7.1 为什么要证明 课件 2026-2027学年北师大版八年级上册数学

该初中数学课件聚焦“为什么要证明”，通过视觉错觉图（如静动螺旋、方柱圆住）导入，引导学生从观察直觉的不可靠，过渡到实验验证、推理验证的必要性，搭建从直观认知到理性证明的学习支架。 其亮点在于以情境问题链（线段比较、地球赤道间隙、代数式质数反例）培养数学眼光与推理意识，通过“观察-实验-猜想-推理”流程强化数学思维，小结明确证明方法（实验、反例、推理）。学生能发展理性精神，教师可借助丰富实例提升教学效果。

第七章　证明 7.1 为什么要证明 北师大版八年级上册 导入新课 是静还是动？ 2 这是螺旋，还是一些同心圆？ 柱子是圆的还是方的? 探究新知 问题1：(1) 线段 a 与线段 b 哪个比较长？ a b (2) 图中的四边形是正方形吗？ a b a = b 观察得出的结论不一定正确 是正方形 探究方法：观察 验证方法： 实验验证 有时候视觉受周围环境的影响，往往误导我们得出错误的结论，所以仅靠经验、观察是不够的，只有通过科学的实验进行严格的推理，才能得出最准确的结论. (3) 如图，把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长1m的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？能放进一个拳头吗？先凭感觉想象一下，再具体算一算，看看与你的感觉是否 一致，并与同伴进行交流。 解：设赤道周长为 c m，则铁丝与地球赤道之间的间隙为-=≈0.16 (m). 它们的间隙不仅能放进一个红枣，而且也能放进一个拳头. (3) 如图，把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长1m的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？能放进一个拳头吗？先凭感觉想象一下，再具体算一算，看看与你的感觉是否一致，并与同伴进行交流。 探究方法：感觉 验证方法：推理验证 直觉得出的结论不一定正确 (1) 代数式 n2 - n + 11 的值是质数吗？取 n = 0，1，2，3，4，5 试一试，你能否由此得到结论 n 0 1 2 3 4 5 n2-n+11 质数/合数 “对于所有的自然数 n，n2 - n + 11 的值都是质数” ？ 6 7 8 9 10 典例精析 n 0 1 2 3 4 5 n2-n+11 质数/合数 11 11 13 17 23 31 41 53 67 83 101 质数 质数 质数 质数 质数 质数 质数 质数 质数 质数 质数 当 n = 11 时，n2 - n + 11 的值为 121 = 112， 所以，对于所有自然数 n，n2 - n + 11 的值未必都是质数. 6 7 8 9 10 (2) 如图，在△ABC 中，点 D，E 分别是 AB，AC 的中点，连接 DE. DE 与 BC 有怎样的位置关系和数量关系？请你先猜一猜，再设法检验你的猜想. A D E B C A D E B C 位置关系：DE∥BC 数量关系：DE=BC 验证方法：测量推理 测量得出的几何结论不一定正确 你能肯定你的结论对所有的 △ABC 都成立吗？与同伴进行交流. 判断一个数学结论是否正确，仅靠观察、猜想、 实验还不够， 必须经过一步一步、有根有据地推理. (1) 直觉有时会产生错误，不一定可信； (2) 图形的性质并不都是通过测量得出的； (3) 少数具体例子的观察、测量或计算得出的结论，并不能保证一般情况下都成立． 归纳总结 例1 先观察再验证． (1) 图①中的实线是直的还是弯曲的？ (2) 图②中两条线段 a 与 b 哪一条更长？ (3) 图③中的直线 AB 与直线 CD 平行吗？ 可以借助实验的方法验证 典例精析 解：通过观察可能得出的结论是： (1) 实线是弯曲的. (2) a 更长一些. (3) AB 与 DC 不平行. 而我们用科学的方法验证后发现： (1) 实线是直的. (2) a 与 b 一样长. (3) AB 平行于 CD. 例2 如图，从点 O 出发作出四条射线 OA、OB、OC、OD，已知 OA⊥OC，OB⊥OD. (1) 若∠BOC＝30°，求∠AOB 和∠COD 的度数； (2) 若∠BOC＝54°，求∠AOB 和∠COD 的度数； 分析：由于∠AOB、∠COD 均与∠BOC 互余，故可根据∠BOC 的度数求得∠AOB 与∠COD 的度数，进而归纳出两角之间的关系. 解：(1) 因为 OA⊥OC，OB⊥OD， 所以∠AOC＝∠BOD＝90°. 因为∠BOC＝30°， 所以∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝90°－30°＝60°， ∠COD＝∠BOD－∠BOC＝90°－30°＝60°. (2)∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝90°－54°＝36°， ∠COD＝∠BOD－∠BOC＝90°－54°＝36°. (3) 由 (1)(2) 你发现了什么 ? (4) 你能说明一下你的理由吗 ? 解：(3) 发现∠AOB＝∠COD. (4) 因为∠AOB＋∠BOC＝∠AOC＝90°， ∠COD＋∠BOC＝∠BOD＝90°， 所以∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC. 所以∠AOB＝∠COD. 方法总结 检验数学结论具体经历的过程是： 观察、度量、实验→猜想归纳→结论→推理→正确结论． 为什么要证明 数学结论必须经过严格的论证 实验验证 举出反例 推理说明 论证方法 课堂小结 1.通过推理证明，下列说法合理的是( ) A.今天是晴天，明天必然还是晴天 B.三个连续正整数的积一定能被6整除 C.小明爸爸的运气一向很好，因而他买彩票一定会中大奖 D.两个三角形有两条边和一个角对应相等，这两个三角形肯定全等 B 课堂练习 2.小明花了整数元网购了一本《趣数学》，让同学们猜书的价格.甲说：“至少15元.”乙说“至多13元.”丙说：“至多10元.”小明说：“你们都猜错了.”这本书的价格可能为( ) A.12元 B.13元 C.14元 D.无法确定 C 3.在一次数学活动课上，某数学老师将三张不同的牌分别发给甲、乙、丙三位同学，其中有一张牌是红桃A.甲：“红桃A在我手上.”乙：“红桃A不在我手上.”丙：“红桃A肯定不在甲手上.”三位同学中只有一位说的是真的，则红桃A在( ) A.甲手上 B.乙手上 C.丙手上 D.无法判断 B 4.观察下列等式： 第1个等式：52－12＝8×3； 第2个等式：92－52＝8×7； 第3个等式：132－92＝8×11； 第4个等式：172－132＝8×15； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：　 　；  (2)写出你猜想的第n个等式：　 　. (用含n的等式表示，n是正整数)  　(4n＋1)2－(4n－3)2＝8(4n－1)　 　212－172＝8×19　 5.[教材P181随堂练习第2题改编]当n为正整数时，代数式(n2－5n＋5)2的值都等于1吗?取n＝1，2，3，4，5试一试. 解：当n＝1时，(n2－5n＋5)2＝12＝1； 当n＝2时，(n2－5n＋5)2＝(－1)2＝1； 当n＝3时，(n2－5n＋5)2＝(－1)2＝1； 当n＝4时，(n2－5n＋5)2＝12＝1； 当n＝5时，(n2－5n＋5)2＝52＝25≠1. 所以当n为正整数时，(n2－5n＋5)2的值不是都等于1. 6.甲、乙、丙、丁四人在比身高，甲说：“我最高.”乙说：“我不是最矮.”丙说：“我没有甲高，但还是有人比我矮.”丁说：“我最矮.”实际测量表明只有一人说错了，则身高从高到低排第三位的是　 　.  　丙　 (1)摆第①个图案用了5根火柴棒，摆第②个图案用了 　 　根火柴棒，摆第③个图案用了　 　根火柴棒.  (2)按照这种方式摆下去，摆第n个图案用　 　根火柴棒.(用含n的代数式表示)  　(4n＋1)　 　13　 7.如图是由一些火柴棒摆成的图案： 　9　 (3)是否可能出现某个图案的火柴棒数为2025?请说明理由. 解：(3)可能.理由：当4n＋1＝2025时，得n＝506，所以第506个图案的火柴棒数为2025. $