第一章 集合与常用逻辑用语（高效培优单元自测·强化卷）数学人教A版高一必修第一册

**基本信息** 本卷为高中数学第一章集合与常用逻辑用语单元复习强化卷，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖集合运算、逻辑用语等核心知识，融合新定义与实际情境，体现抽象能力、推理能力及创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合元素（第3题）、充分条件（第2题）|基础概念辨析，注重逻辑推理| |多选|3/18|充要条件关系（第9题）、对称差新定义（第11题）|考查信息获取与抽象能力| |填空|3/15|命题真假（第13题）、充分必要条件应用（第14题）|强化知识综合运用| |解答|5/77|集合证明（第15题）、和谐集探究（第19题）|新情境问题培养创新意识，贴合高考命题趋势|

第一章 集合与常用逻辑用语（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知集合，且，则实数的值为（　　） A． B．0 C．3 D．或3 4．已知集合，，则满足条件且真包含于的集合的个数为（    ） A．16 B．15 C．32 D．31 5．若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 6．已知集合，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（    ）名 A．7 B．8 C．9 D．10 8．若集合，则集合A的元素个数为（    ） A．4042 B．4044 C．20212 D．20222 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（多选）已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的充要条件，q是s的必要条件，则（    ） A．q是s的充要条件 B．p是s的充分不必要条件 C．q是s的充分不必要条件 D．p是s的充要条件 10．（多选）已知集合，，若，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 11．（多选）对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（ ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．存在，使得 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则_____. 13．命题，命题若命题､一真一假，则实数的取值范围为________. 14．已知或，或．若是的充分条件，则实数的最大值为______；若是的必要条件，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知集合. (1)判断2，5，25是否属于集合； (2)若正整数为完全平方数，，证明：； (3)若集合，证明：. 16．（15分）已知：关于的方程有实数根，． (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 17．（15分）已知集合， (1)若，实数的取值范围； (2)若，是假命题，求实数的取值集合； (3)设不等式的解集为D，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 18．（17分）已知集合； (1)判断，，是否属于集合； (2)若正整数为完全平方数，，证明：； (3)若集合，证明：； 19．（17分）对于正整数集合（，）如果去掉其中任意一个元素.之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”. (1)判断集合是否是“和谐集”，并说明理由； (2)求证：若集合是“和谐集”.则集合中元素个数为奇数； (3)若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A A C D A C D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AB BD AB 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 2 13． 14．-4， 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）由，可知，，属于集合； （2）由题可设， 又由，设， 有， 由，有，故有； （3）①当都为偶数时，不妨设， 有， 此时为4的倍数，而偶数，此时； ②当都为奇数时，不妨设， 有， 此时为2的倍数，而偶数，此时； ③当一奇一偶时，不妨设， 有， 此时被4整除余1，而集合中的元素被4整除余3，此时. 由①②③可知，. 16．（15分） 【解析】（1）因为命题是真命题，则命题是假命题， 即关于的方程无实数根， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. （2）由（1）知，若命题是真命题，则， 因为命题是命题的必要不充分条件， 则是的真子集， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 17．（15分） 【解析】（1），， 若，即，则满足题意， 若，即，则，又，故无实解， 综上． （2），是假命题，则，是真命题，即， 时，（时取等号），所以，即； （3）若是的必要不充分条件，则， 的解是或， ，即时，满足题意， 时，， 因此，解得且． 综上，． 18．（17分） 【解析】（1）由，可知，，属于集合； （2）由题可设， 又由，设， 有， 由，有，故有； （3）①当都为偶数时，不妨设， 有， 此时为4的倍数，而偶数，此时； ②当都为奇数时，不妨设， 有， 此时为2的倍数，而偶数，此时； ③当一奇一偶时，不妨设， 有， 此时被整除余，而集合中的元素被整除余，此时. 由①②③可知，. 19．（17分） 【解析】(1)不是，理由如下： 当集合去掉元素2时，剩下元素组成两个集合的交集为空集有以下几种情况： , 经过计算可以发现每给两个集合的所有元素之和不相等,故集合不是“和谐集”； (2)设正整数集合（，）所有元素之和为，由题意可知 均为偶数，因此任意一个元素（）的奇偶性相同. 若是奇数，所以（）也都是奇数，由于，显然为奇数； 若是偶数，所以（）也都是偶数.此时设（）, 显然也是“和谐集”，重复上述操作有限次，便可以使得各项都为奇数的“和谐集”， 此时各项的和也是奇数，集合中元素的个数也是奇数， 综上所述：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数. (3)由（2）知集合中元素个数为奇数，显然时，集合不是“和谐集”， 当时，不妨设，若A为“和谐集”，去掉后，得，去掉后，得，两式矛盾，故时，集合不是“和谐集”， 当，设，去掉1后，， 去掉3后，，去掉5后，， 去掉7后，，去掉9后，， 去掉11后，，去掉13后，， 故是“和谐集”，元素个数的最小值为7. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的否定为 故答案为：A. 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由可得，解得， 由解得或， 因为集合是集合的真子集， 即由可推出或，由或，推不出， 所以“”是“”的充分而不必要条件， 故选：A 3．已知集合，且，则实数的值为（　　） A． B．0 C．3 D．或3 【答案】C 【详解】因为，所以分为以下两种情况讨论． ①或， 当时，集合，满足题意； 当时，集合，不满足集合元素的互异性，故舍去． ②，此时集合，不满足集合元素的互异性，故舍去． 综上所述，． 故选：C． 4．已知集合，，则满足条件且真包含于的集合的个数为（    ） A．16 B．15 C．32 D．31 【答案】D 【详解】集合， 则，当集合中不含其他元素时，； 当集合中含有其他元素时，集合中除元素1，2外，还含有3或4或5或6或7，但不能同时全部含有， 集合的个数即为集合的真子集的个数，即． 故选：D 5．若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，因为，所以，即， 当时，取，则， 所以“”是“”的一个充分不必要条件，故A正确； 对于B，即，“”是“”的充要条件，故B错误； 对于C，由，取，则， 由，取，则， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D，由，取，则， 由，取，则， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D错误． 故选：A． 6．已知集合，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由条件得，又因为， 所以，即有． 当，有，解得：； 当，有，解得：． 综上，实数的取值范围为：． 故选：C． 7．某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（    ）名 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【详解】画三个圆分别代表数学、物理、化学的人， 因为有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛， 参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、化两科的有5名， 只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名， 所以单独参加数学的有人， 单独参加物理的有人，单独参加化学的有， 故参赛人数共有人， 没有参加任何竞赛的学生共有人. 故选：D.    8．若集合，则集合A的元素个数为（    ） A．4042 B．4044 C．20212 D．20222 【答案】B 【详解】由题意，. 若n为偶数，为奇数， 若， 以此类推，，共2022个n，每个n对应一个； 同理，若n为奇数，为偶数，此时，共2022个n，每个n对应一个. 于是，共有4044个n，每一个n对应一个m满足题意. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（多选）已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的充要条件，q是s的必要条件，则（    ） A．q是s的充要条件 B．p是s的充分不必要条件 C．q是s的充分不必要条件 D．p是s的充要条件 【答案】AB 【详解】因为p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件， 所以，，.因为s是r的充要条件，所以. 因为q是s的必要条件，所以. 综上可得，，，但， 即q是s的充要条件，p是s的充分不必要条件. 故选：AB. 10．（多选）已知集合，，若，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】因为，， 所以且且， 所以且且且， 因为， 所以或， 所以或或（舍去）， 故选：BD. 11．（多选）对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（ ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．存在，使得 【答案】AB 【详解】解：对于A，因为，所以， 所以，且中的元素不能出现在中，因此，即A正确； 对于B，因为，所以， 即与是相同的，所以，即B正确； 对于C，因为，所以， 所以，即C错误； 对于D，由于 ， 而， 故，即D错误． 故选：AB． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则_____. 【答案】2 【详解】由题意，则，解得， 则，解得（不满足互异性，舍去）， 所以， 故答案为：2 13．命题，命题若命题､一真一假，则实数的取值范围为________. 【答案】 【详解】若命题为真命题， 即方程在上有解，则满足，解得， 若命题为真命题， 即不等式在上恒成立，则满足，解得， 当命题为真命题且为假命题时，则满足； 当命题为假命题且为真命题时，则满足； 所以命题､一真一假时，可得或 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 14．已知或，或．若是的充分条件，则实数的最大值为______；若是的必要条件，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】或，或， 若是的充分条件，则，所以，解得， 即实数的最大值是； 若是的必要条件，则， ①当，即时，，此时成立； ②当，即时，， 若，则，解得，又，故无解， 综上，的取值范围是． 故答案为：-4， 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知集合. (1)判断2，5，25是否属于集合； (2)若正整数为完全平方数，，证明：； (3)若集合，证明：. 【答案】(1)属于集合A(2)证明见解析(3)证明见解析 【详解】（1）由，可知，，属于集合； （2）由题可设， 又由，设， 有， 由，有，故有； （3）①当都为偶数时，不妨设， 有， 此时为4的倍数，而偶数，此时； ②当都为奇数时，不妨设， 有， 此时为2的倍数，而偶数，此时； ③当一奇一偶时，不妨设， 有， 此时被4整除余1，而集合中的元素被4整除余3，此时. 由①②③可知，. 16．（15分）已知：关于的方程有实数根，． (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为命题是真命题，则命题是假命题， 即关于的方程无实数根， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. （2）由（1）知，若命题是真命题，则， 因为命题是命题的必要不充分条件， 则是的真子集， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 17．（15分）已知集合， (1)若，实数的取值范围； (2)若，是假命题，求实数的取值集合； (3)设不等式的解集为D，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)．(2)(3)． 【详解】（1），， 若，即，则满足题意， 若，即，则，又，故无实解， 综上． （2），是假命题，则，是真命题，即， 时，（时取等号），所以，即； （3）若是的必要不充分条件，则， 的解是或， ，即时，满足题意， 时，， 因此，解得且． 综上，． 18．（17分）已知集合； (1)判断，，是否属于集合； (2)若正整数为完全平方数，，证明：； (3)若集合，证明：； 【答案】(1)，，属于集合(2)证明见解析(3)证明见解析 【详解】（1）由，可知，，属于集合； （2）由题可设， 又由，设， 有， 由，有，故有； （3）①当都为偶数时，不妨设， 有， 此时为4的倍数，而偶数，此时； ②当都为奇数时，不妨设， 有， 此时为2的倍数，而偶数，此时； ③当一奇一偶时，不妨设， 有， 此时被整除余，而集合中的元素被整除余，此时. 由①②③可知，. 19．（17分）对于正整数集合（，）如果去掉其中任意一个元素.之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”. (1)判断集合是否是“和谐集”，并说明理由； (2)求证：若集合是“和谐集”.则集合中元素个数为奇数； (3)若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值. 【答案】(1)不是，理由如下： 当集合去掉元素2时，剩下元素组成两个集合的交集为空集有以下几种情况： , 经过计算可以发现每给两个集合的所有元素之和不相等,故集合不是“和谐集”； (2)设正整数集合（，）所有元素之和为，由题意可知 均为偶数，因此任意一个元素（）的奇偶性相同. 若是奇数，所以（）也都是奇数，由于，显然为奇数； 若是偶数，所以（）也都是偶数.此时设（）, 显然也是“和谐集”，重复上述操作有限次，便可以使得各项都为奇数的“和谐集”， 此时各项的和也是奇数，集合中元素的个数也是奇数， 综上所述：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数. (3)由（2）知集合中元素个数为奇数，显然时，集合不是“和谐集”， 当时，不妨设，若A为“和谐集”，去掉后，得，去掉后，得，两式矛盾，故时，集合不是“和谐集”， 当，设，去掉1后，， 去掉3后，，去掉5后，， 去掉7后，，去掉9后，， 去掉11后，，去掉13后，， 故是“和谐集”，元素个数的最小值为7. 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $