3.4 用待定系数法确定一次函数的表达式 教学设计—2025-2026学年湘教版《数学》八年级下册

该初中数学教学设计聚焦用待定系数法确定一次函数表达式这一核心知识点，通过华氏度与摄氏度转化的生活情景导入，承接一次函数图像和性质的前期知识，以探究两点求表达式、议一议正比例函数条件等环节搭建从基础到应用的学习支架。 这份资料的特色在于以问题驱动学习，情景导入贴近生活激发兴趣，探究过程注重培养学生推理意识和运算能力，如例1温度转化体现模型意识，例2收割机油量问题提升应用能力，分层作业满足差异需求，帮助学生掌握方法，助力教师高效开展教学。

3.4用待定系数法确定一次函数的表达式 教学设计 课题 用待定系数法确定一次函数的表达式 单元 第3章 学科 数学 年级 八下 教材分析 用待定系数法确定一次函数的表达式是湘教版八下第3章《一次函数》的内容，是在学生学习了一次函数的图像和性质之后的内容.本节课的内容与函数的表示方法有着密切的联系，是三种表示方法之一的解析式法，为从多种形式研究函数奠定基础. 核心素养 能力培养 1.通过现实情景有关问题导入课题，激发学习积极性，让学生感悟数学眼光在观察生活变化中的优越性. 2.通过探究、议一议活动学习用待定系数求法一次函数表达式，发展运算能力和推理应用意识，能够探究实际生活中蕴含的数学规律. 3.通过例题、练习等教学活动运用一次函数表达式解决有关现实问题，学会可以简约、精确地描述自然现象和日常生活中的数量关系和空间形式. 教学目标 1、理解并掌握待定系数法. 2、学会用待定系数求法一次函数表达式，发展运算能力和推理应用意识，能够探究实际生活中蕴含的数学规律. 3、运用一次函数表达式解决有关现实问题，学会简约、精确地描述自然现象和日常生活中的数量关系和空间形式. 教学重点 理解并掌握待定系数法. 教学难点 运用一次函数表达式解决有关现实问题. 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 情景导入 小明打电话问候刚去美国居住的姑姑，姑姑告诉小明她那里当天的最高气温是84华氏度,你能帮小明的姑姑计算一下是多少摄氏度吗? 我们常说的是多少摄氏度，那摄氏度与华氏度之间怎么转化呢？实际上是有一个数量关系进行转化的，学完今天的内容你就会了——板书课题 学生带着疑惑学习，在学习过程中解答疑惑. 创设情景，为本节内容铺垫；让学生带着问题学习，激发学习积极性. 新知探究 探究 如图3. 4-1，已知一次函数的图象经过P(0，- 1)，Q(1，1)两点. 怎样确定这个一次函数的表达式呢？ 分析：因为一次函数的一般形式是 y = kx + b，则要求出该一次函数的表达式， 关键是确定k，b的值. 因为 P(0，- 1)和 Q(1，1)都在该函数图象上，所以它们的坐标满足 y = kx + b. 解：将这两点的坐标代入该式，得到一个关于k，b的二元一次方程组： 解这个方程组，得 所以这个一次函数的表达式为y = 2x - 1. 归纳：像这样，通过先设定函数表达式（确定函数模型），再根据条件确定表达式中的未知系数（即待定的系数），从而求出函数表达式的方法称为待定系数法. 从上述过程可以看到，给出一条与坐标轴不平行且不重合的直线，找出它经过的两个点的坐标，就可以用待定系数法求出经过这两个点的一次函数的表达式，这个一次函数的图象就是这条直线. 议一议 要确定正比例函数的表达式需要几个条件？与同学交流你的想法. 结论：因为正比例函数的表达式y=kx中，只有一个待定系数k,所以只要知道除(0,0)外的自变量与函数的一对对应值或图像上的一个点的坐标(原点除外)即可确定k的值,也就确定了正比例函数的表达式. 拓展提高： 如果两条直线平行，要确定函数的表达式该怎么解答？ 例如：若一次函数的图象经过点 A(2，0)，且与直线 y = - x + 3 平行，求其解析式. 解:因为一次函数的图象与直线y=-x+3平行,则令一次函数解析式为:y=-x+b. 又一次函数图象经过点A(2, 0), 所以-2+b=0，解得b=2. 故一次函数的解析式为:y=-x+2. 强调：根据两条直线平行时，它们所对应的一次函数的表达式中的k值相等，便可解决问题. 例 1 世界上大多数国家（包括我国）都采用摄氏温标预报天气，而美国仍然采用华氏温标. 已知两种温标计量值的对应关系如下表所示，尝试用函数表达它们的对应关系. 解: 由上表可知，摄氏温度每增加 10 ℃，华氏温度都增加 18 ℉，于是它们之间的关系可用一次函数关系式表示. 因此可以设所求函数表达式为:y = kx +b（k，b为常数，k ≠ 0）由已知条件，得 解得： 因此，华氏温度与摄氏温度的函数表达式为y=x+32 想一想：摄氏温度与对应的华氏温度的值有相等的可能吗？为什么？ 解：依据条件即x=y，则x+32=x 解得x=-40℃,因此当摄氏温度为-40℃时，满足条件. 例2、某种收割机的油箱可储油40 L，加满油并开始工作后，油箱中的剩余油量y（L）与工作时间x（h）之间为一次函数关系，函数图象如图3. 4-2所示. （1） 求y关于x的函数表达式； （2） 一箱油可供收割机工作几小时？ 解 （1） 设一次函数的表达式为y = kx + b （k，b为常数，k ≠ 0）由于点 P（2，30），Q（6，10）都在一次函数图象上，将这两点的坐标代入表达式，得 解得 所以函数表达式为y =-5x + 40. （2） 当剩余油量为0，即y = 0时， -5x + 40 = 0，解得x = 8. 所以一箱油可供收割机工作8 h. 学生独立思考，在教师的引导下提出猜想，同学回答问题.最后教师点评规范解题过程. 学生独立思考，选学生回答问题. 教师分析解题思路一次函数与直线平行，则系数k相等；学生独立完成解题. 教师分析解题思路，学生独立完成解题. 学生独立解答题(1)，并在教师的引导下分析题(2)的解题思路. 培养自主学习习惯，在猜想、验证中加深对待定系数法求一次函数的解析式的理解，体会数形结合思想. 在思考、解答问题中，应用和锻炼数形结合思想.加深对用待定系数法求一次函数解析式的理解. 在思考、解答问题中，加深对一次函数图像的理解与应用，从而巩固用待定系数法求一次函数解析式. 锻炼用待定系数法求一次函数解析式，培养从题干获取信息的能力. 锻炼学生培养从题干获取信息的能力，加深对数形结合思想的锻炼，提高解题技巧. 课堂练习 1.根据本节例1的结果，将84 ℉换算成摄氏温度. 解:因为摄氏温度与华氏温度的函数表达式为y=x+32,所以把y=84℉代入,得84=x+32 解得x≈28.9℃ 2.已知一次函数的图象经过 A(-1，3)，B(2，- 5)两点，求这个函数的表达式. 解：设一次函数的表达式为y = kx + b（k，b为常数，k ≠ 0）. 把A(-1,3)，B(2，-5)两点坐标代入得到: 解得 ∴这个函数的解析式为y=x+ 3.点A′是点A(6，2)关于y轴的对称点. 若一个正比例函数的图象经过点A′， 求该函数的表达式. 解: A'是点A(6,2)关于y轴的对称点，A'(-6,2). 设该正比例函数的解析式为y=kx(k≠0). 正比例函数的图象经过点A'(-6,2)，   2=-6k,解得k=- 这个正比例函数的解析式是y=- x 所有学生动手做，认真审题，仔细作答，教师引导学生积极思考，找代表学生上黑板做，然后讲解. 巩固练习，及时反馈学生学习效果；通过练习，让学生熟练掌握一次函数图象与解析式的联系，以及运用一次函数解决实际问题的能力. 课堂小结 求一次函数表达式的一般步骤: 1. 设出含字母系数的一次函数表达式：y = kx + b； 2. 将已知条件代入上述表达式中，得到关于 k，b 的二元一次方程组； 3. 解这个二元一次方程组，得 k，b的值； 4. 写出一次函数的表达式. 学生和老师对本节课的知识点做梳理. 对本节课的知识点进行总结，使学生在头脑中的知识得到强化和提炼. 课后练习 1.必做题：教材P106页习题——学而时习之 2.选做题：教材P106页习题——温故而知新 让学生独立完成作业，进行自我检测. 通过作业及时了解学生对本节课知识的掌握情况，为调整下一步教学提供依据. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $