第二章 等式与不等式 单元测试卷-2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

**基本信息** 适配人教B版必修第一册第二章等式与不等式的培优提升单元卷，聚焦含参不等式分类讨论、恒成立问题等重难点，适合尖子生拔高训练与阶段检测，体现数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8/40|含参集合（题2）、基本不等式求最值（题3）|梯度设计，从基础到压轴（题8）| |多项选择题|3/18|基本不等式应用判断（题10）、恒成立参数范围（题11）|考查批判性思维，部分选对给分| |填空题|3/15|多变量范围（题12）、代数式最值（题13）|聚焦拔高，对标B组习题| |解答题|5/77|含参不等式求解（题15）、利润问题应用（题19）|综合应用，结合实际情境，对标新高考模拟|

高中数学人教 B 版 (2019) 必修第一册｜同步单元试卷 紧扣新课标・重难点突破 第2章 等式与不等式 单元检测卷（培优提升） 考试时长：120分钟 满分：150分 （逐题答案+详细解析｜备课阅卷专用） 适配教材：人教B版（2019）高中数学必修第一册 试卷说明：本卷为第二章培优提升检测卷，严格贴合人教B版教材核心拔高考点，重点对标B版教材课后B组习题、拓展探究题型，聚焦含参不等式分类讨论、不等式恒成立与存在性问题、基本不等式变形求最值、多变量范围求解、不等式综合应用等培优重难点，适合尖子生拔高训练、阶段培优检测。 第I卷（选择题） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.（培优·2025·广东广州重点高中联考）已知，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 答案：B 解析：由基本不等式，正数满足，当且仅当取等，题干，式子依然恒成立。 A：均值不等式应为； C：； D：无法判断大小，错误。 2.（培优·2025·浙江杭州高一培优月考）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 答案：B 解析：整理得，解得。 由得：， 解得。 3.（提升·2025·江苏无锡名校拔高卷）已知，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 答案：C 解析：配凑得，， 由基本不等式：， 故， 当且仅当取等。 4.（培优·2025·山东济南重点校联考）不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 答案：B 解析：分式不等式等价于， 解得。 5.（拔高·2025·湖南长沙高一培优统考）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 答案：D 解析：设，对称轴。分类讨论区间最小值恒大于等于0， 最终解得。 6.（培优·2025·四川绵阳重点高中联考）已知实数满足，且，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 答案：B 解析：乘1法：，当且仅当取等。 7.（拔高·2025·湖北武汉名校培优卷）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 答案：D 解析：由解集得，韦达定理得，代入化简不等式得，求解得对应解集。 8.（压轴·2025·重庆新高考培优模拟）已知，且，则的最小值为（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 答案：B 解析：由条件得，令，解得，故。 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得3分，有错选得0分） 9.（培优·2025·天津南开中学联考）已知实数，，则下列不等式成立的有（ ） A. B. C. D. 答案：BCD 解析： A：糖水不等式，错误； B：正数平方保序，正确； C：增函数性质，正确； D：指数函数单调递增，正确。 10.（拔高·2025·浙江宁波重点校培优）关于基本不等式的应用，下列说法正确的有（ ） A. 时，的最大值为 B. 若，，则的最大值为 C. 若，则的最小值为4 D. 基本不等式可用于求解所有代数式的最值问题 答案：ABC 解析：D错误，基本不等式需满足一正二定三相等，不能通用；A、B、C均可通过配凑、定值法求出对应最值，正确。 11.（压轴·2025·江苏苏州名校联考）已知关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围可以是（ ） A. B. C. D. 答案：AC 解析：分一次、二次函数讨论：恒成立；不成立；二次恒成立解得，综上选AC。 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.（培优·2025·江西南昌高一统考）已知，，则的取值范围为________。 答案： 解析：，同向相加得。 13.（拔高·2025·辽宁大连重点校月考）若，则代数式的最小值为________。 答案：9 解析：原式化简为，当且仅当取等。 14.（压轴·2025·安徽合肥名校培优）已知不等式在上恒成立，则实数的最大值为________。 解析：分离参数得，由对勾函数单调性得区间最小值为，故。 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（培优·2025·福建福州重点校联考，满分12分） 求解下列分式不等式与含参一元二次不等式： (1) (2) 解析： (1) 原不等式等价于， 解得或， 解集为。 (2) 因式分解：， 两根为、，且 解集为。 16.（培优·2025·河南郑州名校拔高卷，满分12分） 已知，且。 (1) 求的最大值； (2) 求的最小值。 解析： (1) ， 当且仅当取等，。 (2) ， 最小值为1。 17.（拔高·2025·山东青岛培优统考，满分16分） 已知不等式。 (1) 若不等式的解集为，求实数的值； (2) 若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围。 解析： (1) 由解集知二次开口向下，，方程两根为，韦达定理求得。 (2) ①即， 不等式为，不恒成立； ②，需， 解得。 综上。 18.（压轴·2025·湖南雅礼中学联考，满分18分） 已知函数（）。 (1) 若不等式的解集为，求实数的值； (2) 若对任意，恒成立，求实数的取值范围。 解析：(1) 已知，不等式的解集为， 说明一元二次方程的两个实数根为，。 根据韦达定理（根与系数的关系）： 一元二次方程两根之和为，因此： ，代入根得，解得。 验证：将代入得，解集匹配题干条件，结果成立。 (2) 对任意，恒成立，即在上恒成立。 ① 当时不等式恒成立，本题，，可分离参数得：。 要使不等式恒成立，只需。 ② 由基本不等式：，当且仅当即时，等号成立。 因此在上的最小值为4。 ③ 代入得，解得。 综上，实数的取值范围是。 19.（综合拔高·2025·新高考II卷培优模拟，满分19分） 某生鲜超市售卖时令水果，已知该水果进货成本为8元/千克，每日销量（千克）与销售单价（元/千克，）满足一次函数关系：。 (1) 求每日销售利润的最大值及对应的销售单价； (2) 若每日利润不低于600元，求销售单价的取值范围。 详细解析： 根据题意，单件利润为元，日销量为，因此每日销售利润： ，其中定义域：由，得。 (1) 展开整理利润公式： 该二次函数开口向下，二次项系数，对称轴为： ，且，在有效定义域内。 将代入求最大利润： 结论：当销售单价为14元/千克时，每日利润最大，最大利润为360元。 (2) 由题意，每日利润不低于600元，即，代入公式得： 移项整理：，不等式两边同时除以（不等号方向改变）： 计算判别式： 二次函数开口向上且无实数零点，因此无实数解。 结论：在该销售模型下，每日利润无法达到600元，满足条件的销售单价不存在，取值范围为。 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学人教 B 版 (2019) 必修第一册｜同步单元试卷 紧扣新课标・重难点突破 第2章 等式与不等式 单元检测卷（培优提升） 考试时长：120分钟 满分：150分 适配教材：人教B版（2019）高中数学必修第一册 试卷说明：本卷为第二章培优提升检测卷，严格贴合人教B版教材核心拔高考点，重点对标B版教材课后B组习题、拓展探究题型，聚焦含参不等式分类讨论、不等式恒成立与存在性问题、基本不等式变形求最值、多变量范围求解、不等式综合应用等培优重难点，适合尖子生拔高训练、阶段培优检测。 第I卷（选择题） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.（培优·2025·广东广州重点高中联考）已知，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 2.（培优·2025·浙江杭州高一培优月考）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3.（提升·2025·江苏无锡名校拔高卷）已知，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.（培优·2025·山东济南重点校联考）不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5.（拔高·2025·湖南长沙高一培优统考）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6.（培优·2025·四川绵阳重点高中联考）已知实数满足，且，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 7.（拔高·2025·湖北武汉名校培优卷）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8.（压轴·2025·重庆新高考培优模拟）已知，且，则的最小值为（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得3分，有错选得0分） 9.（培优·2025·天津南开中学联考）已知实数，，则下列不等式成立的有（ ） A. B. C. D. 10.（拔高·2025·浙江宁波重点校培优）关于基本不等式的应用，下列说法正确的有（ ） A. 时，的最大值为 B. 若，，则的最大值为 C. 若，则的最小值为4 D. 基本不等式可用于求解所有代数式的最值问题 11.（压轴·2025·江苏苏州名校联考）已知关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围可以是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.（培优·2025·江西南昌高一统考）已知，，则的取值范围为________。 13.（拔高·2025·辽宁大连重点校月考）若，则代数式的最小值为________。 14.（压轴·2025·安徽合肥名校培优）已知不等式在上恒成立，则实数的最大值为________。 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（培优·2025·福建福州重点校联考，满分12分） 求解下列分式不等式与含参一元二次不等式： (1) (2) 16.（培优·2025·河南郑州名校拔高卷，满分12分） 已知，且。 (1) 求的最大值； (2) 求的最小值。 17.（拔高·2025·山东青岛培优统考，满分16分） 已知不等式。 (1) 若不等式的解集为，求实数的值； (2) 若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围。 18.（压轴·2025·湖南雅礼中学联考，满分18分） 已知函数（）。 (1) 若不等式的解集为，求实数的值； (2) 若对任意，恒成立，求实数的取值范围。 19.（综合拔高·2025·新高考II卷培优模拟，满分19分） 某生鲜超市售卖时令水果，已知该水果进货成本为8元/千克，每日销量（千克）与销售单价（元/千克，）满足一次函数关系：。 (1) 求每日销售利润的最大值及对应的销售单价； (2) 若每日利润不低于600元，求销售单价的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $