把x等于某数n时的多项式的值用f(n) 分别为xcm,ycm,则y与x之间的关系式 来表示.例如x=1时，多项式f(x)=3x十2 为 的值可以记为f(1),即f(1)=3×1+2=5. 知识点③ 自变量的取值范围 若定义f(x)=x2+2x+1,则f(3) 3.在函数y=√x一2中，自变量x的取值范围 是 ( 9.安徽中考特色·规律探究题（2025一2026 A.x≥2 B.x≤2 桐城期未)观察下列由白色正方形和黑色正 C.x>2 D.x<2 方形组成的图案，并解决下列问题 (1)图④中有 个白色正方形；若 4.函数y= 十3的自变量x的取值范围是 图@中有m个白色正方形，则m与n的函 数关系式是 知识点④ 函数值 (2)若在图@中，白色正方形比黑色正方形 3 多2023个，求n的值. 5.函数y= 十2x2中，当x=2时，函数值y 图① 图② 图③ 易错点忽视分母不为0 6.（2025一2026安庆期中)函数y= Vx-l x-2 中，自变量x的取值范围是 上册第12章 第3课时 函数关系的表示方法 一图象法 要闾梳理 1.用图象来表示两个变量间的函数关系的方法，叫作图象法 2.由函数表达式画图象的一般步骤：①列表；②描点；③连线. 已课内基础闯关 之间的函数关系可能是 y/kmt y/kmt 知识点① 函数的图象 1.下列四个图象分别给出了x与y的对应关 t/min o t/min 系，其中y不是x的函数的是 A 白 y/km y/kmt A B t/min t/min c D 4.如下图，请在平面直角坐标系中画出函数y =2x-4的图象。 C D (1)判断点A(-3,一2)，B(3,2)是否在这个 知识点②函数图象的画法 函数图象上 2.(教材变式)把下面画函数y=一x+2图象 (2)若点(a,2)在这个函数图象上，求a 的过程补充完整. 的值. 解：(1)列表如下： … 2 -1 0 y=-x十2… 4 (2)画出的函数图象如下图所示. 8 已课外拓展提高 3.(2025一2026合肥期中)小李开车上班，最初 以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了 几分钟.为了按时到单位，在不超速的前提 下加快了速度，仍匀速行驶，则汽车行驶的 路程y(单位：km)与行驶时间t(单位：min) 412 八年级数学HK版 第4课时 从图象中获取信息 要闾梳理 利用函数图象信息解决问题的方法：①理解函数图象表示的意义；②找特殊的点（起，点、终点、最高点、最低 点、转折点)；③找点与点之间的线段或者曲线. 课内基础闯关 息，下列说法正确的是 知识点从函数图象中获取信息 A.前10min,甲比skt 1.化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂 乙的速度快 溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降， B.甲的平均速度为 0.8 0.06 km/min 0.4 从而达到净水的目的.实验得出加入絮凝剂 010203040t/min 的体积与净水率之间的关系如图所示.下列 C.20min时，甲、乙 第3题图 说法正确的是 ( 都走了1.6km A.加入絮凝剂的体积越大，净水率越高 D.30min时，甲比乙走过的路程少 B.未加人絮凝剂时，净水率为0 4.(2025一2026准南大通区期末)周末，小明坐 C.絮凝剂的体积每增加0.1mL,净水率的 公交车到文华公园游玩，他从家出发0.8h后 增加量相等 到达书城，停留一段时间后继续坐公交车到 D.加入絮凝剂的体积是0.2mL时，净水率 文华公园.在小明离家一段时间后，爸爸驾车 达到76.54% 沿相同的路线前往文华公园.下图是他们离 净水 家的路程s(单位：km)与小明离家时间t(单 率/% h/mt 100 84.6088.15 13 位：h)的关系图.请回答下列问题： 80H 76.54 8602 75.34 10 (1)小明在书城停留的时间为 60H 40 h,小明从家出发到达文华公园的平均速度 01248 为 km/h. 0.10.20.30.40.50.6体积/mL 123 第1题图 第2题图 (2)一题多解法爸爸驾车经过多久追上小 2.一个电动玩具车从起点出发，沿笔直轨道做 明？此时距离文华公园多远？ 往返运动.如图，曲线表示电动玩具车在运 s/km 30… 动过程中离出发点的距离h(单位：m)随运 动时间t(单位：s)的变化情况，则这个电动 玩具车的平均速度最慢的时间段为( 0.8 54 t/h A.0s-1s B.1 s-2s C.2 s-3 s D.3 s-5s 课外拓展提高 3.甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过 的路程s(单位：km)与所用的时间t(单位： min)之间的函数关系如图所示.根据图中信 上册第12章 13△13.A 14.B【解析】由题意建立适当的平面直角坐标系如图所 示，则中国共产党太原历史展览馆的位置表示为(3,1). yt 赏荷栈道 国共产党 展览馆 料丹 泽众书院 15.(-1,1) 16.4(答案不唯一)17.(2,1)（答案不唯一）18.四 第12章函数与一次函数 12.1函数 第1课时函数及其相关概念 1.B2.o,-4.9h,t3.D4.①②5.C 6.解：(1)BC(或AD)长方形ABCD的面积 (2)长方形的面积=AB·BC,即y=10x. (3)当BC=15cm时，y=10x=10×15=150(cm); 当BC=20cm时，y=10.x=10×20=200(cm2). 故当长BC从15cm变到20cm时，长方形的面积从 150cm变到200cm2. 第2课时函数关系的表示 方法—列表法和解析法 1.C2.y=23-x 3.A4.x≠-35.9.5 6.x≥1且x≠2【解析】根据题意，得x一1≥0且x一2 ≠0，解得x≥1且x≠2. 7.y=60一0.12x0≤x≤500【解析】因为油箱容量为 60L的汽车，加满汽油后行驶了100km时，油箱中的 汽油大约消耗了写，可得号×60÷100=0.12(L/km。 60÷0.12=500(km),所以y与x之间的函数表达式和 自变量的取值范围分别是y=60一0.12x,0≤x≤500. 8.16【解析】因为f(x)=x2+2x+1,所以当x=3时， f(3)=9+6+1=16. 9.解：(1)23m=5n+3 (2)依题意，得(5n十3)-n=2023,解得n=505. 【解析】(1)图①中白色正方形的个数为8=3+5×1； 图②中白色正方形的个数为13=3+5×2：图③中白 色正方形的个数为18=3+5×3.据此类推，图④中有 3十5×4=23（个）白色正方形，所以图@中有(3+5n) 个白色正方形，即m与n的函数关系式为m=5n十3. 第3课时函数关系的表示方法一图象法 1.C 2.解：(1)列表如下： …-2-10123… y=-x+2…4 3210-1… (2)画出的函数图象如图所示. 4 八年级数学HK版 5-4-3-2-10 3.B 4.解：函数图象如图所示 5+ -8-76-543201234至618x (1)当x=-3时，y=2×(-3)-4=-10; 当x=3时，y=2X3-4=2, 所以点A(一3，一2)不在这个函数图象上，点B(3,2) 在这个函数图象上. (2)令y=2,则2x一4=2，解得x=3,所以a=3. 第4课时从图象中获取信息 1.D 2.D【解析】0s一1s的平均速度为10一5=5(m/s), 1s一2s的平均速度为10一5=5(m/s),2s一3s的平 均速度为13一5=8(m/s),3s一5s的平均速度为(13 一7)÷2=3(m/s),所以这个电动玩具车的平均速度 最慢的时间段为3s一5s. 3.C【解析】A.前10min,甲走了0.8km,乙走了 1.2km,所以乙比甲的速度快，故此选项说法错误； B.根据图象可知，甲40min走了3.2km,所以甲的平 均连度为号-008(km/mi,故此选项说法错误： D.经过30min,甲走了2.4km,乙走了2km,所以甲比 乙走过的路程多，故此选项说法错误 4.解：(1)1.77.5 (2)小明从书城到文华公园的平均速度为2.5 30-12 12(km/h) 30 爸爸驾车的平均速度为3.5-2.5=30(km/h), （h),30-30×名=10(km). 122 所以30-123 3 故爸爸驾车经过号h追上小明，此时距离文华公园 10km. ◆一题多解法 (2)设爸爸出发后mh追上小明， 根据题意，得30m-12m=12, 解得m=3, 2 30-30× 3=10(km. 故爸爸驾车经过号追上小明，此时距高文华公 园10km. 12.2一次函数 第1课时正比例函数的图象与性质 1.C 变式题5【解析】因为关于x的函数y=(3 m)x-m1十5是一次函数，所以|4-m|=1,且3-m≠ 0,所以m=5. 2.D3.A4.B5.y=一2x(答案不唯一) 6.k>m>n 7.解：(1)对于y=一2x,令x=1,得y=一2， 所以正比例函数y=一2x的图象过点(1，一2). 函数的图象如图所示 =-2y (2)当x=4时，y=-2×4=-8≠-2，所以点A不在 这个函数的图象上；当x=1.5时，y=一2× (一1.5)=3，所以点B在这个函数的图象上. 8.A【解析】因为-3<0， 所以y的值随x值的增大而减小. 因为-2<-1<1， 所以y1>y2>y3· 一题多解法《 将点(-2，y1)代人y=一3x,得y1=6,同理可 得y2=3,y=-3,所以y1>y2>ya 5 9.2【解析】因为函数y=(一m+2)x+2m-5是正 比例函数，所以2|m|一5=0，且一m十2≠0，解得m= 土号又因为当>：时<9所以y随x的增大 而减小，即-m十2<0，解得m>2,所以m的值为2· 10.二【解析】因为[k,b]是一次函数y=k.x+b(k,b为 实数，且k≠0)的“特征数”，“特征数”为[m十1，m2一 4幻的一次函数是正比例函数，所以m2一4=0，解得m =土2.又因为y随x的增大而减小，所以m十1<0， 解得m<-1,所以m=-2,所以3+2m=3+2× (-2)=-1,1-m=1一(-2)=1十2=3.因为点（一1,3） 在第二象限，所以点(3十2m,1一m)在第二象限. 11.解：当k>0时，y随x的增大而增大，所以当x=4 时y=3,所以4=3，解得大=子当k<0时y随工 的增大而减小，所以当x=一4时，y=3,所以一4k= 3解得k=一子放长的值为子或-子 12.解：(1)如图所示. 3 (2)观察这些函数的图象可以发现，随着k|的增大， 直线与y轴所成的较小的夹角越小. (3)k,>k2 13.解：(1)设y-2=k(3.x-4). 将x=2,y=3代人，得1=2k,解得k=2, 1 所以y-2=（3x-0整理，得y=2 3 (2)将点Pa,-3代入y号，得-8=. 解得a=-2. (3)因为？>0，所以该函数y随着x的增大而增大. 当y=-1时，号=-1，解得x=-号 3 3 2 当y=1时，2x=1,解得x= 3 2 2 故x的取值范围为一3≤1≤3： 第2课时一次函数的图象 1.D2.C3.C4.-1 5.D【解析】因为一次函数y=k.x十b的图象不经过第 四象限，所以该图象经过第一、二、三象限或经过第一、 三象限.故k>0,b≥0. 6.B【解析】因为a≠0，b≠0，所以图象不经过原点，所 以A选项不符合题意；若截距相同，即a=b,则两直线 重合，所以D选项不符合题意；若a,b同号，则截距都 在y轴正半轴或都在y轴负半轴，所以C选项不符合 题意：若a,b异号，则截距分别在y轴正半轴和负半 轴，所以B选项符合题意. 7.一2≤m<1【解析】因为一次函数y=(m一1)x十m +2的图象不经过第三象限，所以m一)<0：解得一2 m+2>0, ≤m<1. 上册详解详析 5