25.2.3 因式分解法（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的因式分解法，通过物理上抛物体落回地面问题导入，列出方程10x - 4.9x² = 0，引导学生回顾配方法、公式法，进而探索更简便的因式分解法，搭建从已有知识到新知识的学习支架。 其亮点在于以实际问题培养数学眼光，通过自主探究发展数学思维，如拓展思考题分析“直接除以x-2”的错误，强化推理意识。课堂小结系统归纳方法步骤，结合提公因式、公式法等实例，提升学生运算能力与模型意识，助力教师实施探究式教学，提高课堂效率。

授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第25章 一元二次方程 25.2.3 因式分解法 2026年7月29日 人教版九年级上册25.2.3因式分解法专项练习题（全文约1020字） 一、基础知识点填空（每空3分，共30分） 1. 先把一元二次方程化为________的形式，再将方程左边分解成两个________的积，进而求出方程根的方法，叫做因式分解法。 2. 若$$ab=0$$，则________或________，这是因式分解法解方程的核心依据。 3. 因式分解法常用的两种方法：________和________。 4. 方程$$x(x-3)=0$$的两个根是________。 5. 解方程$$x^2-4x=0$$，可提取公因式________，分解为$$x(x-4)=0$$。 6. 平方差公式因式分解：$$a^2-b^2=$$________。 7. 完全平方公式因式分解：$$a^2\pm2ab+b^2=$$________。 二、选择题（每题4分，共28分） 1. 下列方程最适合用因式分解法求解的是（） A.$$x^2-2x-5=0$$ B.$$2x^2+3x-1=0$$ C.$$x^2-5x=0$$ D.$$x^2+4x+2=0$$ 2. 方程$$(x+2)(x-1)=0$$的解是（） A.$$x_1=2,x_2=-1$$ B.$$x_1=-2,x_2=1$$ C.$$x_1=x_2=0$$ D. 无解 3. 将$$x^2-9=0$$因式分解正确的是（） A.$$(x-3)^2=0$$ B.$$(x+3)(x-3)=0$$ C.$$(x+9)(x-9)=0$$ D.$$x(x-9)=0$$ 4. 方程$$x^2-6x+9=0$$的根为（） A.$$x_1=3,x_2=3$$ B.$$x_1=-3,x_2=3$$ C.$$x_1=0,x_2=6$$ D. 无实数根 5. 解方程$$2x(x-1)=3(x-1)$$，移项因式分解后正确的是（） A.$$(x-1)(2x-3)=0$$ B.$$(x-1)(2x+3)=0$$ C.$$2x(x-1)=0$$ D.$$3(x-1)=0$$ 6. 若$$x^2+5x+6=0$$因式分解为$$(x+m)(x+n)=0$$，则$$m、n$$的值为（） A.2、3 B.-2、-3 C.2、-3 D.-2、3 7. 关于因式分解法，下列说法正确的是（） A. 适合所有一元二次方程 B. 计算量通常大于公式法 C. 优先用于能快速因式分解的方程 D. 只能解常数项为0的方程 三、解答题（共42分） 1. 用因式分解法解下列一元二次方程（每题6分，共24分） 1. $$x^2-7x=0$$ 2. $$x^2-16=0$$ 3. $$x^2+4x+4=0$$ 4. $$(x-2)^2-9=0$$ 2. 先移项再因式分解解方程（9分） $$3x(x-2)=2(2-x)$$ 3. 列方程并因式分解求解（9分） 已知一个数的平方比这个数大6，求这个数。 参考答案 一、基础知识点填空 1. 一边为0；一次因式 2. $$a=0$$；$$b=0$$ 3. 提公因式法；公式法 4. $$x_1=0，x_2=3$$ 5. $$x$$ 6. $$(a+b)(a-b)$$ 7. $$(a\pm b)^2$$ 二、选择题 1.C 2.B 3.B 4.A 5.A 6.A 7.C 三、解答题 1. 解：（1）提公因式得$$x(x-7)=0$$，解得$$x_1=0，x_2=7$$ （2）平方差分解得$$(x+4)(x-4)=0$$，解得$$x_1=-4，x_2=4$$ （3）完全平方分解得$$(x+2)^2=0$$，解得$$x_1=x_2=-2$$ （4）变形分解得$$(x-2+3)(x-2-3)=0$$，即$$(x+1)(x-5)=0$$，解得$$x_1=-1，x_2=5$$ 2. 解：移项得$$3x(x-2)+2(x-2)=0$$，因式分解得$$(x-2)(3x+2)=0$$，解得$$x_1=2，x_2=-\frac{2}{3}$$ 3. 解：设这个数为$$x$$，列方程$$x^2-x=6$$，整理得$$x^2-x-6=0$$，分解得$$(x-3)(x+2)=0$$，解得$$x_1=3，x_2=-2$$，答：这个数为3或-2。 拓展思考题 思考：解方程$$x(x-2)=2(x-2)$$时，为什么不能直接两边同时除以$$x-2$$？ 答：因为无法确定$$x-2$$是否不为0，直接除会丢失$$x=2$$这个根，必须先移项再因式分解求解。 （总字数：1020） 韦东奕介绍：韦东奕是北大青年数学家，现任数学科学学院长聘副教授。早年两度斩获国际数学奥林匹克满分金牌，保送北大深造。深耕偏微分方程领域，科研成果广受认可；平日生活简约，醉心学术，被大众亲切称作 “韦神”。 通过阅读课本，学生会用因式分解法解某些简单的数字系数的一元二次方程，提高了学生的运算能力． 通过学生自主探究利用因式分解的方法解方程，培养学生分析问题、解决问题的能力，并体会通过“降次”把一元二次方程转化为两个一元一次方程的转化思想． 学会在合作交流中归纳总结出不同方法解方程的特点，提高了学生解决问题的能力. 新课导入 导入课题 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过x s后物体离地面的高度（单位：m）为：10x-4.9x2. 问题：设物体经过x s落回地面，请说说你列出的方程. 10x-4.9x2=0 推进新课 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 你能用配方法或公式法解方程10x-4.9x2=0吗？ 是否还有更简单的方法呢？ 分解因式：左边提公因式，得x(10-4.9x)=0， 降次：把方程化为两个一次方程，得x=0或10-4.9x=0， 求解：解这两个一次方程，得x1=0, x2= . 4 思考：解方程10x-4.9x2=0时，二次方程是如何降为一次的？ 解方程10x-4.9x2=0时，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 1. 返回 由方程x(x－1)＝0可以得到的方程是(　　) A．x＝0或x－1＝0 B．x＝0 C．x－1＝0 D．x＋1＝0 A 考试考法 6 返回 2. 方程(x－3)(x＋2)＝0的根是(　　) A．x＝3 B．x＝－2 C．x1＝－3，x2＝2 D．x1＝3，x2＝－2 D 考试考法 返回 3. 用因式分解法解一元二次方程(x－1)2－4＝0时，要转化成两个一元一次方程求解，其中的一个方程是x－1＋2＝0，则另一个方程是____________，所以一元二次方程(x－1)2－4＝0的解是_______________． x－1－2＝0 x1＝－1，x2＝3 考试考法 解下列方程： x(x-2)+x-2=0； 解： 分解因式，得 (x-2)(x+1)=0 即 x-2 =0或x+1 =0, x1=2，x2=-1 解： 移项、合并同类项得 4x2-1=0 (2x-1)(2x+1)=0 即2x-1 =0或2x+1 =0, x1= , x2= 思考：将一个多项式进行因式分解，通常有哪几种方法？ 提公因式法，公式法，十字相乘法 用因式分解法解一元二次方程的依据是： 如果ab=0，则a=0或b=0. 解下列方程： (x-2)·(x-3)=0； 4x2－11x=0. 解： 由题可得 x-2=0或x-3=0 x1=2, x2=3 解： 分解因式，得 故x=0或 x1=0, 返回 4. 用因式分解法解下列方程： (1)3x2＋2x＝0; 解：因式分解，得x(3x＋2)＝0， 于是得x＝0或3x＋2＝0， 解得x1＝0，x2＝－ 考试考法 返回 (3)2x2－12x＝－18; 解：整理得x2－6x＋9＝0. 因式分解，得(x－3)2＝0，解得x1＝x2＝3. 考试考法 返回 (4)4x2－49＝0； 解：因式分解，得(2x＋7)(2x－7)＝0， 于是得2x＋7＝0或2x－7＝0， (5)(2x－5)2－9＝0; 解：因式分解，得(2x－5＋3)(2x－5－3)＝0， 于是得2x－2＝0或2x－8＝0，解得x1＝1，x2＝4. 考试考法 返回 (6)(x＋3)2＝(1－2x)2. 解：移项，得(x＋3)2－(1－2x)2＝0. 因式分解，得(x＋3＋1－2x)(x＋3－1＋2x)＝0， 即(－x＋4)(3x＋2)＝0， 于是得－x＋4＝0或3x＋2＝0， 解得x1＝4，x2＝ 考试考法 你能归纳出用因式分解法解方一元二次程的一般步骤吗？ 第一步，把方程变形为x2+px+q=0的形式； 第二步，把方程变形为(x-x1)(x-x2)=0的形式； 第三步，把方程降次为两个一次方程x-x1=0或x-x2=0的形式； 第四步，解两个一次方程，求出方程的根. 知识点2 一元二次方程解法的选用 选择适当的方法解下列方程： 2x2-4x+1=0； (2x-1)2=x(3x+2)-7； 解： 解：化简，得 4x2-4x+1=3x2+2x-7 x2-6x+8=0 (x-2)(x-4)=0 x1=2，x2=4 x2+2x-35=0； (x-1)2+2x-3=0； 解：分解因式，得 (x-5)(x+7)=0 x1=5, x2=-7 解：化简，得 x2-2x+1+2x-3=0 x2-2=0 直接开平方法适用于哪种形式的方程？ 配方法适用于哪种形式的方程？ 公式法适用于哪种形式的方程？ 因式分解法适用于哪种形式的方程？ x2=p (mx+n)2=p ax2+bx+c=0(a≠0) x2-(m+n)x+mn=0 19 [邯郸期中]解方程(x＋1)2＝3(x＋1)的最佳方法是(　　) A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 返回 5. D 考试考法 在下列各题的横线上填写适当的解法． (1)解方程2x2－5x＋1＝0，用________法较适宜； (2)解方程x(x＋4)＝2(x＋4)，用__________法较适宜． 返回 6. 公式 因式分解 考试考法 返回 7. 用适当的方法解下列方程： (1)2(x－1)2＝8; 解：整理，得(x－1)2＝4. 开平方，得x－1＝±2. 解得x1＝3，x2＝－1. 考试考法 返回 (2)x2＋2x－4＝0； 解：移项，得x2＋2x＝4. 配方，得x2＋2x＋1＝4＋1，即(x＋1)2＝5. 考试考法 返回 (3)2x2－3x＋1＝0; 解：∵a＝2，b＝－3，c＝1， ∴Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2×1＝1＞0， 考试考法 返回 (4)(x－4)2＝x(4－x)． 解：整理，得(x－4)2＋x(x－4)＝0， 因式分解，得(x－4)(2x－4)＝0， 于是得x－4＝0或2x－4＝0， 解得x1＝4，x2＝2. 考试考法 返回 8. [张家口期中]某节数学课上，甲、乙两名同学都在黑板上解方程x(x＋2)＝2(x＋2)，解答过程如下表所示，其中完全正确的是(　　) A．甲 B．乙 C．甲和乙 D．都不正确 B 甲 两边同时除以(x＋2)，得x＝2. 乙 移项，得x(x＋2)－2(x＋2)＝0. 因式分解，得(x－2)(x＋2)＝0， 即x－2＝0或x＋2＝0， 解得x1＝2，x2＝－2. 考试考法 课堂小结 因式分解法 通过因式分解实现降次来解一元二次方程 提公因式法 公式法 十字相乘法 完全平方公式 平方差公式 谢谢观看 THANKS . (2)x2＋5 x＝0； 解：因式分解，得x(x＋5 )＝0， 于是得x＝0或x＋5 ＝0， 解得x1＝0，x2＝－5 . 解得x1＝－，x2＝. －. 开平方，得x＋1＝±， 解得x1＝－1＋，x2＝－1－. ∴x＝＝＝， ∴x1＝1，x2＝. $