25.2.2 公式法（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的公式法，核心内容包括求根公式推导与根的判别式应用。通过配方法推导求根公式衔接旧知，构建“公式推导—判别式判断—方程求解”的学习支架，帮助学生理解知识脉络。 其亮点在于以数学思维中的推理能力和数学语言中的模型意识为核心，如通过配方法推导公式培养推理能力，结合“数的2倍与平方相等”实例渗透模型意识。采用分层练习与步骤化小结，学生能提升运算与问题解决能力，教师可借助完整资源高效教学。

授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第25章 一元二次方程 25.2.2 公式法 2026年7月29日 人教版九年级上册25.2.2公式法专项练习题（全文约1020字） 一、基础知识点填空（每空3分，共30分） 1. 一元二次方程的求根公式是：对于一般形式$$ax^2+bx+c=0(a eq0)$$，当$$b^2-4ac\geq0$$时，$$x=$$________。 2. 一元二次方程根的判别式$$\Delta=$$________。当$$\Delta>0$$时，方程有________的实数根。 3. 当$$\Delta=0$$时，一元二次方程有________的实数根；当$$\Delta<0$$时，方程________实数根。 4. 用公式法解方程首先要把方程化为________，准确找出$$a、b、c$$的值。 5. 方程$$x^2-3x+2=0$$的判别式$$\Delta=$$________，方程有两个不相等的实数根。 6. 方程$$2x^2+4x+2=0$$的根的情况是________。 二、选择题（每题4分，共28分） 1. 一元二次方程$$3x^2-2x-1=0$$中，$$a、b、c$$的值分别是（） A.3、2、1 B.3、-2、-1 C.3、-2、1 D.-3、-2、-1 2. 下列方程中，判别式$$\Delta=0$$的是（） A.$$x^2-4x+4=0$$ B.$$x^2-2x-3=0$$ C.$$x^2-2x=0$$ D.$$x^2+1=0$$ 3. 关于方程$$x^2+2x+3=0$$的根的说法正确的是（） A.两个不相等实数根 B.两个相等实数根 C.无实数根 D.无法判断 4. 用公式法解方程$$x^2-5x+6=0$$，代入公式正确的是（） A.$$x=\frac{5\pm\sqrt{25-24}}{2}$$ B.$$x=\frac{-5\pm\sqrt{25-24}}{2}$$ C.$$x=\frac{5\pm\sqrt{25+24}}{2}$$ D.$$x=\frac{-5\pm\sqrt{25+24}}{2}$$ 5. 若一元二次方程$$x^2-mx+1=0$$有两个相等实数根，则$$m$$的值为（） A.2 B.-2 C.$$\pm2$$ D.0 6. 下列方程有两个不相等实数根的是（） A.$$x^2+4x+4=0$$ B.$$x^2+2=0$$ C.$$x^2-4x-1=0$$ D.$$2x^2+3x+2=0$$ 7. 公式法适用于解（） A.所有一元二次方程 B.仅二次项系数为1的方程 C.仅无常数项的方程 D.仅整数系数方程 三、解答题（共42分） 1. 用公式法解下列一元二次方程（每题6分，共24分） 1. $$x^2-5x+4=0$$ 2. $$2x^2+3x-2=0$$ 3. $$x^2-2x-2=0$$ 4. $$4x^2-4x+1=0$$ 2. 不解方程，判断下列方程根的情况（9分） $$3x^2-2x-1=0$$ 3. 根据题意列方程并用法公式求解（9分） 已知一个数的2倍与这个数的平方相等，求这个数。 参考答案 一、基础知识点填空 1. $$\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ 2. $$b^2-4ac$$；两个不相等 3. 两个相等；无 4. 一般形式 5. 1 6. 有两个相等的实数根 二、选择题 1.B 2.A 3.C 4.A 5.C 6.C 7.A 三、解答题 1. 解：（1）$$a=1,b=-5,c=4$$，$$\Delta=9$$，解得$$x_1=4，x_2=1$$ （2）$$a=2,b=3,c=-2$$，$$\Delta=25$$，解得$$x_1=\frac{1}{2}，x_2=-2$$ （3）$$a=1,b=-2,c=-2$$，$$\Delta=12$$，解得$$x_1=1+\sqrt{3}，x_2=1-\sqrt{3}$$ （4）$$a=4,b=-4,c=1$$，$$\Delta=0$$，解得$$x_1=x_2=\frac{1}{2}$$ 2. 解：$$\Delta=(-2)^2-4\times3\times(-1)=4+12=16>0$$，方程有两个不相等的实数根。 3. 解：设这个数为$$x$$，列方程$$2x=x^2$$，整理得$$x^2-2x=0$$，$$a=1,b=-2,c=0$$，解得$$x_1=0，x_2=2$$，答：这个数为0或2。 拓展思考题 思考：使用求根公式解方程的核心步骤是什么？ 答：先将方程化为一般形式，确定$$a、b、c$$的值，再计算判别式判断根的情况，最后代入求根公式计算求解。 （总字数：1020） 韦东奕介绍：韦东奕是北大青年数学家，现任数学科学学院长聘副教授。早年两度斩获国际数学奥林匹克满分金牌，保送北大深造。深耕偏微分方程领域，科研成果广受认可；平日生活简约，醉心学术，被大众亲切称作 “韦神”。 通过阅读课本学生可以由配方法推导求根公式，培养学生的推理能力. 结合使用求根公式解一元二次方程的练习，培养学生运用公式解决问题的能力，全面培养学生解方程的能力. 通过教师讲解让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感 推进新课 知识点1 一元二次方程根的判别式 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0) 那么我们能否也用配方法得出它的解呢？ ax2+bx+c=0(a≠0) 二次项系数化为1，得 配方，得 即 因为a≠0，所以4a2＞0. 式子ax2+bx+c=0的根有以下三种情况： ①当b2－4ac>0时， >0，方程有两个不等的 实数根 ②当b2－4ac=0时， =0，方程有两个相等的 实数根 ③当b2－4ac<0时， <0，方程没有实数根. Δ=b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 根的判别式. 当b2－4ac>0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根； 当b2－4ac=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根； 当b2－4ac<0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根. 1. 返回 [石家庄期中]一元二次方程x2－4x＋3＝0的根的判别式的值是(　　) A．28 B．4 C．25 D．16 B 考试考法 8 返回 2. 关于x的方程x2＋mx＝3的根的判别式的值是(　　) A．m2－12 B．m2＋12 C．m2－3 D．m2＋3 B 考试考法 返回 3. [扬州中考]关于一元二次方程x2－3x＋1＝0的根的情况，下列结论正确的是(　　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 A 考试考法 巩固练习 不解方程，利用判别式判断下列方程的根的情况. x2+5x+6=0； 9x2+12x+4=0； Δ=b2-4ac =52-4×1×6 =1>0 方程有两个不等的实数根 Δ=b2-4ac =122-4×9×4 =0 方程有两个相等的实数根 举一反三 2x2+4x－3=2x－4； x(x+4)=8x+12. 化简得 2x2+2x+1=0 Δ=b2-4ac =22-4×2×1 =-4<0 方程无实数根 化简得 x2-4x-12=0 Δ=b2-4ac =(-4)2-4×(-12) =64>0 方程有两个不等的实数根 举一反三 知识点2 用公式法解一元二次方程 当Δ≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为 的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式. 返回 4. [上海中考]以下一元二次方程有两个相等实数根的是(　　) A．x2－6x＝0 B．x2－9＝0 C．x2－6x＋6＝0 D．x2－6x＋9＝0 D 考试考法 [教材P17习题T4变式]不解方程，判断下列方程的根的情况： 返回 5. 考试考法 解：方程整理得3x2－8x－1＝0， 则a＝3，b＝－8，c＝－1， ∴Δ＝b2－4ac＝(－8)2－4×3×(－1)＝64＋12＝76＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． (2)8x＝3x2－1； 返回 考试考法 返回 考试考法 (4)5x2＋5x＝4x2－10. 解：方程整理得x2＋5x＋10＝0， 则a＝1，b＝5，c＝10， ∴Δ＝b2－4ac＝52－4×1×10＝－15＜0， ∴方程无实数根． 返回 考试考法   例2 用公式法解下列方程： 解：a=1，b=-4，c=-7 Δ= b2－4ac=(-4)2-4×1×(-7) =44>0 (3)5x2-3x=x+1； (4)x2+17=8x. 解：方程化为5x2-4x-1=0 a=5，b=-4，c=-1 Δ= b2－4ac=(-4)2-4×5×(-1) =36>0 解：方程化为x2-8x+17=0 a=1，b=-8，c=17 Δ= b2－4ac =(-8)2-4×1×17 =-4＜0 方程无实数根 思考：运用公式法解一元二次方程时，有哪些注意事项？ 步骤：先将方程化为一般形式，确定a,b,c的值； 计算判别式Δ=b2-4ac的值，判断方程是否有解； 若Δ≥0，利用求根公式计算方程的根， 若Δ<0，方程无实数根. 易错点：计算Δ的值时，注意a，b，c符号的问题. 用公式法解方程x2－2＝－3x时，a，b，c的值依次是(　　) A．0，－2，－3 B．1，3，－2 C．1，－3，－2 D．1，－2，－3 返回 6. B 考试考法 返回 7. [邢台襄都区期中]若某一元二次方程的根为x＝ ，则该一元二次方程可以为(　　) A．2x2＋3x＋1＝0 B．2x2－3x＋1＝0 C．2x2－3x－1＝0 D．2x2＋3x－1＝0 A 考试考法 返回 8. 用公式法解方程：2x2＋4x＝x＋2. 解：方程化为一般形式，得______________． a＝________，b＝________，c＝________． Δ＝b2－4ac＝________． 方程有________________实数根， 为x＝ ＝________＝________， 即x1＝________，x2＝________． 2x2＋3x－2＝0 2 3 －2 25>0 两个不相等的 －2 考试考法 返回 9. [教材P11例3变式]用公式法解下列方程： (1)x2＋4x－6＝0； 解：∵a＝1，b＝4，c＝－6， ∴Δ＝b2－4ac＝42－4×1×(－6)＝40＞0， 考试考法 25 返回 考试考法 (3)2x2＋3＝3x. 返回 解：方程化为一般形式得2x2－3x＋3＝0， 则a＝2，b＝－3，c＝3， ∴Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2×3＝－15＜0， ∴方程无实数根． 考试考法 返回 10. [内江中考]若关于x的一元二次方程(a－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则实数a的取值范围是(　　) A．a≤2 B．a<2 C．a≤2且a≠1 D．a<2且a≠1 C 考试考法 28 返回 11. 嘉琪在解一元二次方程●x2－4x＋2＝0时，不小心把二次项系数沾上了墨水，若这个一元二次方程无实数根，则被沾上了墨水的二次项系数可能是(　　) A．－1 　 B．1 C．2 D．3 D 考试考法 29 返回 12. [河北中考]淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a＝(　　) C 考试考法 30 课堂小结 公式法 用求根公式解一元二次方程的方法 一元二次方程根的判别式Δ= b2－4ac 求根公式 (b2－4ac≥0) 当b2－4ac>0时，方程有两个不等的实数根； 当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当b2－4ac<0时，方程无实数根. 谢谢观看 THANKS 解：∵a＝1，b＝－1，c＝， ∴Δ＝b2－4ac＝(－1)2－4×1×＝1－1＝0， ∴方程有两个相等的实数根． (1)x2－x＋＝0; (3)x2－2 x＋4＝0; 解：∵a＝1，b＝－2 ，c＝4， ∴Δ＝b2－4ac＝(－2 )2－4×1×4＝－4＜0， ∴方程无实数根． ∴x＝＝＝－2±， ∴x1＝－2＋，x2＝－2－. (2)6x2－2 x＋1＝0； 解：∵a＝6，b＝－2 ，c＝1， ∴Δ＝b2－4ac＝(－2 )2－4×6×1＝0， ∴x1＝x2＝－＝－＝. A．1　 B．－1　 C．＋1　 D．1或＋1 $