课时规范练27　正弦定理和余弦定理及其应用-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 本练习通过基础巩固、综合提升、创新应用三层设计，以高考真题为载体，实现正弦定理、余弦定理从单一应用到实际建模的递进，强化逻辑推理与数学建模素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固组|正弦/余弦定理直接应用、三角形形状判断、面积与外接圆计算|融合2025新高考及八省联考题，基础题型巩固核心概念，如第1题余弦定理解角度| |综合提升组|定理综合应用、三角恒等变换、最值问题|多知识点融合，如第10题结合正弦定理与三角公式，提升逻辑推理能力| |创新应用组|实际测量方案设计、几何图形面积最值|情境化问题设计，如第13题测量角楼高度，培养数学建模与创新意识|

课时规范练27　正弦定理和余弦定理及其应用 基础巩固组 1.(2025新高考Ⅱ,5)在△ABC中,BC=2,AC=1+,AB=,则A=(　　) A.45° B.60° C.120° D.135° 2.在△ABC中,c2=bccos A+accos B+abcos C,则此三角形必是(　　) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形 3.在△ABC中,AB=2,AC=3,∠A=,则△ABC外接圆的半径为(　　) A. B. C. D. 4.(2025八省联考)在△ABC中,BC=8,AC=10,cos∠BAC=,则△ABC的面积为(　　) A.6 B.8 C.24 D.48 5.设a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,若B=C≠A,且a(b2+c2-a2)=b2c,则A=(　　) A. B. C. D. 6.(多选)(2025广西南宁三模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2bcos A=acos C+ccos A,b=4,边BC的中线AD=,则下列结论正确的有(　　) A.A= B.=8 C.△ABC的面积为2 D.△ABC的外接圆的面积为4π 7.在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上,若∠BDC=45°,则BD=　　　　　;cos∠ABD=　　　　　.  8.为了测量一个不规则公园中C,D两点之间的距离,如图,在东西方向上选取相距1 km的A,B两点,点B在点A的正东方向上,且A,B,C,D四点在同一水平面上.从点A处观测得点C在它的东北方向上,点D在它的西北方向上.从点B处观测得点C在它的北偏东15°方向上,点D在它的北偏西75°方向上,则C,D之间的距离为　　　　 km.  9.在△ABC中,AB=2,若,则A的最大值是　　　　.  综合提升组 10.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且=2+,则B的大小为(　　) A. B. C. D. 11.已知△ABC中,点D在边BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当取得最小值时,BD=　　　　　.  12.如图,在四边形ABCD中,CD=3,BC=, cos∠CBD=-. (1)求∠BDC; (2)若∠A=,求△ABD周长的最大值. 创新应用组 13. 某学校开展“测量故宫角楼高度”的综合实践活动.如图,线段AB表示角楼的高,C,D,E为三个可供选择的测量点,点B,C在同一水平面内,CD与水平面垂直.现设计能计算出角楼高度的测量方案,从以下六组几何量中选择三组进行测量,则可以选择的几何量的编号为　　　　　.(只需写出一种方案)  ①C,D两点间的距离;②C,E两点间的距离;③由点C观察点A的仰角α;④由点D观察点A的仰角β;⑤∠ACE和∠AEC;⑥∠ADE和∠AED. 14. 如图,在平面内,四边形ABCD满足B,D点在AC的两侧,AB=1,BC=2,△ACD为正三角形,设∠ABC=α. (1)当α=时,求AC; (2)当α变化时,求四边形ABCD面积的最大值. 参考答案 1.A　解析在△ABC中,由余弦定理得cos A=,又0°<A<180°,所以A=45°.故选A. 2.B　解析由c2=bccos A+accos B+abcos C,则c2=bc·+ac·+ab·,即c2=,整理可得a2+b2=c2,所以△ABC为直角三角形,故选B. 3.B　解析因为AB=2,AC=3,∠A=,由余弦定理可得,BC== ,设△ABC外接圆的半径为R,由正弦定理可得,2R=,则R=.故选B. 4.C　解析设AB=x,根据余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos∠BAC,已知BC=8,AC=10,cos∠BAC=,代入可得82=102+x2-2×10×x×,即x2-12x+36=0,解得x=6,因为BC2+AB2=82+62=100=AC2,所以△ABC为直角三角形,∠B=90°,所以△ABC的面积S=×6×8=24.故选C. 5.B　解析因为a(b2+c2-a2)=b2c,所以2a×=b,即b=2acos A,所以sin B=2sin Acos A=sin 2A,所以B=2A或B+2A=π.若B+2A=π,则C=A,这与题设不符合,故B=2A,又B=C,所以A+B+C=5A=π,即A=. 6.ACD　解析由2bcos A=acos C+ccos A,根据正弦定理得,2sin Bcos A=sin Acos C+sin Ccos A,整理得2sin Bcos A=sin(A+C)=sin B,因为sin B>0,所以得cos A=,解得A=,故A正确; 因为AD为边BC的中线,所以),整理得4+2||||cos A,即28=+||||,又|AC|=b=4,解得|AB|=2或|AB|=-6(舍去),所以=||·||cos A=2×4×=4,故B错误; S△ABC=|AB||AC|sin A=×2×4×=2,故C正确; 根据余弦定理,|BC|2=|AB|2+|AC|2-2|AB||AC|cos A,即|BC|2=4+16-4×2=12,解得|BC|=2,又由正弦定理得=4=2R,解得R=2,所以△ABC的外接圆的面积为πR2=4π,故D正确.故选ACD. 7.　解析在△ABD中,由正弦定理得,,而AB=4,∠ADB=, AC==5,sin∠BAC=,cos∠BAC=,所以BD=. cos∠ABD=cos(∠BDC-∠BAC)=coscos∠BAC+sinsin∠BAC=. 8.2　解析由题意可知,∠CAB=90°-45°=45°,∠DAB=90°+45°=135°,∠CBA=90°+15°=105°,∠CBD=15°+75°=90°,∠DBA=15°, 故在△ABC中,∠ACB=180°-45°-105°=30°, 故,BC=. 在△ABD中,∠ADB=180°-15°-135°=30°, 故,BD=. 所以在Rt△DBC中,CD==2. 9.　解析设a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边.因为,所以abcos C=-,由余弦定理得ab·=-,得a2+b2=3.由余弦定理可得cos A=≥2,当且仅当,即b=时,等号成立,此时cos A取得最小值.又因为y=cos x在区间(0,π)内单调递减,所以A的最大值是. 10.B　解析因为=2+,所以=2+,即=2-, 所以sin Acos B=2sin Ccos B-sin Bcos A, 所以sin Acos B+sin Bcos A=2sin Ccos B, 即sin(A+B)=2sin Ccos B, 所以sin C=2sin Ccos B. 又C∈(0,π),所以sin C≠0, 所以cos B=. 又B∈(0,π),所以B=,故选B. 11.-1　解析 设BD=t,则CD=2t,由余弦定理得=4-≥4-2,当且仅当t+1=,即BD=-1时,等号成立,此时,-1. 12.解(1)在△BCD中,∵cos∠CBD=-, ∴sin∠CBD=,由正弦定理得, ∴sin∠BDC=. 又∠CBD为钝角,∴∠BDC为锐角, ∴∠BDC=. (2)在△BCD中,由余弦定理得cos∠CBD==-, 解得BD=4或BD=-5(舍去). 在△ABD中,∠A=,设AB=x,AD=y. 由余弦定理得cos A=,即x2+y2-16=xy, 整理得(x+y)2-16=3xy. 由基本不等式得(x+y)2-16=3xy≤,即≤16,所以(x+y)2≤64,当且仅当x=y=4时,等号成立,即(x+y)max=8,所以(AB+AD+BD)max=8+4=12,故△ABD周长的最大值为12. 13.①③④或②③⑤　解析经分析可知,若选①③④, 在△ACD中,∠ACD=-α,∠ADC=+β,∠CAD=α-β,所以, 所以AC=·CD,所以AB=AC·sin α=·CD,其中各个量均已知. 若选②③⑤, 已知∠ACE和∠AEC,则∠CAE=π-∠ACE-∠AEC, 由, 所以AC=·CE, 所以AB=AC·sin α=·CE,其中各个量均已知. 其他选择方案均不可求得AB长. 14.解(1)因为AB=1,BC=2,B=, 由余弦定理可得, AC= =. (2)由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos α=1+4-2×1×2cos α=5-4cos α, 因为△ACD为正三角形,所以S△ACD=AC2=cos α,S△ABC=AB·BCsin α=×1×2sin α=sin α, 所以S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=sin α-cos α+=2sin(α-)+, 因为α∈(0,π),所以α-∈(-), 所以sin(α-)∈(-,1], 所以S四边形ABCD∈(,2+], 故当α=时,四边形ABCD面积的最大值为2+. 1 学科网（北京）股份有限公司 $