课时规范练30　等差数列-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 高中数学一轮复习等差数列同步作业，分层清晰，从基础概念到创新应用梯度递进，适配知识巩固与数学思维培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固组|等差数列通项、求和及性质|结合2025高考真题，巩固基本运算与概念辨析，培养运算能力| |综合提升组|前n项和综合应用、充要条件判断|通过《算法统宗》实际问题，提升逻辑推理与数学应用意识| |创新应用组|二阶等差数列新定义|以新定义探究为载体，发展数学抽象与创新意识|

课时规范练30　等差数列 基础巩固组 1.(2025广西柳州三模)在等差数列{an}中,a2=4,则a5-3a3=(　　) A.-8 B.-6 C.-4 D.-2 2.已知数列{an}是等差数列,且a2+a5+a8=π,则tan(a1+a9)=(　　) A. B. C.- D.- 3.(2025北京卷,5)已知{an}是公差不为0的等差数列,a1=-2,若a3,a4,a6成等比数列,则a10=(　　) A.-20 B.-18 C.16 D.18 4.(2025天津卷,6)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=-n2+8n,则{|an|}的前12项和为(　　) A.112 B.48 C.80 D.64 5.设Sn为数列{an}的前n项和,设甲:{an}为等差数列;乙:{}为等差数列,则(　　) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 6.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且,则使得为整数的正整数n的个数为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 7.(多选)已知等差数列{an}是递增数列,a7=3a5,前n项和为Sn,下列选项正确的是(　　) A.d>0 B.a1<0 C.当n=5时Sn最小 D.Sn>0时n的最小值为8 8.(2025上海卷,3)若等差数列{an}中,a1=-3,公差d=2,则S6=　　　　.  9.已知等差数列{an}的公差为2,且a1,a2,a3+1成等比数列,Sn是数列{an}的前n项和,则S9=　　　　.  综合提升组 10.若等差数列{an}的前n项和为Sn,则“S2 020>0,S2 021<0”是“a1 010a1 011<0”的 (　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 11.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若,则=(　　) A. B. C. D. 12.(多选)(2025广西二模)记数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+n(n∈N*),则(　　) A.a2=4 B.数列是公差为1的等差数列 C.数列{}是公比为4的等比数列 D.数列{(-1)nan}的前2 025项和为-2 026 13.我国古代数学名著《算法统宗》中说:九百九十六斤棉,赠分八子做盘缠;次第每人多十七,要将第八数来言;务要分明依次第,孝和休惹外人传.说的是,有996斤棉花要赠送给8个子女做旅费,从第1个孩子开始,以后每人依次多17斤,直到第8个孩子为止……,根据这些信息第三个孩子分得(　　)斤棉花. A.99 B.116 C.133 D.150 14.设数列{an}的前n项和为Sn,对于任意的n∈N*都有an+1=an+2,且S6=4a5. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足bn=Sncos nπ,求数列{bn}的前2n项和T2n. 创新应用组 15.(2025广西模拟)我们把公差不为0的等差数列{an}(n∈N*)称为“一阶等差数列”,若数列{an+1-an}是“一阶等差数列”,则称数列{an}是“二阶等差数列”.例如:1,3,7,13,21,31,…,后项与前项的差值:2,4,6,8,10,…,这些差值构成的数列是公差为2的等差数列,则称数列1,3,7,13,21,31…为“二阶等差数列”. (1)若数列{an}的通项公式为an=n2,试判断数列{an}是否为“二阶等差数列”,并说明理由; (2)若数列{an}为“二阶等差数列”,且a1=1,对应的“一阶等差数列”首项为1,公差为3,求an. 参考答案 1.A　解析设等差数列{an}的公差为d,因为a2=4,所以a1+d=4,所以a5-3a3=a1+4d-3(a1+2d)=-2a1-2d=-8.故选A. 2.D　解析在等差数列{an}中,a2+a5+a8=π,则有3a5=π,即a5=,所以tan(a1+a9)=tan 2a5=tan=-. 3.C　解析设数列{an}的公差为d,则d≠0. ∵a3,a4,a6成等比数列,∴=a3·a6, ∴(-2+3d)2=(-2+2d)(-2+5d), 整理,得d2-2d=0, 解得d=0(舍去)或d=2, ∴a10=a1+9d=16.故选C. 4.C　解析由题意知a1=S1=7,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-n2+8n+(n-1)2-8(n-1)=-2n+9. 又a1=7适合上式,所以an=-2n+9. 当an>0时,n≤4;当an<0时,n≥5, 所以数列{|an|}前12项的和T12=S4-(S12-S4)=2S4-S12=2×(-16+32)-(-122+8×12)=80. 故选C. 5.C　解析(充分性)若{an}为等差数列,设其首项为a1,公差为d,则Sn=na1+d, 则=a1+d=n+a1-, 故(n+1)+a1--(n+a1-)=为常数,则{}为等差数列,则甲是乙的充分条件. (必要性)反之,若{}等差数列,设=An+B,A≠0,则Sn=An2+Bn,a1=S1=A+B. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=An2+Bn-[A(n-1)2+B(n-1)]=A(2n-1)+B=2An-A+B. 当n=1时也符合上式,故an=2An-A+B,即{an}为等差数列,则甲是乙的必要条件.综上,甲是乙的充要条件.故选C. 6.B　解析依题意,=2+.要使为整数,当且仅当是整数,而n∈N*,则n+1是32的大于1的约数.又32的正约数有1,2,4,8,16,32六个,所以n的值有1,3,7,15,31五个,所以使得为整数的正整数n的个数为5.故选B. 7.ABD　解析由题意,设等差数列{an}的公差为d.因为a7=3a5,所以a1+6d=3(a1+4d),解得a1=-3d.又等差数列{an}是递增数列,所以d>0,则a1<0,故选项A、选项B正确;因为Sn=n2+(a1-)n=n2-n,且-,所以当n=3或4时Sn最小,故选项C错误;令Sn=n2-n>0,解得n<0或n>7,即Sn>0时n的最小值为8,故选项D正确.故选ABD. 8.12　解析∵数列{an}为等差数列,且a1=-3,d=2, ∴S6=6a1+d=-18+30=12. 9.108　解析设等差数列{an}的公差为d,则d=2.因为a1,a2,a3+1成等比数列,所以a1(a3+1)=,即a1(a1+5)=(a1+2)2,解得a1=4,所以S9=na1+×d=9×4+×2=108. 10.B　解析∵S2 020>0,S2 021<0,∴=1 010(a1 010+a1 011)>0,即a1 010+a1 011>0. 又2 021×=2 021a1 011<0,∴a1 010>0,a1 011<0,可得a1 010a1 011<0,充分性成立.反之,若a1 010<0,a1 011>0,满足a1 010a1 011<0,不能推出“S2 020>0,S2 021<0”,必要性不成立.故“S2 020>0,S2 021<0”是“a1 010a1 011<0”的充分不必要条件.故选B. 11.C　解析令S5=t,则由,得S10=3t.又由等差数列{an}的性质得S5,S10-S5,S15-S10,S20-S15成等差数列,所以有S10-S5=2t,S15-S10=3t,S20-S15=4t,相加可得S20-S5=9t,所以S20=10t.故.故选C. 12.ACD　解析由Sn=n2+n,n≥2,得an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n,而a1=S1=2满足上式,因此数列{an}的通项公式为an=2n,对于A,a2=4,A正确; 对于B,n+,数列是公差为的等差数列,B错误; 对于C,=4n,=4,数列{}是公比为4的等比数列,C正确; 对于D,令bn=(-1)nan=(-1)n·2n,b2n-1+b2n=-2(2n-1)+2·2n=2,数列{bn}前2 025项和为(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2 023+b2 024)+b2 025=2×1 012-2×2 025=-2 026,D正确.故选ACD. 13.A　解析依题意得,八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列,设该等差数列为{an},公差为d,前n项和为Sn,第一个孩子所得棉花斤数为a1,则由题意,得d=17,S8=8a1+×17=996,解得a1=65,所以a3=a1+(3-1)d=65+2×17=99.故选A. 14.解 (1)由an+1=an+2得数列{an}是等差数列,其公差d=2,由S6=4a5得6a1+d=4(a1+4d), 即6a1+30=4(a1+8),解得a1=1, 所以an=1+2(n-1)=2n-1. (2)Sn=·n=n2,cos nπ=(-1)n, 所以bn=(-1)n·n2, T2n=b1+b2+b3+b4+…+b2n-1+b2n=-12+22-32+42-…-(2n-1)2+(2n)2=1+2+3+4+…+2n-1+2n=·2n=2n2+n. 15.解(1)因为an=n2,则an+1-an=(n+1)2-n2=2n+1,故(an+1-an)-(an-an-1)=2n+1-2n+1=2,所以数列{an+1-an}是公差为2的等差数列,则数列{an}是“二阶等差数列”. (2)由题意{an+1-an}是“一阶等差数列”, 又数列{an+1-an}首项为1,公差为3,故an+1-an=3n-2, 则an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=+1=,n≥2,又a1=1满足上式,故an=,n≥1. 则“二阶等差数列”{an}的通项公式为an=. 1 学科网（北京）股份有限公司 $