专题01 比例线段与平行线分线段成比例（专项训练）数学新教材湘教版九年级上册

**基本信息** 聚焦比例性质、比例线段、平行线分线段成比例三大考点，以10类题型构建从代数性质到几何应用的逻辑体系，通过典例变式强化推理意识与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |比例的性质|4题型，每题型1典例+2-3变式|以选择、填空为主，考查基本/合比/等比性质的直接应用与求值|从比例基本性质出发，逐步拓展至合比、等比，形成代数性质应用链| |比例线段|3题型，每题型1典例+2-3变式|结合实际情境（比例尺、黄金分割），考查定义辨析与计算|衔接比例性质，实现从数到形的抽象，强化应用意识| |平行线分线段成比例|3题型，每题型1典例+2-3变式|以几何图形为载体，涉及判定比例式、求值及作辅助线技巧|前承比例线段，构建“平行→比例”的几何推理体系，培养几何直观|

专题01 比例线段与平行线分线段成比例 常考题型·精准突破 考点一 比例的性质 题型1 比例的基本性质应用 题型2 比例的合比性质应用 题型3 比例的等比性质应用 题型4 利用比例的性质求值 考点二 比例线段 题型5 比例线段 题型6 成比例线段的定义 题型7 黄金分割 考点三 平行线分线段成比例 题型8 利用平行线分线段成比例判定比例式 题型9 利用平行线分线段成比例求值 题型10 作平行线求值 综合攻坚·知能拔高 考点一 比例的性质 ◆题型1 比例的基本性质应用 【典例1】（25-26九年级上·上海·期中）如果，那么下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·湖南益阳·期中）已知四个非零实数a，b，c，d满足，那么下列比例式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知，则______． ◆题型2 比例的合比性质应用 【典例2】（25-26九年级上·湖南益阳·期末）若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26九年级上·湖南常德·期末）已知，则的值是_____． 【变式2-2】（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）若，则的值是_____． ◆题型3 比例的等比性质应用 【典例3】（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）若，则的值为______． 【变式3-1】（25-26九年级上·湖南湘潭·期中）如果，那么_____． 【变式3-2】（25-26九年级上·湖南永州·期中）已知，则直线一定经过（） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限 ◆题型4 利用比例的性质求值 【典例4】（25-26九年级上·湖南怀化·期中）若，且，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式4-1】（25-26九年级上·重庆·开学考试）已知，且，则a的值为______． 【变式4-2】（24-25九年级上·湖南永州·阶段检测）已知，且，求的值． 考点二 比例线段 ◆题型5 比例线段 【典例5】在比例尺为的地图上，量得甲、乙两地的距离为，则甲、乙两地的实际距离是______． 【变式5-1】小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则的值为_______． 【变式5-2】（25-26九年级上·湖南永州·期末）地理课上，小明同学画一个比例尺为 地图，已知A，B两地之间的实际距离为公里，那么小明在图上应该画___厘米． ◆题型6 成比例线段的定义 【典例6】下列各组的四条线段是成比例线段的是（　　） A． B． C．，， D．，，， 【变式6-1】（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）下列各组中的四条线段成比例的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（   ） A． B． C． D． ◆题型7 黄金分割 【典例7】（25-26九年级上·湖南郴州·期末）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度约为（   ） A．3.82 B．4.82 C．6.18 D．6.28 【变式7-1】（25-26九年级上·湖南常德·期末）如图，生活中到处可见黄金分割的美，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近黄金比，可以增加视觉美感，若图中是米，则大约是（    ）． A．米 B．米 C．米 D．米 【变式7-2】（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）若，则___________． 考点三 平行线分线段成比例 ◆题型8 利用平行线分线段成比例判定比例式 【典例8】如图，在中，D、E分别为边上的点，，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25九年级上·四川巴中·阶段检测）如图，直线，分别交直线、于点、、、、、，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图，已知，直线，，分别交直线于点、、，交直线于点、、，那么下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． ◆题型9 利用平行线分线段成比例求值 【典例9】（25-26九年级上·河北衡水·期中）如图，，若，，，则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．9 【变式9-1】（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）如图，，若，则为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25九年级下·湖南衡阳·开学考试）某商店的货架可抽象成如图所示的图形，其中，，，（单位：），则的长度是（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】如图，，，，则的长是__________． ◆题型10 作平行线求值 【典例10】如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为 _____． 【变式10-1】如图，中，为上的中线，F为上的点，交于E，且，则______ 【变式10-2】如图，是的中线，E是线段上的一点，且，连接并延长交于点F． (1)求的值； (2)若，求的长． 综合攻坚·知能拔高 32．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，D、E、F分别在的边上，且，，下列等式不成立的是（　　） A． B． C． D． 33．（25-26九年级上·湖南娄底·期末）如图①是一个花架，图②是其侧面示意图，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 34．如图，中，的平分线交于点D，与的垂线相交于点E，过点D作于点F，则为（    ） A． B． C． D． 35．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清的边 ， 上，且，“远”字的笔画“、”的位置在 的黄金分割点处，且 若，则 的长为_______(结果保留根号)． 36．如图，已知中，点D、E、F分别是边、、上的点，且，且，若，那么__________． 37．如图，在中，，，，分别以点和点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，则的长是________． 38．（25-26九年级上·广东河源·期中）如图，点分别在的边上，，，已知是的中点，连接并延长交于点N，则________． 39．（24-25九年级下·福建厦门·阶段检测）如图，这是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点P表示的数是_________． 40．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，已知，． (1)若，，．求的长； (2)求证：． 41．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）如图，． (1)直接填空；的值为______，的值为______； (2)若，求和的长． 42．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，． (1)作线段的垂直平分线，交斜边于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 43．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）中，点是边上的一点，点在上，连接并延长交于点． (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值； (3)若为的中点，设，，请求出、之间的等量关系． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 比例线段与平行线分线段成比例 常考题型·精准突破 考点一 比例的性质 题型1 比例的基本性质应用 题型2 比例的合比性质应用 题型3 比例的等比性质应用 题型4 利用比例的性质求值 考点二 比例线段 题型5 比例线段 题型6 成比例线段的定义 题型7 黄金分割 考点三 平行线分线段成比例 题型8 利用平行线分线段成比例判定比例式 题型9 利用平行线分线段成比例求值 题型10 作平行线求值 综合攻坚·知能拔高 考点一 比例的性质 ◆题型1 比例的基本性质应用 【典例1】（25-26九年级上·上海·期中）如果，那么下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据比例关系，通过交叉相乘即可得到正确等式，无需考虑特例． 【详解】解：∵， ∴交叉相乘得， 即选项B正确； 选项A为，与推导结果不符； 选项C和D仅为特例，不一定成立，因此错误， 故选：B． 【变式1-1】（25-26九年级上·湖南益阳·期中）已知四个非零实数a，b，c，d满足，那么下列比例式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的变形； 根据比例的基本性质，由已知条件，且，可直接推出比例式． 【详解】解：∵ ，且， ∴ 两边同时除以，得，即，故A正确，符合题意； 其他选项不一定成立，例如取，满足， 但验证选项B、C、D均不成立，不符合题意； 故选：A． 【变式1-2】已知，则______． 【答案】/0.2 【分析】本题主要考查了比例的性质．根据题意可设，，然后代入化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴． 故答案为：． ◆题型2 比例的合比性质应用 【典例2】（25-26九年级上·湖南益阳·期末）若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例．熟练掌握比例的性质是解题的关键． 根据比例的性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选C 【变式2-1】（25-26九年级上·湖南常德·期末）已知，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，将 拆分为 ，再代入已知条件 计算． 【详解】解：， ， 原式． 故答案为：． 【变式2-2】（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）若，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质求值，将已知方程变形为，然后求解． 【详解】解：由，可得，则， 故答案为：． ◆题型3 比例的等比性质应用 【典例3】（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）若，则的值为______． 【答案】 【分析】设，则，，，据此代入所求式子求值即可． 【详解】解：设，则，，． 将，，代入中，得： ∵， ∴分子分母可约去，结果为． 又∵， ∴． 【变式3-1】（25-26九年级上·湖南湘潭·期中）如果，那么_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了比例关系． 由已知比例关系，设公共比值，代入所求表达式化简即可． 【详解】解：设，则，． ∴． 故答案为：． 【变式3-2】（25-26九年级上·湖南永州·期中）已知，则直线一定经过（） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，一次函数的性质．由比例关系求出的值，再代入直线方程讨论所经象限． 【详解】解：∵， ∴，，， 三式相加得：， ∴， 当时，，； 当时，，． 当时，直线经过第一、二、三象限； 当时，直线经过第二、三、四象限． 综上，直线一定经过第二、三象限． 故选：B． ◆题型4 利用比例的性质求值 【典例4】（25-26九年级上·湖南怀化·期中）若，且，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，设辅助未知数是常用的方法．设辅助未知数，根据比例的性质求出辅助未知数，进而求出答案． 【详解】解：∵， 设， ∴，，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 故选：A． 【变式4-1】（25-26九年级上·重庆·开学考试）已知，且，则a的值为______． 【答案】6 【分析】本题考查了比例的性质，设，根据比例的性质可得，，进而得到，解方程解答即可． 【详解】解：设， 则，， ， ， 解得， 故答案为： 【变式4-2】（24-25九年级上·湖南永州·阶段检测）已知，且，求的值． 【答案】10 【分析】根据题意，设，则，代入，确定k值，继而确定a，b，c的值，求代数式的值即可． 本题考查了等比性质，求代数式的值，解方程，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，设， 则， 代入，得， 解得， 故， 故． 考点二 比例线段 ◆题型5 比例线段 【典例5】在比例尺为的地图上，量得甲、乙两地的距离为，则甲、乙两地的实际距离是______． 【答案】 【分析】根据比例尺图上距离实际距离，列比例式直接求得甲、乙两地间的实际距离． 【详解】解：设甲、乙两地间的实际距离为，则 ， 解得：， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是比例线段，掌握比例尺的概念和性质是解题的关键． 【变式5-1】小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则的值为_______． 【答案】2 【分析】本题考查了比例线段．根据题意，得出、两地的实际直线距离，、两地的实际直线距离，然后求根据比例线段求值即可． 【详解】解：由题意，得、两地的实际直线距离为，、两地的实际直线距离为， ， 即． 故答案为：2． 【变式5-2】（25-26九年级上·湖南永州·期末）地理课上，小明同学画一个比例尺为 地图，已知A，B两地之间的实际距离为公里，那么小明在图上应该画___厘米． 【答案】 【分析】本题考查了成比例线段的应用．依据比例尺的定义，通过图上距离与实际距离的数量关系计算出结果，注意统一单位再进行计算． 【详解】解：设小明在图上应该画厘米，依题意， 解得： 故答案为：． ◆题型6 成比例线段的定义 【典例6】下列各组的四条线段是成比例线段的是（　　） A． B． C．，， D．，，， 【答案】D 【分析】本题考查成比例线段的判定，根据成比例线段的定义，若，则称四条线段是成比例线段；由比例的基本性质可知，这等价于，依次验证各选项即可． 【详解】解：∵成比例线段满足 A、，，，不成比例，不符合题意； B、，，，不成比例，不符合题意； C、，，，不成比例，不符合题意； D、，，，成比例，符合题意． 故选：D． 【变式6-1】（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）下列各组中的四条线段成比例的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例线段，在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．根据比例线段的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、，不成比例，故此选项不符合题意； B、，不成比例，故此选项不符合题意； C、，不成比例，故此选项不符合题意； D、，成比例，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式6-2】已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了成比例线段，解题关键是掌握成比例线段并能运用求解． 根据成比例线段的顺序，得出比例式，再代入已知值求解． 【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴， 即， ∵，，， ∴， 解得， 故选：B． ◆题型7 黄金分割 【典例7】（25-26九年级上·湖南郴州·期末）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度约为（   ） A．3.82 B．4.82 C．6.18 D．6.28 【答案】C 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割中较长线段与整条线段的比值为是解题的关键．根据黄金分割点的定义，已知较长线段与线段的比值为，代入的长度即可求出的长度． 【详解】解：∵为的黄金分割点，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式7-1】（25-26九年级上·湖南常德·期末）如图，生活中到处可见黄金分割的美，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近黄金比，可以增加视觉美感，若图中是米，则大约是（    ）． A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查黄金分割的定义与应用．熟悉黄金分割比的数值为： ，是解题的关键． 根据雕像腰部以下高度与全身高度的比值接近黄金比，即，代入已知条件得到的值． 【详解】解：∵米，且， ∴， ． 故选：． 【变式7-2】（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）若，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质与分式的化简，熟练掌握利用设参数法将比例关系转化为具体数值代入分式计算是解题的关键． 根据比例关系设出未知数，再代入分式进行化简求解． 【详解】解：由，设，（其中）． ， 故答案为：． 考点三 平行线分线段成比例 ◆题型8 利用平行线分线段成比例判定比例式 【典例8】如图，在中，D、E分别为边上的点，，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，A错误，不符合题意； ∵， ∴，B正确，符合题意； ∵， ∴，C错误，不符合题意； ∵， ∴，D错误，不符合题意， 故选：B． 【变式8-1】（24-25九年级上·四川巴中·阶段检测）如图，直线，分别交直线、于点、、、、、，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比是解题的关键． 根据平行线分线段成比例对各选项判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴，，A、D正确，故不符合要求； ∴，C正确，故不符合要求； ，B错误，故符合要求； 故选：B． 【变式8-2】（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图，已知，直线，，分别交直线于点、、，交直线于点、、，那么下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题是一道关于平行线分线段成比例的题目，掌握平行线分线段成比例的相关知识是解答本题的关键．根据平行线分线段成比例定理，即可进行判断． 【详解】解：A．∵， ∴，故A正确； B．根据无法判断，故B错误； C．∵， ∴， ∵， ∴，故C错误； D．∵， ∴， ∵， ∴，故D错误． 故选：A． ◆题型9 利用平行线分线段成比例求值 【典例9】（25-26九年级上·河北衡水·期中）如图，，若，，，则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】B 【分析】此题考查平行线分线段成比例，即由平行线得到对应的线段成比例，得出正确的比例式是解此题的关键． 根据，得到，然后将已知条件代入即可完成求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式9-1】（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）如图，，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式9-2】（24-25九年级下·湖南衡阳·开学考试）某商店的货架可抽象成如图所示的图形，其中，，，（单位：），则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线等分线段成比例定理，根据平行线等分线段成比例定理列比例式成为解题的关键． 根据平行线等分线段定理列比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 故选：B 【变式9-3】如图，，，，则的长是__________． 【答案】4 【分析】利用平行线分线段成比例定理得到，代入已知数据计算即可． 【详解】解：， ． ，， ， ． ◆题型10 作平行线求值 【典例10】如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为 _____． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，作，可得，推出，即可求解； 【详解】解：作，如图所示： 由题意得： ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 【变式10-1】如图，中，为上的中线，F为上的点，交于E，且，则______ 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键是构造平行线． 过点作，交于点，利用平行线分线段成比例进行求解即可． 【详解】解：如图，过点作，交于点， ∵为上的中线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式10-2】如图，是的中线，E是线段上的一点，且，连接并延长交于点F． (1)求的值； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查中线定义，线段和差关系，平行线分线段成比例等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键．． （1）根据题意可知，继而得到本题答案； （2）过D作交于M点，继而得到，再利用中线定义得到，再利用平行线分线段定理可得，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过D作交于M点， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 综合攻坚·知能拔高 32．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，D、E、F分别在的边上，且，，下列等式不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．根据平行线分线段成比例定理可得，，，由此逐项判断即可得． 【详解】解：∵， ∴，，则选项A成立； ∵， ∴，则选项B成立； ∴，则选项C成立，选项D不成立； 故选：D． 33．（25-26九年级上·湖南娄底·期末）如图①是一个花架，图②是其侧面示意图，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：∵， ， 即， 解得：， ∴． 故选：D． 34．如图，中，的平分线交于点D，与的垂线相交于点E，过点D作于点F，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，角平分线的性质，由勾股定理得，再由角平分线的性质得，进而由面积法求出，则，然后由勾股定理得，则，最后由平行线分线段成比例定理即可得出结论． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即． 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理，角平分线的性质，三角形面积，平行线的判定及平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握勾股定理、角平分线的性质及平行线分线段成比例定理是解题的关键． 35．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清的边 ， 上，且，“远”字的笔画“、”的位置在 的黄金分割点处，且 若，则 的长为_______(结果保留根号)． 【答案】/ 【分析】先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵， ∴． 36．如图，已知中，点D、E、F分别是边、、上的点，且，且，若，那么__________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理（包括三角形中位线定理的延伸），解题的关键是利用两组平行线、分别得出对应线段的比例关系，通过中间线段建立与的联系． 由，根据平行线分线段成比例定理得；由，同理得=；因此；已知、，代入比例式即可求出的长度． 【详解】解：∵（已知）， ∴（平行线分线段成比例定理）． ∵（已知）， ∴（平行线分线段成比例定理）． ∴（等量代换）． 已知， 设，则，解得． 故答案为： 37．如图，在中，，，，分别以点和点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，则的长是________． 【答案】5 【分析】由作图痕迹可知直线是线段的垂直平分线，根据垂直于同一直线的两直线平行可得，根据平行线分线段成比例可判定为的中点，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：如图， 由作图可知，直线是线段的垂直平分线， ，， ，即， ， ∴， 为的中点， 在中，， ，为的中点， ． 38．（25-26九年级上·广东河源·期中）如图，点分别在的边上，，，已知是的中点，连接并延长交于点N，则________． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，过点F作交于点G，可证．同理可得，，；由得，于是；设，则，，，从而得． 【详解】解：∵是的中点， ∴， 过点F作交于点G， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 设，则， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 39．（24-25九年级下·福建厦门·阶段检测）如图，这是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点P表示的数是_________． 【答案】3 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例求解即可． 【详解】解：如图， 由题意，，，，， ∴，即， 解得， 故答案为：3． 40．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，已知，． (1)若，，．求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． （1）先求出，根据，得出，代入数据求出结果即可； （2）根据，得出，根据，得出，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； （2）略 41．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）如图，． (1)直接填空；的值为______，的值为______； (2)若，求和的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例： （1）根据平行线分线段成比例即可求解； （2）根据（1）中的结论，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 42．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，． (1)作线段的垂直平分线，交斜边于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1) 解：如图所示， (2) 【分析】本题考查了尺规作图--线段的垂直平分线，直角三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用作线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）由平行线分线段成比例定理得到是中点，由直角三角形斜边上中线得到，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示， 由题意得，， ∴， ∴， ∴点M为中点， ∴， ∴， ∵， ∴． 43．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）中，点是边上的一点，点在上，连接并延长交于点． (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值； (3)若为的中点，设，，请求出、之间的等量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，中点定义，比例的基本性质，构造辅助线是解题的关键． （1）先证点，点分别是线段的中点即可求解； （2）如图2，过点作交于点，根据平行线分线段成比例定理证得，进而可求得的值； （3）如图3，过点作交于点，根据平行线分线段成比例定理证得，又为的中点，可得，最后根据可确定、之间的关系． 【详解】（1）证明：点是中点， ， 交于点， ， 又点是中点， ， ， ； （2）如图2，过点作交于， ， ， ， ， ，即， ， ，即； （3）如图3，过点作交于， ， ， 点是中点， ， ， ， ， ， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $