第1章 有理数中的数学思想 2026--2027学年华东师大版七年级数学上册

本章数学思想 资料编号:202607291313 在本章中,我们接触到了三种重要的数学思想,分别是分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想.强化对这些数学思想的学习,可以培养学生思维的严谨性和条理性,非常有利于学生今后的发展. 分类讨论思想 当解决一个数学问题时,如果问题中的条件或情况存在不确定性,就需要对原问题按照一定的标准分为若干类分别讨论,然后将每一类的求解结果整合在一起,得到原问题的答案.这种解决数学问题的思想方法就叫做分类讨论思想. 分类讨论思想一般分为三个步骤: 第一步 确定分类标准:讨论的标准要统一; 第二步 逐类讨论:对每一种情况进行推理论证、计算等; 第三步 归纳总结:将每一类讨论的结果整合在一起（综上所述）,得出最终结果.特别强调,这一步必须进行. 例1. 已知,且,求的值. 分析: 本题中,的取值组合共有四种,每一种都不能遗漏,结合条件,确定符合题意的取值组合,然后分类进行求解,再整合得出最终结果. 解: ∵ ∴ ∵ ∴或 当时,; 当时,. 综上所述,的值为或. 例2. 在数轴上,已知点A表示的有理数是,则距离点A6个单位长度的点B表示的有理数是_________. 分析: 本题中,只知道点A和点B之间的距离,但并不知道点A和点B的相对位置关系,故需要分两种情况进行讨论:点B在点A的左侧和点B在点A的右侧. 解: 分为两种情况: ①当点B在点A的左侧时,点B表示的有理数为; ②当点B在点A的右侧时,点B表示的有理数为4. 综上所述,点B表示的有理数为或4. 数形结合思想 这是一种非常强大的思想方法,它有两个应用方向:一是以形助数,二是以数解形. 例3. 数轴上A、B两点之间的距离,就是线段AB的长度.若点A表示有理数,点B表示有理数,则A、B两点之间的距离为.请解决下面的问题: （1）数轴上,表示有理数的点与表示的点之间的距离为_________; （2）数轴上,点A、B分别表示有理数和2,则A、B两点之间的距离可以表示为_________; （3）在数轴上,的意义是表示有理数______的点与表示有理数______的点之间的距离; （4）在数轴上, 的意义是表示有理数_______的点与表示有理数______的点之间的距离; （5）的最小值为_________. 分析: 对于问题（5）,原式可以化为,借助于数轴,我们可以把原式的变式理解为数轴上表示数的点分别与表示和2的点之间的距离之和,观察数轴不难得出其最小值为. 解:（1）; （2）（或）; （3） 3; （4） ; （5）3. 转化化归思想 转化化归思想,简称转化思想,是一种极具代表性的思想方法,其核心是将待解决的陌生、复杂、抽象的问题,通过某种方式,转化为熟悉（或已经解决）、简单、具体的问题. 应用转化思想能够做到: （1）化繁为简: 将复杂的问题转化为简单的问题. （2）化生为熟: 将陌生的问题转化为熟悉的问题. （3）化抽象为具体. 七年级数学《有理数》一章中,在比较两个负数的大小时,我们把问题转化为比较两个负数的绝对值的大小,根据“两个负数,绝对值大的反而小”得出结果;在进行有理数的减法运算时,我们把其转化为加法运算进行.这些都用到了转化思想. 例4.计算:. 分析: 我们根据“减去一个数,等于加上这个数的相反数”,实现将有理数的减法运算转化为加法运算. 解:原式 . 例5.计算:. 解:原式 . 同步练习 1. 如图,数轴上点A和点B表示的数分别为和2,C是数轴上的一个点,且点C到点B的距离是点A到点B距离的2倍,则点C所表示的数为 【 】 （A） （B）5 （C）或5 （D）或8 2. 若,且,则的值为_________. 3. 若,且,则的值为_________. 4. 已知表示有理数的点如图,则之间的大小关系是___________. 5. 若为正整数,则_________. 6. 定义一种新运算“*”,规定,若,则_________. 7. （1）若,求的值; （2）若,求的值; （3）当_________时,有最小值,最小值为_________; （4）当取最小值时,求,的值. 8. 用简便方法计算:. 9. 阅读下面的解题过程,并解决问题. 计算:. 解: 原式………① ………………② ……………③ …… （1）第①步变形的依据是_________________________________,体现了数学中的__________思想; （2）为了计算简便,第②步和第③步分别应用了__________和__________; （3）本题的计算结果是_________. 10. 已知,,则的值为 【 】 （A）0 （B）0或1 （C）0或或1 （D）0或1或 11. “分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法,下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程,请仔细阅读,并解答下列问题. 【知识背景】 当时,;当时,;当时,. 【解决问题】 （1）当时,_________,当时,_________. （2）如果有理数满足,那么_________. 【类比探究】 （3）如果三个有理数满足,求的值. 12. 对于有理数,定义一种新运算:.例如. （1）计算:的值; （2）运算“”_________交换律（填“满足”或“不满足”）; （3）若,求的值. 同步练习答案 1. D 2. 5或 3. 或 4. 5. 或 6. 或8 7.（1） （2）0或2 （3） 8. 解: 9.（1）减去一个数,等于加上这个数的相反数 转化 （2）加法交换律 加法结合律 （3） 10. A 11.（1）1 （2）0 （3）或0 12. 解:（1） （2）满足; 提示: ,故运算“”满足交换律; （3）∵ ∴ ∴ ∴. 第7页 学科网（北京）股份有限公司 $